Kula środkowa — Midsphere

Wielościan i jego kula środkowa. Czerwone kółka to granice kulistych czapek, w których z każdego wierzchołka widać powierzchnię kuli .
Sześcian i podwójny ośmiościan ze wspólną kulą środkową

W geometrii The midsphere lub intersphere z wielościanu jest kula , która jest styczna do każdej krawędzi wielościanu. To znaczy, że dotyka dowolnej krawędzi dokładnie w jednym punkcie. Nie każdy wielościan ma środkową sferę, ale dla każdego wielościanu istnieje kombinatorycznie równoważny wielościan, wielościan kanoniczny , który ma środkową sferę.

Sfera środkowa jest tak zwana, ponieważ w przypadku wielościanów, które mają sferę środkową, wpisaną sferę (która jest styczna do każdej powierzchni wielościanu) i sferę ograniczoną (która dotyka każdego wierzchołka), sfera środkowa znajduje się pośrodku, między innymi. dwie kule. Promień środkowej kuli nazywany jest promieniem środkowym.

Przykłady

Wielościany jednorodne , w tym regularne , quasiregular i semiregular wielościany i ich felg bliźniaczych wszystkie mają midspheres. W regularnych wielościanach sfera wpisana, środkowa i sfera opisana istnieją i są koncentryczne .

Okręgi styczne

Jeśli O jest środkową sferą wielościanu P , to przecięcie O z dowolną ścianą P jest kołem. Koła utworzone w ten sposób na wszystkich ścianach P tworzą układ okręgów na O, które są styczne dokładnie wtedy, gdy ściany, na których leżą, mają wspólną krawędź.

Podwójnie, jeśli v jest wierzchołkiem P , to istnieje stożek , którego wierzchołek znajduje się na v i jest styczny do O w okręgu; ten okrąg tworzy granicę kulistego kapelusza, w którym powierzchnia kuli jest widoczna z wierzchołka. Oznacza to, że okrąg jest horyzontem środkowej kuli, patrząc z wierzchołka. Utworzone w ten sposób koła są do siebie styczne dokładnie wtedy, gdy odpowiadające im wierzchołki są połączone krawędzią.

Dwoistość

Jeśli wielościan P ma sferę środkową O , to wielościan biegunowy względem O ma również O jako swoją sferę środkową. Płaszczyzny twarz polarnego wielościanu przechodzących przez koła na O , które są styczne do stożków o wierzchołki P , jak ich wierzchołków.

Wielościan kanoniczny

Jedna silniejsza forma twierdzenia o upakowaniu okręgów , dotycząca reprezentowania grafów planarnych przez układy okręgów stycznych, mówi, że każdy graf wielościanowy może być reprezentowany przez wielościan ze środkową kulą. Koła horyzontu kanonicznego wielościanu można przekształcić, za pomocą rzutowania stereograficznego , w zbiór okręgów w płaszczyźnie euklidesowej , które się nie przecinają i są styczne do siebie dokładnie wtedy, gdy wierzchołki, którym odpowiadają, sąsiadują ze sobą. W przeciwieństwie do tego istnieją wielościany, które nie mają formy ekwiwalentnej ze sferą wpisaną lub sferą wpisaną.

Dowolne dwie wielościany z tą samą siatką czołową i tą samą kulą środkową mogą zostać przekształcone w siebie przez rzutową transformację przestrzeni trójwymiarowej, która pozostawia kulę środkową w tym samym położeniu. Ograniczeniem tej projekcyjnej transformacji do środkowej sfery jest transformacja Möbiusa . Istnieje unikalny sposób wykonania tej transformacji, aby sfera środkowa była sferą jednostkową, a środek ciężkości punktów styczności znajdował się w centrum sfery; to daje reprezentację danego wielościanu, która jest unikalna aż do kongruencji , wielościan kanoniczny . Alternatywnie, transformowany wielościan, który maksymalizuje minimalną odległość wierzchołka od środkowej kuli, można znaleźć w czasie liniowym ; wybrany w ten sposób wielościan kanoniczny ma maksymalną symetrię spośród wszystkich wyborów wielościanu kanonicznego.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

  • Berno, M.; Eppstein, D. (2001), „Optymalne przekształcenia Möbiusa do wizualizacji i tworzenia siatki informacji”, 7. Worksh. Algorytmy i struktury danych , Wykłady z informatyki, 2125 , Providence, Rhode Island: Springer-Verlag, s. 14–25, arXiv : cs.CG/0101006 , doi : 10.1007/3-540-44634-6_3 , S2CID  3266233.
  • Coxeter, HSM (1973), „2.1 Regularne wielościany; 2,2 Wzajemność” , Regular Polytopes (3rd ed.), Dover, str.  16-17 , ISBN 0-486-61480-8.
  • Cundy, HM; Rollett, AP (1961), Modele matematyczne (2nd ed.), Oxford University Press, s. 117.
  • Koebe, Paul (1936), „Kontaktprobleme der Konformen Abbildung”, Ber. Sachs. Akad. Wiss. Lipsk, Matematyka-Fizyka. Kl. , 88 : 141–164.
  • Sachs, Horst (1994), „Wykresy monet, wielościany i mapowanie konformalne”, Discrete Mathematics , 134 (1-3): 133-138, doi : 10.1016/0012-365X (93) E0068-F , MR  1303402.
  • Schramm, Oded (1992), „Jak trzymać jajko w klatce” (PDF) , Inventiones Mathematicae , 107 (3): 543-560, Bibcode : 1992InMat.107..543S , doi : 10.1007/BF01231901 , MR  1150601 , S2CID  189830473.
  • Steinitz, E. (1928), „Über izoperimetrische Probleme bei konvexen Polyedern”, Journal für die Reine und angewandte Mathematik , 159 : 133-143.
  • Ziegler, Günter M. (1995), Wykłady na Polytopes , Graduate Texts in Mathematics , 152 , Springer-Verlag, s. 117-118, ISBN 0-387-94365-X.

Linki zewnętrzne