Przestrzeń siedmiowymiarowa - Seven-dimensional space

W matematyce ciąg n liczb rzeczywistych można rozumieć jako położenie w przestrzeni n - wymiarowej . Gdy n = 7, zbiór wszystkich takich lokalizacji nazywany jest przestrzenią 7-wymiarową . Często taka przestrzeń jest badana jako przestrzeń wektorowa , bez pojęcia odległości. Siedem-wymiarowej przestrzeni euklidesowej jest siedem-wymiarowej przestrzeni wyposażony euklidesową metrykę , która jest określona przez iloczynu skalarnego .

Bardziej ogólnie, termin może odnosić się do siedmiowymiarowej przestrzeni wektorowej nad dowolnym polem , takim jak siedmiowymiarowa złożona przestrzeń wektorowa, która ma 14 rzeczywistych wymiarów. Może również odnosić się do siedmiowymiarowej rozmaitości, takiej jak 7-sfera , lub różnych innych konstrukcji geometrycznych.

Przestrzenie siedmiowymiarowe mają szereg specjalnych właściwości, wiele z nich związanych jest z oktonionami . Szczególnie charakterystyczną cechą jest to, że iloczyn krzyżowy można zdefiniować tylko w trzech lub siedmiu wymiarach. Jest to związane z twierdzeniem Hurwitza , które zabrania istnienia struktur algebraicznych, takich jak kwateriony i oktoniony w wymiarach innych niż 2, 4 i 8. Pierwsze odkryte egzotyczne sfery były siedmiowymiarowe.

Geometria

7-polytope

Polytope w siedmiu wymiarach nazywana jest 7-Polytope. Najbardziej zbadane są regularne polytopy , których są tylko trzy w siedmiu wymiarach : 7-simplex , 7-cube i 7-ortoplex . Szersza rodzina to jednolite 7-polytopy , zbudowane z podstawowych domen symetrii odbicia, z których każda jest zdefiniowana przez grupę Coxetera . Każdy jednolity polytop jest zdefiniowany za pomocą pierścieniowego diagramu Coxetera-Dynkina . 7 demicube jest unikalny Polytope z D ₇ rodziny, 3 ₂₁ , 2 ₃₁ i 1 ₃₂ polytopes z E ₇ rodziny.

Regularne i jednolite polytopy w siedmiu wymiarach
(wyświetlane jako rzuty ortogonalne w każdej płaszczyźnie symetrii Coxetera )

A 6	B 7		D 7	E 7
7-simplex {3,3,3,3,3,3}	7-kostka {4,3,3,3,3,3}	7-ortoplex {3,3,3,3,3,4}	7-demicube = h {4,3,3,3,3,3} = {3,3 4,1 }	3 21 {3,3,3,3 2,1 }	2 31 {3,3,3 3,1 }	1 32 {3,3 3,2 }

6-sferyczne

6-kula lub hypersphere w siedmiu-wymiarowej przestrzeni euklidesowej jest sześć-wymiarowej powierzchni równej odległości od punktu, np pochodzenie. Ma symbol S ⁶ , przy formalnej definicji 6-kuli o promieniu r z

${\ Displaystyle S ^ {6} = \ lewo \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {7}: \ | x \ | = r \ prawo \}.}$

Objętość przestrzeni ograniczonej przez tę 6-kulę wynosi

${\ Displaystyle V_ {7} \, = {\ Frac {16 \ pi ^ {3}} {105}} \, r ^ {7}}$

czyli 4,72477 × r ⁷ , czyli 0,0369 z 7-sześcianu zawierającego 6-sferę

Aplikacje

Iloczyn krzyżowy

Iloczyn krzyżowy, czyli iloczyn dwuliniowy , antykomutacyjny i ortogonalny o wartości wektorowej, jest definiowany w siedmiu wymiarach. Wraz z bardziej powszechnym produktem krzyżowym w trzech wymiarach jest to jedyny taki produkt, z wyjątkiem produktów trywialnych.

Egzotyczne sfery

W 1956 roku John Milnor skonstruował egzotyczną sferę w 7 wymiarach i wykazał, że na 7-sferze jest co najmniej 7 zróżnicowanych struktur. W 1963 roku wykazał, że dokładna liczba takich konstrukcji to 28.

Zobacz też

• Geometria euklidesowa
• Lista tematów dotyczących geometrii
• Lista zwykłych polytopów

Bibliografia

• HSM Coxeter: Regularne Polytopes. Dover, 1973
• JW Milnor: O rozmaitościach homeomorficznych w 7-sferze. Annals of Mathematics 64, 1956

Linki zewnętrzne

• „Geometria euklidesowa” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]