Liczność kontinuum - Cardinality of the continuum
W teorii mnogości The liczność kontinuum jest liczność lub „rozmiar” w zestawie z liczb rzeczywistych , czasami nazywany kontinuum . Jest to nieskończona liczba kardynalna i jest oznaczana przez (mała litera fraktur „c”) lub .
Liczby rzeczywiste są liczniejsze niż liczby naturalne . Ponadto, ma taką samą liczbę elementów jako zestaw zasilania z symbolicznie, że liczność jest oznaczona jako , liczność kontinuum jest
Zostało to udowodnione przez Georga Cantora w jego niepoliczalnym dowodzie z 1874 roku, będącym częścią jego przełomowych badań nad różnymi nieskończonościami. Nierówność została później stwierdzona prościej w jego argumentacji diagonalnej w 1891 roku. Cantor zdefiniował kardynalność w kategoriach funkcji bijektywnych : dwa zbiory mają tę samą kardynalność wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje między nimi funkcja bijektywna.
Między dowolnymi dwiema liczbami rzeczywistymi a < b , bez względu na to, jak bardzo są do siebie zbliżone, zawsze jest nieskończenie wiele innych liczb rzeczywistych, a Cantor wykazał, że jest ich tyle, ile jest zawartych w całym zbiorze liczb rzeczywistych. Innymi słowy, przedział otwarty ( a , b ) jest równoliczny z Odnosi się to również do kilku innych zbiorów nieskończonych, takich jak każda n- wymiarowa przestrzeń euklidesowa (patrz krzywa wypełniania przestrzeni ). To jest,
Najmniejsza nieskończona liczba kardynalna to ( aleph-null ). Drugi najmniejszy to ( aleph-one ). Hipoteza continuum , który twierdzi, że nie ma żadnych zestawów, których liczność jest ściśle między i , oznacza, że . Prawda lub fałsz tej hipotezy jest nierozstrzygalna i nie może być udowodniona w szeroko stosowanej teorii mnogości Zermelo-Fraenkla z aksjomatem wyboru (ZFC).
Nieruchomości
Nieobliczalność
Georg Cantor wprowadził pojęcie kardynalności do porównywania rozmiarów zbiorów nieskończonych. Słynny pokazał, że zbiór liczb rzeczywistych jest niepoliczalnie nieskończony . Oznacza to, że jest ściśle większa niż liczność liczb naturalnych , :
W praktyce oznacza to, że liczb rzeczywistych jest więcej niż liczb całkowitych. Cantor udowodnił to stwierdzenie na kilka różnych sposobów. Aby uzyskać więcej informacji na ten temat można znaleźć w pierwszej uncountability dowód Cantora i metoda przekątniowa .
Kardynalne równouprawnienia
Odmianę argumentu przekątnego Cantora można wykorzystać do udowodnienia twierdzenia Cantora , które mówi, że liczność dowolnego zbioru jest ściśle mniejsza niż jego zbioru potęgowego . Oznacza to, że (i tak, że zestaw zasilający z liczb naturalnych jest niezliczona). W rzeczywistości można wykazać, że kardynalność jest równa w następujący sposób:
- Zdefiniuj mapę od liczb rzeczywistych do potęgi wymiernych , wysyłając każdą liczbę rzeczywistą do zbioru wszystkich wymiernych mniejszych lub równych (z liczbami rzeczywistymi postrzeganymi jako cięciami Dedekinda , to nic innego jak mapa inkluzji w zbiór zbiorów wymiernych). Ponieważ wymierne wymierne są gęste w , ta mapa jest iniektywna , a ponieważ wymierne są policzalne, mamy to .
- Niech będzie zbiorem nieskończonych ciągów o wartościach w zbiorze . Zbiór ten ma kardynalność (naturalny bijekt między zbiorem ciągów binarnych i jest nadawany przez funkcję wskaźnika ). Teraz przypisz każdemu takiemu ciągowi unikalną liczbę rzeczywistą w przedziale z potrójnym rozszerzeniem podanym przez cyfry , tj . -ta cyfra po przecinku jest względem podstawy . Obraz tej mapy nazywa się zbiorem Cantora . Nietrudno zauważyć, że ta mapa jest iniektywna, ponieważ unikając punktów z cyfrą 1 w ich rozwinięciu potrójnym, unikamy konfliktów spowodowanych faktem, że rozwinięcie potrójne liczby rzeczywistej nie jest unikatowe. Mamy wtedy to .
Z twierdzenia Cantora–Bernsteina–Schroedera wnioskujemy, że
Równość kardynalną można wykazać za pomocą arytmetyki kardynalnej :
Stosując zasady arytmetyki kardynalnej można również wykazać, że
gdzie n jest dowolną skończoną liczbą kardynalną ≥ 2, a
gdzie jest moc zbioru potęgowego R , i .
Alternatywne wyjaśnienie
Każda liczba rzeczywista ma co najmniej jedno nieskończone rozwinięcie dziesiętne . Na przykład,
(Jest to prawda nawet w przypadku powtórzenia rozwinięcia, jak w pierwszych dwóch przykładach).
W każdym przypadku liczba cyfr jest policzalna, ponieważ można je umieścić w korespondencji jeden do jednego ze zbiorem liczb naturalnych . To sprawia, że sensowne jest mówienie o, powiedzmy, pierwszej, setnej lub milionowej cyfrze π. Ponieważ liczby naturalne mają kardynalność, każda liczba rzeczywista ma w swoim rozwinięciu cyfry.
Ponieważ każdą liczbę rzeczywistą można podzielić na część całkowitą i ułamek dziesiętny, otrzymujemy:
gdzie wykorzystaliśmy fakt, że
Z drugiej strony, jeśli mapa się i uważają, że ułamki dziesiętne zawierające tylko 3 lub 7 to tylko część z liczb rzeczywistych, to otrzymamy
a zatem
Liczby Beth
Kolejność numerów beth jest określona przez ustawienie i . Podobnie jak druga liczba beth , beth-one :
Trzecia liczba beth, beth-two , jest licznością zbioru potęgowego (tj. zbioru wszystkich podzbiorów prostej rzeczywistej ):
Hipoteza kontinuum
Słynna hipoteza kontinuum głosi, że jest to również druga liczba alef , . Innymi słowy, hipoteza continuum stwierdza, że nie istnieje zbiór, którego kardynalność leży ściśle pomiędzy i
Wiadomo, że to stwierdzenie jest obecnie niezależne od aksjomatów teorii mnogości Zermelo-Fraenkla z aksjomatem wyboru (ZFC). Oznacza to, że zarówno hipoteza, jak i jej negacja są zgodne z tymi aksjomatami. W rzeczywistości dla każdej niezerowej liczby naturalnej n równość = jest niezależna od ZFC (przypadek będący hipotezą continuum). To samo dotyczy większości innych alefów, chociaż w niektórych przypadkach równość może być wykluczona przez twierdzenie Königa na podstawie kofinalności (np . ). W szczególności może być albo lub , gdzie jest pierwszym niepoliczalnym porządkiem porządkowym , więc może to być albo następca kardynała albo kardynał limitowy , albo kardynał regularny albo kardynał w liczbie pojedynczej .
Zbiory z kardynalnością kontinuum
Bardzo wiele zbiorów badanych w matematyce ma kardynalność równą . Oto kilka typowych przykładów:
- z liczbami rzeczywistymi
- dowolny ( niezdegenerowany ) zamknięty lub otwarty przedział w (np. przedział jednostkowy )
- te irracjonalne numery
- te numery transcendentalne Zauważmy, że zbiór rzeczywistych liczb algebraicznych jest przeliczalnie nieskończony (przypisać do każdego wzoru jego numer Gödel .) Więc cardinality rzeczywistych liczb algebraicznych jest . Ponadto liczby algebraiczne rzeczywiste i liczby rzeczywiste przestępne są zbiorami rozłącznymi, których sumą jest . Tak więc, ponieważ moc jest , moc liczb rzeczywistych transcendentalnych jest . Podobny wynik następuje dla liczb zespolonych przestępnych, gdy udowodnimy, że .
- zbiór Cantora
- Przestrzeń euklidesowa
- z liczbami zespolonymi
Zauważamy, że za dowód Cantora o liczności euklidesowej przestrzeni . Z definicji każdy może być jednoznacznie wyrażony tak, jak dla niektórych . Dlatego definiujemy bijekcję
- zestaw zasilający z liczb naturalnych (zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych)
- zbiór ciągów liczb całkowitych (tzn. wszystkich funkcji , często oznaczanych )
- zbiór ciągów liczb rzeczywistych,
- zbiór wszystkich funkcji ciągłych od do
- euklidesowa topologia na (czyli zbiór wszystkich zbiorów otwartych w )
- Borel σ-algebra na (czyli zbiór wszystkich zbiorów borelowskich w ).
Zestawy o większej kardynalności
Zestawy o kardynalności większej niż obejmują:
- zbiór wszystkich podzbiorów (tj. zestaw potęgowy )
- Zestaw 2 R w funkcji wskaźnika zdefiniowane w podgrupach liczb rzeczywistych (zbiór jest izomorficzny z - funkcję wskaźnika wybiera elementy każdego podzbioru do włączenia)
- zestaw wszystkich funkcji od do
- Lebesgue'a σ-algebra of , czyli zbiór wszystkich mierzalnych Lebesgue'a zestawów w .
- zbiór wszystkich funkcji całkowalnych Lebesgue'a od do
- zbiór wszystkich funkcji mierzalnych Lebesgue'a od do
- na zwartych kamienny Čech z , i
- zbiór wszystkich automorfizmów ciała (dyskretnego) liczb zespolonych.
Wszystkie one mają kardynalność ( beth dwa ).
Bibliografia
- ^ „Kompleksowa lista symboli teorii mnogości” . Skarbiec matematyczny . 2020-04-11 . Źródło 2020-08-12 .
- ^ „Liczba nieskończona | matematyka” . Encyklopedia Britannica . Źródło 2020-08-12 .
- ^ B Weisstein Eric W. "kontinuum" . mathworld.wolfram.com . Źródło 2020-08-12 .
- ^ a b Czy Kantor był zaskoczony? , Fernando Q. Gouvêa , American Mathematical Monthly , marzec 2011.
Bibliografia
- Paul Halmos , Naiwna teoria mnogości . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Przedruk Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (wydanie Springer-Verlag).
- Jech, Thomas , 2003. Teoria mnogości: wydanie trzecie tysiąclecie, poprawione i rozszerzone . Skoczek. ISBN 3-540-44085-2 .
- Kunen, Kenneth , 1980. Teoria mnogości: wprowadzenie do dowodów niezależności . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9 .
Ten artykuł zawiera materiał z kardynalności kontinuum na PlanetMath , który jest licencjonowany na licencji Creative Commons Attribution/Share-Alike License .