Homografia - Homography

W geometrii rzutowej , A homography jest Izomorfizm z przestrzeni rzutowych wywołaną przez izomorfizmie z przestrzeni wektorów , z których wywodzą się przestrzenie rzutowe. Jest to bijection, który odwzorowuje linie na linie, a zatem jest to kolinacja . Ogólnie rzecz biorąc, niektóre kolinacje nie są homografiami, ale podstawowe twierdzenie geometrii rzutowej stwierdza, że ​​tak nie jest w przypadku rzeczywistych przestrzeni rzutowych o wymiarze co najmniej dwa. Synonimy obejmują projekcję , transformację projekcyjną i kolinację projekcyjną .

Historycznie, homografie (i przestrzenie rzutowe) zostały wprowadzone do badania perspektywy i projekcji w geometrii euklidesowej , a termin homografia , który etymologicznie z grubsza oznacza „podobny rysunek”, pochodzi z tego czasu. Pod koniec XIX wieku wprowadzono formalne definicje przestrzeni rzutowych, które różniły się od rozszerzania przestrzeni euklidesowych lub afinicznych poprzez dodawanie punktów w nieskończoności . Z tych abstrakcyjnych konstrukcji wywodzi się termin „transformacja projekcyjna”. Konstrukcje te dzielą się na dwie klasy, które okazały się równoważne. Przestrzeń rzutową można skonstruować jako zbiór linii przestrzeni wektorowej nad danym polem (powyższa definicja bazuje na tej wersji); konstrukcja ta ułatwia definiowanie współrzędnych rzutowych i pozwala na wykorzystanie narzędzi algebry liniowej do badania homografii. Podejście alternatywne polega na zdefiniowaniu przestrzeni rzutowej za pomocą zbioru aksjomatów, które nie obejmują jawnie żadnego pola ( geometria incydentów , patrz także geometria syntetyczna ); w tym kontekście kolinacje są łatwiejsze do zdefiniowania niż homografie, a homografie definiuje się jako specyficzne kolinacje, zwane w ten sposób „kolinacjami rzutowymi”.

Dla uproszczenia, o ile nie określono inaczej, przestrzenie rzutowe omówione w tym artykule powinny być zdefiniowane na (przemiennym) polu . Równoważnie twierdzenie pappusa i Desargues Twierdzenie mają być prawdziwe. Duża część wyników pozostaje prawdziwa lub może być uogólniona na geometrie rzutowe, dla których te twierdzenia nie mają zastosowania.

Motywacja geometryczna

Punkty A, B, C, D i A ′, B ′, C ′, D ′ są powiązane przez perspektywiczność, która jest transformacją rzutową.

Historycznie rzecz biorąc, pojęcie homografii zostało wprowadzone w celu zrozumienia, wyjaśnienia i zbadania perspektywy wizualnej , a konkretnie różnicy w wyglądzie dwóch płaskich obiektów oglądanych z różnych punktów widzenia.

W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej, rzut centralny z punktu O (środek) na płaszczyznę P niezawierającą O jest odwzorowaniem, które wysyła punkt A do przecięcia (jeśli istnieje) linii OA i płaszczyzny P . Elementy te nie są zdefiniowane, gdy punkt należący do płaszczyzny przechodzącej przez O i równolegle do P . Pojęcie przestrzeni rzutowej został wprowadzony przez rozszerzenie przestrzeni euklidesowej, to znaczy przez dodanie punktów w nieskończoności do niego, w celu określenia odwzorowania dla każdego punktu, z wyjątkiem O .

Biorąc pod uwagę inną płaszczyznę Q , która nie zawiera O , ograniczenie powyższego rzutu do Q nazywa się perspektywicznością .

Przy tych definicjach perspektywiczność jest tylko funkcją częściową , ale staje się bijakiem, jeśli zostanie rozszerzona na przestrzenie rzutowe. Dlatego to pojęcie jest zwykle definiowane dla przestrzeni rzutowych. Pojęcie to można również łatwo uogólnić na przestrzenie rzutowe o dowolnym wymiarze, na dowolne pole , w następujący sposób:

Biorąc pod uwagę dwie przestrzenie rzutowe P i Q wymiaru n , A perspektywiczność jest bijection od P do Q , które mogą być uzyskane poprzez umieszczenie P i Q w przestrzeni rzutowej R wymiaru n + 1, i ograniczenie do P środkowy występ na Q .

Jeśli f jest perspektywicznością od P do Q , a g jest perspektywą od Q do P , z innym środkiem, to g f jest homografią od P do samego siebie, co nazywa się kolinacją centralną , gdy wymiar P jest w co najmniej dwa. (patrz § Kolinacje centralne poniżej i Kolinacje Perspectivity § Perspective ).

Pierwotnie homografia była definiowana jako kompozycja skończonej liczby perspektyw. Częścią fundamentalnego twierdzenia geometrii rzutowej (patrz poniżej) jest to, że definicja ta pokrywa się z bardziej algebraiczną definicją naszkicowaną we wstępie i szczegółowo opisaną poniżej.

Definicja i wyrażanie w jednorodnych współrzędnych

Przestrzeni rzutowej P ( V ) wymiaru n na polu K może być określony jako zbiór linii przez źródło w K -wektor przestrzeni V o rozmiarach n + 1 . Jeśli podstawa V jest stała, punkt V , mogą być reprezentowane przez punkt o K n +1 . Punkt P ( V ), będący prostą w V , może zatem być reprezentowany przez współrzędne dowolnego niezerowego punktu tej prostej, które są w ten sposób nazywane jednorodnymi współrzędnymi punktu rzutowego.

Biorąc pod uwagę dwie przestrzenie rzutowe P ( V ) i P ( W ) o tym samym wymiarze, homografia jest odwzorowaniem od P ( V ) do P ( W ), które jest indukowane przez izomorfizm przestrzeni wektorowych . Taki izomorfizm wywołuje bijekcję z P ( V ) do P ( W ), ze względu na liniowość f . Dwa takie izomorfizmy, f i g , definiują tę samą homografię wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje niezerowy element a w K taki, że g = af .

Może to być napisane w warunkach homogenicznych współrzędnych w następujący sposób: a homography φ może być określona przez nieosobliwej n + 1 x n +1 macierzy [ i , j ], zwaną macierzą homography . Matryca ta jest zdefiniowany do mnożenie przez niezerową elementu K . Jednorodne współrzędne punktu i współrzędne jego obrazu za pomocą φ są powiązane przez

Gdy przestrzenie rzutowe są zdefiniowane przez dodanie punktów w nieskończoności do przestrzeni afinicznych (dopełnienie rzutowe), poprzedzające wzory stają się we współrzędnych afinicznych

co uogólnia wyrażenie funkcji homograficznej w następnej sekcji. Definiuje tylko częściową funkcję między przestrzeniami afinicznymi, która jest zdefiniowana tylko poza hiperpłaszczyzną, gdzie mianownik jest równy zero.

Homografie linii rzutowej

Homografie płaszczyzny zespolonej zachowują kręgi ortogonalne

Rzutową linię nad ciałem K można utożsamić ze związkiem K i punktem, zwanym „punktem w nieskończoności” i oznaczonym ∞ (patrz linia rzutowa ). Przy takim przedstawieniu linii rzutowej homografie są odwzorowaniami

które nazywane są funkcjami homograficznymi lub liniowymi przekształceniami ułamkowymi .

W przypadku złożonej linii rzutowej , którą można utożsamić ze sferą Riemanna , homografie nazywa się transformacjami Möbiusa . Odpowiadają one dokładnie tym bijekcjom sfery Riemanna, które zachowują orientację i są konformalne.

W badaniu kolinacji przypadek linii rzutowych jest szczególny ze względu na mały wymiar. Gdy linia jest postrzegana jako oddzielna przestrzeń rzutowa, każda permutacja punktów linii rzutowej jest kolinacją, ponieważ każdy zbiór punktów jest współliniowy. Jeśli jednak linia rzutowa jest osadzona w bardziej wymiarowej przestrzeni rzutowej, geometryczna struktura tej przestrzeni może być wykorzystana do narzucenia linii geometrycznej struktury. Zatem w geometrii syntetycznej rozpatrywane są homografie i kolinacje linii rzutowej uzyskane przez ograniczenia linii kolinacji i homografie przestrzeni o wyższym wymiarze. Oznacza to, że podstawowe twierdzenie geometrii rzutowej (patrz poniżej) pozostaje ważne w układzie jednowymiarowym. Homografię linii rzutowej można również właściwie zdefiniować, nalegając, aby odwzorowanie zachowało współczynniki krzyżowe .

Ramy rzutowe i współrzędne

Rzutowa ramki lub rzutowa podstawę z przestrzeni rzutowej wymiaru n jest uporządkowany z n + 2 punkty, tak że nie hiperpłaszczyzna zawiera n + 1 z nich. Ramka rzutowa jest czasami nazywana simplex , chociaż simplex w przestrzeni wymiaru n ma co najwyżej n + 1 wierzchołków.

W tej sekcji rozważane są przestrzenie rzutowe nad ciałem przemiennym K , chociaż większość wyników można uogólnić na przestrzenie rzutowe nad pierścieniem podziału .

Niech P ( V ) będzie przestrzenią rzutową o wymiarze n , gdzie V jest przestrzenią wektorową K o wymiarze n + 1 i będzie odwzorowaniem kanonicznym, które odwzorowuje niezerowy wektor na zawierającą go linię wektorową.

Dla każdej ramki P ( V ) , istnieje podstawę o V tak, że rama jest i to podstawa jest wyjątkowy do namnażania wszystkich elementów przez ten sam element z niezerowym K . Odwrotnie, jeśli jest podstawą V , to jest ramka P ( V )

Wynika z tego, że biorąc pod uwagę dwie klatki, istnieje dokładnie jedna homografia odwzorowująca pierwszą z nich na drugą. W szczególności jedyną homografią ustalającą punkty ramy jest mapa identyfikacyjna . Wynik ten jest znacznie trudniejszy w geometrii syntetycznej (gdzie przestrzenie rzutowe są definiowane za pomocą aksjomatów). Nazywa się je czasem pierwszym fundamentalnym twierdzeniem geometrii rzutowej .

Każda ramka pozwala na zdefiniowanie współrzędnych rzutowych , zwanych również współrzędnymi jednorodnymi : każdy punkt można zapisać jako p ( v ) ; współrzędne rzutowe p ( v ) na tej ramce są współrzędnymi v na podstawie Nie jest trudno zweryfikować, że zmiana i v , bez zmiany ramki ani p ( v ), powoduje pomnożenie współrzędnych rzutowych przez to samo niezerowy element K .

Przestrzeń rzutowa P n ( K ) = P ( K n +1 ) ma ramkę kanoniczną składającą się z obrazu po p podstawy kanonicznej K n +1 (składającej się z elementów mających tylko jeden wpis niezerowy, który jest równy 1) i (1, 1, ..., 1) . Na tej podstawie jednorodne współrzędne p ( v ) są po prostu wpisami (współczynnikami) krotki v . Biorąc pod uwagę inny przestrzeni rzutowej P ( V ), o tym samym wymiarze, jak i ramę F z tym, że jeden i tylko jeden homography H odwzorowania F na kanonicznym ramie P n ( K ) . Rzutowej współrzędne punktu A na ramie F są współrzędnych jednorodnych z h ( a ) w kanonicznym ramie P n ( K ) .

Kolinacje centralne

Punkty A, B, C, D i A ′, B ′, C ′, D ′ są powiązane kilkoma środkowymi kolinacjami, które są całkowicie określone przez wybranie linii stałych punktów L przechodzących przez przecięcie prostych ABCD i A ′ B′C′D ′. Niech O będzie przecięciem prostych AA ′, BB ′, CC ′, DD ′. Obraz E ′ punktu E z tej kolinacji jest przecięciem linii A′I i OE, gdzie I jest przecięciem prostych L i AE.

W powyższych sekcjach homografie zostały zdefiniowane za pomocą algebry liniowej. W geometrii syntetycznej są one tradycyjnie definiowane jako kompozycja jednej lub kilku specjalnych homografii zwanych centralnymi kolinacjami . Częścią podstawowego twierdzenia geometrii rzutowej jest to, że te dwie definicje są równoważne.

W przestrzeni rzutowej, P , o wymiarach n ≥ 2 , A kolineacja z P jest bijection z P na P , która mapuje linie na linii. Centralny kolineacja (tradycyjnie były one nazywane perspectivities , ale określenie to może być mylące, posiadające inne znaczenie patrz perspektywiczność ) jest bijection α od P do P , tak że nie istnieje hiperpłaszczyznę H (zwanej osi z alfa ), który jest stałe punktowo przez alfa (to jest, α ( X ) = X dla wszystkich punktów X w H ) i punkt o (zwanym centrum z alfa ), który jest przymocowany linewise przez alfa (dowolna linia przechodząca o jest mapowany do siebie przez alfa , ale niekoniecznie punktowo). Istnieją dwa typy kolinacji centralnych. Uniesienia to kolinacje centralne, w których środek przypada na oś, a homologie to te, w których środek nie przypada na oś. Kolinacja centralna jest jednoznacznie określona przez jej środek, swoją oś i obraz α ( P ) dowolnego danego punktu P, który różni się od środka O i nie należy do osi. (Obraz α ( Q ) dowolnego innego punktu Q to przecięcie prostej określonej przez O i Q oraz prostej przechodzącej przez α ( P ) oraz przecięcie z osią prostej zdefiniowanej przez P i Q ).

Kolinacja centralna to homografia zdefiniowana przez macierz ( n + 1) × ( n + 1), która ma przestrzeń własną o wymiarze n . Jest to homologia, jeśli macierz ma inną wartość własną i dlatego jest diagonalizowalna . To radość, jeśli wszystkie wartości własne są równe, a macierz nie daje się diagonalizować.

Geometryczny widok środkowej kolinacji jest najłatwiejszy do zobaczenia na płaszczyźnie rzutowej. Biorąc pod uwagę centralną kolineacją alfa, należy rozważyć linię , która nie przechodzi przez środek O , a swój wizerunek pod alfa , . Ustawienie oś alfa jest kilka linii K przez R . Obraz dowolnym punkcie A o mocy alfa jest przecięcie OA z . Obraz B ′ punktu B, do którego nie należy, można skonstruować w następujący sposób: niech więc .

Kompozycja dwóch centralnych kolinacji, choć nadal jest ogólnie homografią, nie jest centralną kolinacją. W rzeczywistości każda homografia jest złożeniem skończonej liczby centralnych kolinacji. W geometrii syntetycznej tę właściwość, która jest częścią fundamentalnej teorii geometrii rzutowej, przyjmuje się jako definicję homografii.

Podstawowe twierdzenie geometrii rzutowej

Oprócz homografii istnieją kolinacje. W szczególności każdy automorfizm pola σ pola F wywołuje kolinację każdej przestrzeni rzutowej nad F przez zastosowanie σ do wszystkich jednorodnych współrzędnych (w układzie rzutowym) punktu. Te kolinacje nazywane są kolinacjami automorficznymi .

Fundamentalne twierdzenie geometrii rzutowej składa się z trzech następujących twierdzeń.

  1. Biorąc pod uwagę dwie ramy rzutowe przestrzeni rzutowej P , istnieje dokładnie jedna homografia P, która odwzorowuje pierwszą klatkę na drugą.
  2. Jeśli wymiar przestrzeni rzutowej P wynosi co najmniej dwa, każda kolinacja P jest kompozycją kolinacji automorficznej i homografii. W szczególności w rzeczywistości każda kolinacja przestrzeni rzutowej o wymiarze co najmniej dwóch jest homografią.
  3. Każda homografia składa się ze skończonej liczby perspektyw . W szczególności, jeśli wymiar implikowanej przestrzeni rzutowej wynosi co najmniej dwa, każda homografia jest złożeniem skończonej liczby centralnych kolinacji.

Jeśli przestrzenie rzutowe są definiowane za pomocą aksjomatów ( geometrii syntetycznej ), to trzecia część jest po prostu definicją. Z drugiej strony, jeśli przestrzenie rzutowe są definiowane za pomocą algebry liniowej , pierwsza część jest łatwym następstwem definicji. Zatem dowód pierwszej części geometrii syntetycznej i dowód trzeciej części w kategoriach algebry liniowej są fundamentalnymi krokami dowodu równoważności dwóch sposobów definiowania przestrzeni rzutowych.

Grupy homograficzne

Ponieważ każda homografia ma odwrotne odwzorowanie, a kompozycja dwóch homografii jest inna, homografie danej przestrzeni rzutowej tworzą grupę . Na przykład grupa Möbiusa jest grupą homograficzną dowolnej złożonej linii rzutowej.

Ponieważ wszystkie przestrzenie rzutowe o tym samym wymiarze na tym samym polu są izomorficzne, to samo dotyczy ich grup homografii. Są zatem traktowane jako pojedyncza grupa działająca na kilku przestrzeniach, a w zapisie pojawia się tylko wymiar i pole, a nie konkretna przestrzeń rzutowa.

Grupy Homography zwane również projekcyjne liniowych grup oznaczono PGL ( n + 1, M ) , działając na powierzchni projekcyjnej wymiaru n nad polem F . Powyższa definicja homographies pokazuje, że PGL ( n + 1, M ) mogą być identyfikowane z grupy iloraz GL ( n + 1, M ) / F x I , gdzie GL ( n + 1, M ), jest ogólnie grupa liniowa z macierze odwracalne , a F × I to grupa iloczynów niezerowego elementu F macierzy tożsamości o rozmiarze ( n + 1) × ( n + 1) .

Gdy F jest polem Galois GF ( q ), wówczas grupa homograficzna jest zapisywana PGL ( n , q ) . Na przykład PGL (2, 7) działa na osiem punktów na linii rzutowej nad ciałem skończonym GF (7), podczas gdy PGL (2, 4) , który jest izomorficzny z grupą naprzemienną A 5 , jest grupą homografii linia rzutowania z pięcioma punktami.

Grupa homografii PGL ( n + 1, F ) jest podgrupą grupy kolinacji PΓL ( n + 1, F ) kolinacji przestrzeni rzutowej o wymiarze n . Kiedy punkty i linie przestrzeni rzutowej są postrzegane jako projekt blokowy , którego bloki są zbiorem punktów zawartych w linii, często nazywa się grupę kolinacji grupą automorfizmu projektu .

Współczynnik krzyża

Wykorzystanie współczynników krzyżowych w geometrii rzutowej do pomiaru rzeczywistych wymiarów cech przedstawionych w rzucie perspektywicznym . A, B, C, D i V to punkty na obrazie, ich separacja podana jest w pikselach; A ', B', C 'i D' są w prawdziwym świecie, ich separacja w metrach.
  • W (1) szerokość bocznej ulicy W jest obliczana ze znanych szerokości sąsiednich sklepów.
  • W (2) szerokość tylko jednego sklepu jest potrzebna, ponieważ znikający punkt V jest widoczny.

Współczynnik krzyża czterech współliniowych punktów jest niezmiennikiem w ramach homografii, która ma fundamentalne znaczenie dla badania homografii linii.

Trzy różne punkty a , b i c na linii rzutowania nad polem F tworzą ramkę rzutową tej linii. Istnieje zatem unikalna homografia h tej linii na F ∪ ∞, która odwzorowuje a do , b do 0 i c do 1. Biorąc pod uwagę czwarty punkt na tej samej linii, współczynnik przecięcia czterech punktów a , b , c i d , oznaczone [ a , b ; c , d ] , jest elementem h ( d ) z F ∪ ∞ . Innymi słowy, jeśli d ma jednorodne współrzędne [ k  : 1] w układzie rzutowym ( a , b , c ) , to [ a , b ; c , d ] = k .

Na pierścieniu

Załóżmy, że A to pierścień, a U to jego grupa jednostek . Homografie działają na linii rzutowej na A , zapisanej P ( A ), składającej się z punktów U [ a, b ] o współrzędnych rzutowych . Homografie na P ( A ) są opisane przez mapowanie macierzy

Gdy A jest pierścieniem przemiennym , można napisać homografię

ale poza tym liniowe przekształcenie ułamkowe jest postrzegane jako równoważność:

Grupą homograficzną pierścienia liczb całkowitych Z jest grupa modułowa PSL (2, Z ) . Homografie pierścieni zostały wykorzystane w analizie kwaternionów oraz z podwójnymi kwaternionami w celu ułatwienia teorii śrub . Grupa dopasowaną czasoprzestrzeni może być reprezentowane homographies gdzie pada Algebra kompozycja z biquaternions .

Okresowe homografie

Homografia jest okresowa, gdy pierścień ma wartość Z / n Z ( liczby całkowite modulo n ) od tego czasu Arthur Cayley interesował się okresowością, kiedy obliczał iteracje w 1879 r. W swoim przeglądzie podejścia brutalnej siły do ​​okresowości homografii, HSM Coxeter podał to analiza:

Prawdziwa homografia jest obowiązkowa (okresu 2) wtedy i tylko wtedy, gdy a + d = 0 . Jeśli jest okresowy z okresem n > 2 , to jest eliptyczny i nie dochodzi do utraty ogólności przy założeniu, że ad - bc = 1 . Ponieważ charakterystyczne pierwiastki to exp (± hπi / m ), gdzie ( h , m ) = 1 , ślad to a + d = 2 cos ( / m ) .

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

  • Artin, E. (1957), Geometric Algebra , Interscience Publishers
  • Baer, ​​Reinhold (2005) [pierwsze wydanie 1952], Linear Algebra and Projective Geometry , Dover, ISBN   9780486445656
  • Berger, Marcel (2009), Geometry I , Springer-Verlag, ISBN   978-3-540-11658-5 , przetłumaczone z francuskiego oryginału z 1977 r. przez M. Cole'a i S. Levy'ego, czwarte wydanie tłumaczenia angielskiego z 1987 r
  • Beutelspacher Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998), Projective Geometry: From Foundations to Applications , Cambridge University Press, ISBN   0-521-48364-6
  • Hartshorne, Robin (1967), Foundations of Projective Geometry , New York: WA Benjamin, Inc
  • Hirschfeld, JWP (1979), Projective Geometries Over Finite Fields , Oxford University Press , ISBN   978-0-19-850295-1
  • Meserve, Bruce E. (1983), Fundamental Concepts of Geometry , Dover, ISBN   0-486-63415-9
  • Yale, Paul B. (1968), Geometry and Symmetry , Holden-Day

Dalsza lektura