Dowód bez słów - Proof without words

Dowód bez słów twierdzenia Nicomachusa ( Gulley (2010) )

W matematyce , o dowód bez słów , znany również jako dowód wizualny jest dowód tożsamości lub rachunku matematycznego, które mogą być wykazane jako oczywiste od schematu bez towarzyszącej tekstem wyjaśniającym. Takie dowody można uznać za bardziej eleganckie niż formalne lub matematycznie rygorystyczne ze względu na ich oczywistą naturę. Gdy diagram demonstruje konkretny przypadek stwierdzenia ogólnego, aby był dowodem, musi być uogólniony.

Przykłady

Suma liczb nieparzystych

Dowód bez słów na twierdzenie o sumie nieparzystych.

Stwierdzenie, że suma wszystkich dodatnich liczb nieparzystych do 2 n  − 1 jest kwadratem idealnym — a dokładniej idealnym kwadratem n 2 — można wykazać za pomocą dowodu bez słów, jak pokazano po prawej stronie. Pierwszy kwadrat składa się z 1 bloku; 1 to pierwszy kwadrat. Następny pasek, zrobiony z białych kwadratów, pokazuje, jak dodanie 3 kolejnych klocków tworzy kolejny kwadrat: cztery. Następny pasek, zrobiony z czarnych kwadratów, pokazuje, jak dodanie 5 kolejnych klocków tworzy następny kwadrat. Ten proces może być kontynuowany w nieskończoność.

twierdzenie Pitagorasa

Dowód bez słów dla twierdzenia Pitagorasa pochodzącego z Zhoubiego Suanjinga .

Pitagorasa może być zapewniona bez słów, jak to pokazano w drugim schemacie na lewo. Dwie różne metody wyznaczania pola powierzchni dużego kwadratu dają zależność

między bokami. Ten dowód jest bardziej subtelny niż powyższy, ale nadal można go uznać za dowód bez słów.

Nierówność Jensena

Graficzny dowód nierówności Jensena.

Nierówność Jensena można również dowieść graficznie, co ilustruje trzeci diagram. Przerywana krzywa wzdłuż osi X jest hipotetycznym rozkładem X , podczas gdy przerywana krzywa wzdłuż osi Y jest odpowiednim rozkładem wartości Y. Zauważ, że wypukłe odwzorowanie Y ( X ) coraz bardziej „rozciąga” rozkład dla rosnących wartości X .

Stosowanie

Wizualny dowód twierdzenia De Bruijna, że pudełko 6×6×6 nie może być w pełni wypełnione prostopadłościanami 1×2×4: każdy prostopadłościan zajmuje dokładnie 4 białe i 4 czarne sześciany, ale jest więcej białych niż czarnych sześcianów

Mathematics Magazine i College Mathematics Journal regularnie prowadzą publikację zatytułowaną „Dowód bez słów”, zawierającą, jak sugeruje tytuł, dowody bez słów. Strony The Art of Problem Solving i USAMTS uruchamiają aplety Java ilustrujące dowody bez słów.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia