Splątanie orientacyjne - Orientation entanglement
W matematyce i fizyce pojęcie splątania orientacyjnego jest czasami używane do rozwijania intuicji odnoszącej się do geometrii spinorów lub alternatywnie jako konkretne uświadomienie sobie niepowodzenia specjalnych grup ortogonalnych, które mają być po prostu połączone .
Podstawowy opis
Same wektory przestrzenne nie wystarczą do pełnego opisu właściwości rotacji w przestrzeni.
Rozważmy następujący przykład. Filiżanka do kawy zawieszona jest w pokoju za pomocą pary elastycznych gumek przymocowanych do ścian pomieszczenia. Kubek jest obracany za uchwyt o pełny obrót o 360 °, tak że uchwyt jest przesuwany dookoła centralnej osi pionowej kubka iz powrotem do pierwotnego położenia.
Zwróć uwagę, że po tym obróceniu miseczka została przywrócona do pierwotnej orientacji, ale jej orientacja względem ścian jest skręcona . Innymi słowy, jeśli opuścimy filiżankę kawy na podłogę pokoju, dwa paski zwiną się wokół siebie w jednym pełnym skręcie podwójnej helisy . Oto przykład splątania orientacji : nowa orientacja filiżanki do kawy osadzonej w pomieszczeniu nie jest w rzeczywistości taka sama jak stara orientacja, o czym świadczy skręcenie gumek. Mówiąc inaczej, orientacja filiżanki kawy została splątana z orientacją otaczających ścian.
Oczywiście sama geometria wektorów przestrzennych jest niewystarczająca do wyrażenia splątania orientacji (skręcenia gumek). Rozważ narysowanie wektora w poprzek kielicha. Pełen obrót przesunie wektor, tak że nowa orientacja wektora będzie taka sama jak stara. Sam wektor nie wie, że filiżanka kawy jest splątana ze ścianami pokoju.
W rzeczywistości filiżanka kawy jest nierozerwalnie splątana. Nie ma możliwości odkręcenia opasek bez obracania miseczki. Jednak zastanów się, co się dzieje, gdy miseczka jest obracana, a nie tylko o jeden obrót o 360 °, ale o dwa o 360 °, co daje całkowity obrót o 720 °. Następnie, jeśli kubek jest opuszczony na podłogę, dwie gumki owijają się wokół siebie w dwóch pełnych skrętach podwójnej helisy. Jeśli kielich zostanie teraz podniesiony przez środek jednego zwoju spirali i przeniesiony na drugą stronę, skręt zniknie. Zespoły nie są już owijane wokół siebie, mimo że nie trzeba było wykonywać żadnej dodatkowej rotacji. (Ten eksperyment jest łatwiejszy do wykonania przy użyciu wstążki lub paska. Patrz poniżej).
Tak więc, podczas gdy orientacja miseczki została skręcona w stosunku do ścian po obróceniu tylko o 360 °, po obrocie o 720 ° nie była już skręcona. Jednak biorąc pod uwagę tylko wektor przymocowany do kielicha, nie można odróżnić tych dwóch przypadków. Dopiero gdy przymocujemy spinor do kubka, możemy odróżnić skręconą i nieskręconą kopertę.
W tej sytuacji spinor jest rodzajem spolaryzowanego wektora. Na sąsiednim diagramie spinor można przedstawić jako wektor, którego głową jest flaga leżąca po jednej stronie paska Möbiusa , skierowana do wewnątrz. Początkowo załóżmy, że flaga znajduje się na górze paska, jak pokazano. Gdy filiżanka kawy jest obracana, unosi wirnik i flagę wzdłuż paska. Jeśli kubek zostanie obrócony o 360 °, kołpak powróci do pozycji wyjściowej, ale flaga znajduje się teraz pod paskiem, skierowana na zewnątrz. Potrzeba kolejnego obrotu o 360 °, aby przywrócić flagę do pierwotnej orientacji.
Szczegółowy pomost między powyższym a matematyką formalną można znaleźć w artykule o splątaniach .
Formalne szczegóły
W trzech wymiarach problem zilustrowany powyżej odpowiada temu, że grupa Liego SO (3) nie jest po prostu połączona . Matematycznie, można rozwiązać ten problem przez eksponowanie Grupa Su , su (2) , która jest również grupą wirowania w trzech euklidesowych wymiarach, w podwójnym opakowaniu tak (3). Jeśli X = ( x 1 , x 2 , x 3 ) jest wektorem w R 3 , to identyfikujemy X z macierzą 2 × 2 z wpisami złożonymi
Zauważ, że −det ( X ) daje kwadrat długości euklidesowej X traktowanej jako wektor i że X jest pozbawioną śladów lub lepiej, zerową macierzą hermitowską .
Grupa unitarna działa na X poprzez
gdzie M ∈ SU (2). Zauważ, że ponieważ M jest unitarne,
- , i
- jest hermitem zero-śladowym.
Stąd su (2) działa poprzez obrót o wektorów X . I odwrotnie, ponieważ każda zmiana podstawy, która wysyła macierze hermitowskie z zerową ścieżką do macierzy hermitowskich z zerami śladu, musi być unitarna, wynika z tego, że każdy obrót również podnosi się do SU (2). Jednak każdy obrót uzyskuje się z pary elementów M i - M z SU (2). Stąd SU (2) jest podwójną pokrywą SO (3). Co więcej, SU (2) jest łatwo postrzegany jako sam po prostu połączony, realizując go jako grupę jednostkowych kwaternionów , homeomorficzną przestrzenią dla 3-sfery .
Jednostkowy quaternion ma cosinus połowy kąta obrotu jako jego część skalarną i sinus połowy kąta obrotu pomnożoną przez wektor jednostkowy wzdłuż pewnej osi obrotu (tutaj założonej jako stała) jako część pseudowektora (lub wektora osiowego). Jeśli początkowa orientacja ciała sztywnego (z nieplątanymi połączeniami z jego stałym otoczeniem) jest utożsamiana z jednostkowym quaternionem mającym zerową część pseudowektorową i +1 dla części skalarnej, to po jednym pełnym obrocie (2π rad) część pseudowektorowa powraca do zero, a część skalarna stała się -1 (splątana). Po dwóch pełnych obrotach (4π rad) część pseudowektorowa ponownie wraca do zera, a część skalarna wraca do +1 (nie splątana), kończąc cykl.
Zobacz też
Uwagi
- ^ Feynman i in., Tom 3.
- ^ Misner, Charles W .; Kip S. Thorne; John A. Wheeler (1973). Grawitacja . WH Freeman. str. 1148 -1149. ISBN 0-7167-0334-3.
Bibliografia
- Feynman, Leighton, Sands. Wykład Feynmana z fizyki . 3 tomy 1964, 1966. Biblioteka Kongresu Karta katalogowa nr 63-20717
- ISBN 0-201-02115-3 (zestaw trzech tomów z 1970 roku w miękkiej oprawie)
- ISBN 0-201-50064-7 (pamiątkowy, trzytomowy zestaw w twardej oprawie z 1989 r.)
- ISBN 0-8053-9045-6 (2006 wydanie ostateczne (druk 2.); oprawa twarda)
Linki zewnętrzne
- Animacja sztuczki z pasem Diraca z dwoma pasami przymocowanymi do (kwadratowego) obiektu, pokazująca splątanie orientacji po jednym obrocie i brak splątania po dwóch obrotach. Animacja pokazuje zatem również, że opasane obiekty zachowują się jak cząstki o spinie 1/2.
- Powietrze na strunach Diraca, pokazujące splątanie orientacyjne z kilkoma pasami przymocowanymi do kulistej cząstki, autor: Louis Kauffman i współpracownicy