Grupa Kleinian - Kleinian group

Struktura algebraiczna → Teoria grup Teoria grup
Podstawowe pojęcia Podgrupa Podgrupa normalna Grupa ilorazowa (Pół) bezpośredni produkt Homomorfizmy grupowe jądro obraz suma bezpośrednia produkt wieniec prosty skończone nieskończony ciągły mnożny przyłączeniowy cykliczny abelian dwuścienny nilpotentny rozpuszczalny akcja Słowniczek teorii grup Lista tematów teorii grup
Grupy skończone Klasyfikacja skończonych grup prostych cykliczny zmienny Typ kłamstwa sporadyczny Twierdzenie Cauchy'ego Twierdzenie Lagrange'a Twierdzenia Sylowa Twierdzenie Halla grupa p Podstawowa grupa abelowa Grupa Frobenius Mnożnik Schura Grupa symetryczna S n Klein czterogrupowy V Grupa dwuścienna D n Quaternion grupa Q Grupa dicykliczna Dic n
Dyskretne grupy Kraty Liczby całkowite ( )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Bezpłatna grupa Grupy modułowe PSL(2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL(2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupa arytmetyczna Krata Grupa hiperboliczna
Grupy topologiczne i Liego Elektrozawór Koło Ogólne liniowe GL( n ) Specjalne liniowe SL( n ) Ortogonalny O( n ) Euklidesa E( n ) Specjalne ortogonalne SO( n ) Jednostkowe U ( n ) Specjalna jednostkowa SU( n ) Symplektyczny Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Konformalne Dyfeomorfizm Pętla Nieskończenie wymiarowa grupa Liego O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Grupy algebraiczne Liniowa grupa algebraiczna Grupa redukcyjna Odmiana abelowa Krzywa eliptyczna
v T mi

W matematyce , ą grupa Kleinian jest dyskretna podgrupa z PSL (2  C ) . Grupa PSL (2  C ) 2 od 2 złożonych macierzy z wyznacznik 1 modulo jego centrum ma kilka naturalnych reprezentacje: a konforemnych przemian w zakresie Riemanna , jak i orientacji zabezpieczonego izometrycznych 3-wymiarowej hiperbolicznej przestrzeni H ³ , jak i mapy konforemne z zachowaniem orientacji kuli otwartej jednostki B ³ w R ³ do siebie. Dlatego grupę Kleinowską można uznać za dyskretną podgrupę działającą na jednej z tych przestrzeni.

Historia

Teorię grup kleinowskich założyli Felix Klein  ( 1883 ) i Henri Poincaré  ( 1883 ), którzy nazwali je imieniem Felixa Kleina . Szczególny przypadek grup Schottky'ego badał kilka lat wcześniej, w 1877 roku, Schottky.

Definicje

Biorąc pod uwagę granicę kuli, grupę Kleinowską można również zdefiniować jako podgrupę Γ złożonej rzutowej grupy liniowej PGL(2, C ) , która działa na sferę Riemanna za pomocą przekształceń Möbiusa . Klasycznie, grupa kleinowska była wymagana do prawidłowego nieciągłego działania na niepustym otwartym podzbiorze sfery Riemanna, ale współczesne użycie pozwala na każdą dyskretną podgrupę.

Gdy Γ jest izomorficzny z podstawowej grupy o hiperbolicznej 3-kolektora , wówczas iloraz przestrzeni H ³ / Γ staje się wzór Kleinian kolektora. Wielu autorów używa zamiennie terminów „model kleinowski” i „grupa kleinowska” , pozostawiając jedno za drugie. ${\displaystyle \pi_{1}}$

Dyskretność implikuje, że punkty w B ³ mają skończone stabilizatory i dyskretne orbity pod grupą Γ. Ale orbita Γ p od punktu p zazwyczaj gromadzą się na granicy zamkniętej kuli . ${\ Displaystyle {\ bar {B}} ^ {3}}$

Uszczelka apollińskie jest przykładem ustalonego limitu grupy Kleinian

Granica kuli zamkniętej nazywana jest kulą w nieskończoności i jest oznaczona . Zbiór punktów skupienia o Tt p w nazywa się zestaw graniczną z y i zazwyczaj oznaczona . Dopełnienie nazywa się domeną nieciągłości lub zbiorem zwykłym lub zbiorem regularnym . Twierdzenie Ahlforsa o skończoności implikuje, że jeśli grupa jest skończona, to jest orbifoldem powierzchni Riemanna typu skończonego. ${\displaystyle S_{\infty}^{2}}$${\displaystyle S_{\infty}^{2}}$${\ Displaystyle \ Lambda (\ Gamma)}$${\ Displaystyle \ Omega (\ Gamma) = S_ {\ Infty} ^ {2} - \ Lambda (\ Gamma)}$${\ Displaystyle \ Omega (\ Gamma)/\ Gamma}$

Urządzenie kulki B ³ z dopasowanym struktury jest modelem Poincaré o hiperbolicznej przestrzeni 3-wymiarowej . Kiedy myślimy o tym metrycznie, z metryką

${\ Displaystyle ds ^ {2} = {\ Frac {4 \ \ lewo | dx \ po prawej | ^ {2}} {\ po lewej (1- | x | ^ {2} \ po prawej) ^ {2}}} }$

jest to model trójwymiarowej przestrzeni hiperbolicznej H ³ . Zbiór konforemnych samomap B ³ staje się zbiorem izometrii (tj. map zachowujących odległość) H ^{3 w} ramach tej identyfikacji. Takie mapy ograniczają się do konforemnych samomap , które są transformacjami Möbiusa . Istnieją izomorfizmy ${\displaystyle S_{\infty}^{2}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Mob} (S_ {\ infty} ^ {2}) \ cong \ operatorname {Conf} (B ^ {3}) \ cong \ operatorname {Isom} (\ mathbf {H} ^ {3} ).}$

Wszystkie podgrupy tych grup, składające się z przekształceń zachowujących orientację, są izomorficzne z projekcyjną grupą macierzy: PSL(2, C ) poprzez zwykłą identyfikację sfery jednostkowej ze złożoną linią rzutową P ¹ ( C ).

Wariacje

Istnieje kilka odmian tej definicji grupy Kleinian: grupy czasami Kleinian mogą być podgrupy PSL (2 C ), 0,2 (czyli PSL (2 C ) przedłużoną przez złożone koniugacji), innymi słowy mają elementy odwracające orientację, a czasami zakłada się, że są skończone generowane , a czasami są wymagane do prawidłowego nieciągłego działania na niepustym otwartym podzbiorze sfery Riemanna.

Rodzaje

• Mówi się, że grupa Kleina jest typu skończonego, jeśli jej obszar nieciągłości ma skończoną liczbę orbit składowych podlegających działaniu grupy, a iloraz każdego składnika przez jej stabilizator jest zwartą powierzchnią Riemanna z usuniętą skończoną liczbą punktów, a pokrycie jest rozgałęzione w skończonych wielu punktach.
• Grupę Kleina nazywamy skończoną generacją, jeśli ma skończoną liczbę generatorów. Twierdzenie Ahlforsa o skończoności mówi, że taka grupa jest typu skończonego.
• Grupa Kleina Γ ma skończoną objętość, jeśli H ³ /Γ ma skończoną objętość. Każda kleinowska grupa o skończonej kowolumie jest skończona.
• Grupę Kleinowską nazywamy geometrycznie skończoną, jeśli ma podstawowy wielościan (w hiperbolicznej przestrzeni trójwymiarowej) ze skończoną liczbą boków. Ahlfors wykazał, że jeśli wyznaczonym limitem nie jest cała sfera Riemanna, to ma miarę 0.
• Grupa Kleina Γ nazywana jest arytmetyczną, jeśli jest współmierna z elementami normy grupy 1 rzędu algebry kwaternionów A rozgałęzionej we wszystkich miejscach rzeczywistych na polu liczbowym k z dokładnie jednym miejscem zespolonym. Arytmetyczne grupy Kleina mają skończoną objętość kowalu.
• Grupa kleinowska Γ nazywana jest współzwartą, jeśli H ³ /Γ jest zwarta, lub równoważnie SL(2, C )/Γ jest zwarta. Grupy Cocompact Kleinian mają skończoną objętość.
• Grupę kleinowska nazywa się topologicznie oswojoną, jeśli jest skończenie generowana, a jej rozmaitość hiperboliczna jest homeomorficzna z wnętrzem zwartej rozmaitości z granicą.
• Grupę Kleinowską nazywa się geometrycznie oswojoną, jeśli jej końce są albo geometrycznie skończone, albo po prostu zdegenerowane ( Thurston 1980 ).
• Mówi się, że grupa Kleina jest typu 1, jeśli wyznaczonym limitem jest cała sfera Riemanna, a typu 2 w przeciwnym razie.

Przykłady

Grupy Bianchi

Grupa Bianchiego to grupa kleinowska w postaci PSL(2, O _d ), gdzie jest pierścieniem liczb całkowitych urojonego pola kwadratowego dla da dodatniej liczby całkowitej bez kwadratu . ${\ Displaystyle {\ Mathcal {O}} _ {d}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-d}})}$

Elementarne i redukowalne grupy kleinowskie

Grupę Kleina nazywamy elementarną, jeśli jej zestaw granic jest skończony, w takim przypadku zestaw granic ma 0, 1 lub 2 punkty. Przykłady elementarnych grup kleinowskich obejmują skończone grupy kleinowskie (z pustym zestawem granic) i nieskończone cykliczne grupy kleinowskie.

Grupę Kleinowską nazywamy redukcyjną, jeśli wszystkie pierwiastki mają wspólny punkt stały na sferze Riemanna. Redukcyjne grupy kleinowskie są elementarne, ale niektóre elementarne, skończone grupy kleinowskie nie są redukowalne.

Grupy fuchsowskie

Każda grupa fuchsowska (oddzielna podgrupa PSL(2, R )) jest grupą kleinowska i odwrotnie każda grupa kleinowska zachowująca linię rzeczywistą (w swoim działaniu na sferę Riemanna) jest grupą fuchsowską. Mówiąc bardziej ogólnie, każda grupa kleinowska zachowująca okrąg lub linię prostą w sferze Riemanna jest sprzężona z grupą fuchsowską.

Grupy Koebe

• Czynnik grupy Kleinian G jest podgrupą H ilość przedmiotem następujących właściwościach:
  • H ma po prostu spójną niezmienną składową D
  • Koniugat elementu h z H przez konforemną bijekcję jest paraboliczny lub eliptyczny wtedy i tylko wtedy, gdy h jest.
  • Każdy paraboliczny element G ustalający punkt graniczny D znajduje się w H .
• Grupa Kleinian nazywana jest grupa Koebe jeśli wszystkie jej czynniki są elementarne lub Fuchsian.

Grupy quasi-fuchsowskie

Zbiór graniczny grupy quasifuchsowskiej

Grupa Kleina, która zachowuje krzywą Jordana, nazywa się grupą quasi-Fuchsa . Kiedy krzywa Jordana jest kołem lub linią prostą, są one po prostu sprzężone z grupami fuchsowskimi w ramach przekształceń konforemnych. Skończenie generowane grupy quasi-fuchsowskie są sprzężone z grupami fuchsowskimi w ramach przekształceń quasi-konformalnych. Zestaw limitów jest zawarty w niezmiennej krzywej Jordana, a jeśli jest równy krzywej Jordana, mówi się, że grupa jest typu 1 , w przeciwnym razie mówi się, że jest typu 2 .

Grupy Schottky'ego

Niech C _i będzie okręgami brzegowymi skończonego zbioru rozłącznych zamkniętych dysków. Grupa generowana przez inwersję w każdym okręgu ma zestaw graniczny zbiór Cantora , a iloraz H ³ / G jest lustrzanym orbifoldem z podłożoną przestrzenią kulą. Jest dwukrotnie pokryte przez handlebody ; odpowiednia podgrupa indeksu 2 to grupa kleinowska zwana grupą Schottky'ego .

Grupy krystalograficzne

Niech T będzie okresową teselacją przestrzeni hiperbolicznej. Grupa symetrii teselacji to grupa kleinowska.

Podstawowe grupy trójrozmaitości hiperbolicznych

Podstawową grupą każdej zorientowanej trójrozmaitości hiperbolicznej jest grupa kleinowska. Istnieje wiele ich przykładów, takich jak dopełnienie węzła ósemkowego czy przestrzeń Seiferta-Webera . I odwrotnie, jeśli grupa Kleina nie ma nietrywialnych elementów skrętnych, to jest to podstawowa grupa hiperbolicznego trójrozmaitości.

Zdegenerowane grupy kleinowskie

Grupa kleinowska nazywana jest zdegenerowaną, jeśli nie jest elementarna, a jej zbiór granic jest po prostu połączony. Takie grupy można skonstruować, biorąc odpowiednią granicę grup quasi-fuchsowskich, tak że jeden z dwóch składników punktów regularnych kurczy się do zbioru pustego; grupy te nazywane są pojedynczo zdegenerowanymi . Jeśli obydwa składniki regularnego zbioru zawężają się do pustego zbioru, wtedy zbiór graniczny staje się krzywą wypełniającą przestrzeń, a grupa nazywana jest podwójnie zdegenerowaną . Istnienie zdegenerowanych grup kleinowskich po raz pierwszy wykazał pośrednio Bers (1970) , a pierwszy wyraźny przykład znalazł Jørgensen. Cannon i Thurston (2007) podali przykłady podwójnie zdegenerowanych grup i krzywych wypełniających przestrzeń związanych z mapami pseudo-Anosowa .

Zobacz też

• Przypuszczenie miar Ahlfors
• Twierdzenie o gęstości dla grup kleinowskich
• Twierdzenie o zakończeniu laminacji
• Twierdzenie o oswojeniu (przypuszczenie Mardena)

Bibliografia

• Bers, Lipman (1970), "Na granicach przestrzeni Teichmüllera i na grupach Kleina. I", Annals of Mathematics , Druga seria, 91 (3): 570-600, doi : 10.2307/1970638 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1970638 , MR  0297992
• Bers, Lipman ; Kra, Irwin , wyd. (1974), A przyspieszony kurs grup kleinowskich (PDF) , Notatki z matematyki, 400 , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0065671 , hdl : 10077/4140 , ISBN 978-3-540-06840-2, numer MR  0346152
• Cannon, James W.; Thurston, William P. (2007) [1982], „Grupa niezmiennicze krzywe Peano”, Geometria i topologia , 11 (3): 1315-1355, doi : 10.2140/gt.2007.11.315 , ISSN  1465-3060 , MR  2326947
• Fricke, Robert; Klein, Felix (1897), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Erster zespół; Die gruppentheoretischen Grundlagen (w języku niemieckim), Lipsk: BG Teubner, ISBN 978-1-4297-0551-6, JFM  28.0334.01
• Fricke, Robert; Klein Felix (1912), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Zweiter Band: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1. Lieferung: Engere Theorie der automorphen Funktionen (po niemiecku), Lipsk: BG Teubner., ISBN 978-1-4297-0552-3, JFM  32.0430.01
• Harvey, William James (1978), "Grupy kleinowskie (ankieta).", Seminaire Bourbaki, 29 lat (1976/77), Exp. No. 491 , Lecture Notes in Math., 677 , Springer, Berlin, s. 30-45, doi : 10.1007/BFb0070752 , ISBN 978-3-540-08937-7, MR  0521758
• Kapovich, Michael (2009) [2001], hiperboliczne rozmaitości i grupy dyskretne , Nowoczesne Birkhäuser Classics , Boston, MA: Birkhäuser Boston, doi : 10.1007/978-0-8176-4913-5 , ISBN 978-0-8176-4912-8, MR  1792613
• Klein Felix (1883), "Neue Beiträge zur Riemann'schen Functionentheorie" , Mathematische Annalen , 21 (2): 141-218, doi : 10.1007/BF01442920 , ISSN  0025-5831 , JFM  15.0351.01 , S2CID  120465625
• Kra, Irwin (1972), Formy automorficzne i grupy kleinowskie , Matematyka Lecture Note Series, WA Benjamin, Inc., Reading, Mass., ISBN 9780805323429, MR  0357775
• Krushkal, SL (2001) [1994], "Grupa Kleina" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press
• Maclachlana, Colina; Reid, Alan W. (2003), The arithmetic of hyperbolic 3-manifolds , Graduate Texts in Mathematics, 219 , Berlin, New York: Springer-Verlag , CiteSeerX  10.1.1.169.1318 , doi : 10.1007/978-1-4757- 6720-9 , ISBN 978-0-387-98386-8, MR  1937957
• Maskit, Bernard (1988), grupy Kleinian , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Podstawowe zasady nauk matematycznych], 287 , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-17746-3, numer MR  0959135
• Matsuzaki, Katsuhiko; Taniguchi, Masahiko (1998), Rozmaitości hiperboliczne i grupy kleinowskie , Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850062-9, MR  1638795
• Mumford, Dawid ; serial Karolinka ; Wright, David (2002), perły Indry , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9781107050051.024 , ISBN 978-0-521-35253-6, MR  1913879
• Poincaré, Henri (1883), "Mémoire sur Les groupes kleinéens", Acta Mathematica , 3 : 49-92, doi : 10.1007/BF02422441 , ISSN  0001-5962 , JFM  15.0348.02
• Seria, Caroline (2005), "A crash course on Kleinian groups" , Rendiconti dell'Istituto di Matematica dell'Università di Trieste , 37 (1): 1-38, ISSN  0049-4704 , MR  2227047 , zarchiwizowane z oryginału na 2011-07-22
  • Thurston, William (1980), The Geometry and topology of three-manifolds , Notatki z wykładu Princeton
• Thurston, William P. (1982), "Rozmaitości trójwymiarowe, grupy Kleinian i geometria hiperboliczna", Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , New Series, 6 (3): 357-381, doi : 10.1090 / S0273-0979-1982 -15003-0 , ISSN  0002-9904 , MR  0648524

Zewnętrzne linki

• Obraz zbioru granicznego grupy quasi-fuchsowskiej z ( Fricke & Klein 1897 , s. 418).
• Zdjęcie zestawu granicznego grupy kleinowskiej z ( Fricke & Klein 1897 , s. 440). To było jedno z pierwszych zdjęć zestawu limitów. Komputerowy rysunek tego samego zestawu limitów
• Animacje kleinowskich zestawów limitów grupowych
• Obrazy związane z grupami kleinowskimi autorstwa McMullen
• Weisstein, Eric W. „Grupa Kleińska” . MatematykaŚwiat .