Czterokwadratowe twierdzenie Lagrange'a - Lagrange's four-square theorem

Wystarczy udowodnić twierdzenie dla każdej nieparzystej liczby pierwszej p . Wynika to bezpośrednio z czterokwadratowej identyczności Eulera (oraz z faktu, że twierdzenie jest prawdziwe dla liczb 1 i 2).

Pozostałości w ² modulo p są różne dla każdego A pomiędzy 0 a ( P  - 1) / 2 (włącznie). Aby to zobaczyć, trochę A i określenie c a a ² mod p . a jest pierwiastkiem wielomianu x ²  −  c nad ciałem Z/ p Z . Podobnie jest z p  −  a (co różni się od a ). W polu K każdy wielomian stopnia n ma co najwyżej n odrębnych pierwiastków ( twierdzenie Lagrange'a (teoria liczb) ), więc nie ma innego a z tą właściwością, w szczególności między 0 a ( p  − 1)/2 .

Podobnie, dla b przyjmującego wartości całkowite od 0 do ( p  - 1)/2 (włącznie), - b ²  - 1 są różne. Zgodnie z zasadą szufladki , w tym zakresie są a i b , dla których a ² i - b ²  - 1 są przystające modulo p , czyli dla których

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+1^{2}+0^{2}=np.}$

Teraz niech m będzie najmniejszą dodatnią liczbą całkowitą taką, że mp jest sumą czterech kwadratów, x ₁ ²  +  x ₂ ²  +  x ₃ ²  +  x ₄ ² (pokazaliśmy właśnie, że istnieje pewna liczba m (mianowicie n ) o tej własności , więc jest co najmniej jedno m , a jest mniejsze niż p ). Pokażemy przez sprzeczności, że m jest równy 1: przypuśćmy, że nie jest to przypadek, udowodnimy istnienie dodatniej liczby całkowitej R mniej niż m , dla których RP jest sumą czterech kwadratów (jest to w duchu nieskończonej zniżania metody Fermata).

W tym celu, uważamy na każdy X _i Y _i która znajduje się w tej samej klasy reszt modulo m pomiędzy (- m  + 1) / 2 i m / 2 (ewentualnie w zestawie). Wynika z tego, że y ₁ ²  +  y ₂ ²  +  y ₃ ²  +  y ₄ ²  =  mr , dla jakiejś ściśle dodatniej liczby całkowitej r mniejszej niż  m .

Wreszcie inne odwołanie do czterokwadratowej tożsamości Eulera pokazuje, że mpmr  =  z ₁ ²  +  z ₂ ²  +  z ₃ ²  +  z ₄ ² . Ale fakt, że każde x _i jest przystające do odpowiadającego mu y _i implikuje, że wszystkie z _i są podzielne przez m . W rzeczy samej,

${\displaystyle {\rozpocznij {przypadki}z_{1}&=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}+x_{4}y_{4} &\equiv x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}&=mp\equiv 0&{\pmod {m} },\\z_{2}&=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{3}y_{4}-x_{4}y_{3}&\equiv x_{ 1}x_{2}-x_{2}x_{1}+x_{3}x_{4}-x_{4}x_{3}&=0&{\pmod {m}},\\z_{3} &=x_{1}y_{3}-x_{2}y_{4}-x_{3}y_{1}+x_{4}y_{2}&\równoważne x_{1}x_{3}-x_ {2}x_{4}-x_{3}x_{1}+x_{4}x_{2}&=0&{\pmod {m}},\\z_{4}&=x_{1}y_{ 4}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{1}&\równoważne x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}- x_{3}x_{2}-x_{4}x_{1}&=0&{\pmod {m}}.\end{cases}}}$

Wynika z tego, że dla w _i = z _i / m , w ₁ ²  +  w ₂ ²  +  w ₃ ²  +  w ₄ ²  =  rp , co jest sprzeczne z minimalnością  m .

W powyższym zejściu musimy wykluczyć zarówno przypadek y ₁ = y ₂ = y ₃ = y ₄ = m /2 (co dałoby r = m i brak zjazdu), a także przypadek y ₁ = y ₂ = y ₃ = y ₄ = 0 (co dałoby r = 0, a nie ściśle dodatnie). Dla obu tych przypadków można sprawdzić, że mp = x ₁ ²  +  x ₂ ²  +  x ₃ ²  +  x ₄ ² będzie wielokrotnością m ² , co przeczy faktowi, że p jest liczbą pierwszą większą od m .

Quaternions Hurwitz składa się ze wszystkich kwaternionów ze składnikami całkowitymi i wszystkich kwaternionów ze składnikami połówkowymi . Te dwa zestawy można połączyć w jedną formułę

${\ Displaystyle \ alfa = {\ Frac {1} {2}} E_ {0} (1 + \ mathbf {i} + \ mathbf {j} + \ mathbf {k}) + E_ {1} \ mathbf {i } +E_{2}\mathbf {j} +E_{3}\mathbf {k} =a_{0}+a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3 }\mathbf {k} }$

gdzie są liczby całkowite. Zatem składniki kwaternionów są albo wszystkimi liczbami całkowitymi, albo wszystkimi liczbami połówkowymi, w zależności od tego, czy jest to odpowiednio parzysta czy nieparzysta. Zestaw kwaternionów Hurwitz tworzy pierścień ; to znaczy, że suma lub iloczyn dowolnych dwóch kwaternionów Hurwitz jest również kwaternionami Hurwitz. ${\displaystyle E_{0},E_{1},E_{2},E_{3}}$${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}}$${\displaystyle E_{0}}$

(Arytmetyka, lub pola) norma racjonalnej kwaterniony jest nieujemna liczba wymierna${\ Displaystyle \ operatorname {N} (\ alfa)}$${\ Displaystyle \ alfa}$

${\ Displaystyle \ operatorname {N} (\ alfa ) = \ alfa {\ bar {\ alfa}} = a_ {0}^ {2} + a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} +a_{3}^{2}}$

w którym jest sprzężony z . Zauważ, że norma kwaternionów Hurwitz jest zawsze liczbą całkowitą. (Jeśli współczynniki są liczbami połówkowymi, to ich kwadraty mają postać , a suma czterech takich liczb jest liczbą całkowitą.) ${\displaystyle {\bar {\alfa}}=a_{0}-a_{1}\mathbf {i}-a_{2}\mathbf {j} -a_{3}\mathbf {k}}$${\ Displaystyle \ alfa}$${\ Displaystyle {\ tfrac {1}{4}} + n: n \ w \ mathbb {Z}}$

Ponieważ mnożenie kwaternionów jest asocjacyjne, a liczby rzeczywiste przechodzą z innymi kwaternionymi, norma iloczynu kwaternionów równa się iloczynowi norm:

${\ Displaystyle \ operatorname {N} (\ alfa \ beta ) = \ alfa \ beta ({\ overline {\ alfa \ beta}}) = \ alfa \ beta {\ bar {\ beta}} {\ bar {\ alfa }}=\alpha \mathrm {N} (\beta ){\bar {\alpha }}=\alpha {\bar {\alpha }}\mathrm {N} (\beta )=\mathrm {N} (\ alfa )\mathrm {N} (\beta ).}$

Dla każdego , . Wynika z tego łatwo, że jest to jednostka w pierścieniu kwaternionów Hurwitz wtedy i tylko wtedy, gdy . ${\ Displaystyle \ alfa \ neq 0}$${\ Displaystyle \ alfa ^ {-1} = {\ bar {\ alfa}} \ operatorname {N} (\ alfa) ^ {-1}}$${\ Displaystyle \ alfa}$${\ Displaystyle \ operatorname {N} (\ alfa) = 1}$

Dowód głównego twierdzenia zaczyna się od redukcji do przypadku liczb pierwszych. Czterokwadratowa tożsamość Eulera implikuje, że jeśli czterokwadratowe twierdzenie Langrange'a dotyczy dwóch liczb, to obowiązuje dla iloczynu tych dwóch liczb. Ponieważ każda liczba naturalna może być uwzględniona w potęgach liczb pierwszych, wystarczy udowodnić twierdzenie o liczbach pierwszych. Dotyczy to . Aby pokazać to dla nieparzystej liczby całkowitej p , przedstaw ją jako kwaternion i załóżmy na razie (jak pokażemy później), że nie jest to nieredukowalna Hurwitz ; to znaczy, że może być uwzględniony w dwóch kwaternionach nie będących jednostkami Hurwitz ${\ Displaystyle 2 = 1 ^ {2} + 1 ^ {2} + 0 ^ {2} + 0 ^ {2}}$${\ Displaystyle (p,0,0,0)}$

${\displaystyle p=\alfa \beta.}$

Normy są liczbami całkowitymi takimi, że ${\displaystyle p,\alfa,\beta}$

${\ Displaystyle \ operatorname {N} (p) = p ^ {2} = \ operatorname {N} (\ alfa \ beta) = \ operatorname {N} (\ a) \ operatorname {N} (\ beta)}$

i . To pokazuje, że oba i są równe p (ponieważ są liczbami całkowitymi), a p jest sumą czterech kwadratów ${\ Displaystyle \ operatorname {N} (\ alfa), \ operatorname {N} (\ beta)> 1}$${\ Displaystyle \ operatorname {N} (\ alfa)}$${\ Displaystyle \ operatorname {N} (\ beta)}$

${\ Displaystyle p = \ operatorname {N} (\ alfa) = a_ {0}^ {2} + a_ {1} ^ {2} + a_ ^ {2} + a_ {3} ^ {2} .}$

Jeśli zdarzy się, że wybrany ma współczynniki pół-całkowite, może zostać zastąpiony innym kwaternionem Hurwitza. Wybierz w taki sposób, że ma parzyste współczynniki całkowite. Następnie ${\ Displaystyle \ alfa}$${\ Displaystyle \ omega = (\ pm 1 \ pm \ mathbf {i} \ pm \ mathbf {j} \ pm \ mathbf {k} )/2}$${\ Displaystyle \ gamma \ ekwiwalent \ omega + \ alfa}$

${\ Displaystyle p = ({\ bar {\ gamma }} - {\ bar {\ omega}}) \ omega {\ bar {\ omega }} (\ gamma - \ omega ) = ({\ bar {\ gamma } }\omega -1)({\bar {\omega }}\gamma -1).}$

Ponieważ ma parzyste współczynniki całkowite, będzie miał współczynniki całkowite i może być użyty zamiast oryginału, aby przedstawić reprezentację p jako sumę czterech kwadratów. ${\ Displaystyle \ gamma}$${\displaystyle ({\bar {\omega}}\gamma-1)}$${\ Displaystyle \ alfa}$

Co do wykazania, że p nie jest nieredukowalną Hurwitzem, Lagrange udowodnił, że każda nieparzysta liczba pierwsza p dzieli przynajmniej jedną liczbę postaci , gdzie l i m są liczbami całkowitymi. Można to zobaczyć w następujący sposób: ponieważ p jest liczbą pierwszą, może zatrzymywać się na liczbach całkowitych tylko wtedy, gdy . Zatem zbiór kwadratów zawiera różne reszty modulo p . Podobnie zawiera pozostałości. Ponieważ w sumie jest tylko p reszt i , zbiory X i Y muszą się przecinać. ${\ Displaystyle u = 1 + l ^ {2} + m ^ {2}}$${\ Displaystyle a ^ {2} \ równoważny b ^ {2} {\ pmod {p}}}$${\displaystyle a,b}$${\ Displaystyle a \ równoważnik \ pm b {\ pmod {p}}}$${\ Displaystyle X = \ {0 ^ {2}, 1 ^ {2}, \ kropki, ((p-1)/2) ^ {2} \}}$${\ Displaystyle (p + 1) / 2}$${\ Displaystyle Y = \ {- (1 + x): x \ w X \}}$${\ Displaystyle (p + 1) / 2}$${\displaystyle |X|+|Y|=p+1>p}$

Liczbę u można rozłożyć na kwaterniony Hurwitz:

${\ Displaystyle 1 + l ^ {2} + m ^ {2} = (1 + l \; \ mathbf {i} + m \; \ mathbf {j} ) (1-l \; \ mathbf {i} - m\;\mathbf {j} ).}$

Norma dotycząca kwaternionów Hurwitza spełnia formę własności euklidesowej : dla każdego kwaternionu o racjonalnych współczynnikach możemy wybrać kwaternion Hurwitza tak, aby najpierw wybrać tak, a następnie tak, że dla . Wtedy otrzymujemy ${\displaystyle \alpha =a_{0}+a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k}}$${\displaystyle \beta =b_{0}+b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k}}$${\ Displaystyle \ operatorname {N} (\ alfa - \ beta) <1}$${\displaystyle b_{0}}$${\displaystyle |a_{0}-b_{0}|\leq 1/4}$${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3}}$${\ Displaystyle | a_ {i}-b_ {i} | \ równoważnik 1/2}$${\displaystyle i=1,2,3}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ operatorname {N} (\ alfa - \ beta) i = (a_ {0}-b_ {0}) ^ {2} + (a_ {1}-b_ {1}) ^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+(a_{3}-b_{3})^{2}\\&\leq \left({\frac {1} {4}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^ {2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}={\frac {13}{16}}<1.\end{aligned}}}$

Wynika z tego, że dla dowolnych kwaternionów Hurwitz z , istnieje kwaternion Hurwitz taki, że ${\displaystyle \alfa,\beta}$${\ Displaystyle \ alfa \ neq 0}$${\ Displaystyle \ gamma}$

${\ Displaystyle \ operatorname {N} (\ beta - \ alfa \ gamma) <\ operatorname {N} (\ alfa).}$

Pierścień H kwaternionów Hurwitza nie jest przemienny, stąd nie jest rzeczywistą domeną euklidesową i nie ma unikalnego podziału na czynniki w zwykłym znaczeniu. Niemniej jednak z powyższej własności wynika, że ​​każdy słuszny ideał jest nadrzędny . Tak więc istnieje kwaternion Hurwitz taki, że ${\ Displaystyle \ alfa}$

${\ Displaystyle \ alfa H = pH + (1-l \; \ mathbf {i} -m \; \ mathbf {j}) H.}$

W szczególności dla niektórych kwaternionów Hurwitz . Gdyby była jednostką, byłaby wielokrotnością p , jednak jest to niemożliwe, ponieważ nie jest kwaternionem Hurwitza dla . Podobnie, gdybyśmy byli jednostką, mielibyśmy ${\displaystyle p=\alfa \beta}$${\ Displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle \ beta}$${\displaystyle 1-l\;\mathbf {i} -m\;\mathbf {j}}$${\displaystyle 1/pl/p\;\mathbf {i} -m/p\;\mathbf {j}}$${\displaystyle p>2}$${\ Displaystyle \ alfa}$

${\ Displaystyle (1 + l \; \ mathbf {i} + m \; \ mathbf {j} ) H = (1 + l \; \ mathbf {i} + m \; \ mathbf {j} ) pH + (1 +l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j} )(1-l\;\mathbf {i} -m\;\mathbf {j} )H\subseteq pH}$

więc p dzieli , co ponownie przeczy faktowi, że nie jest kwaternionem Hurwitza. Zatem p nie jest nieredukowalne Hurwitza, jak twierdził. ${\displaystyle 1+l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j}}$${\displaystyle 1/pl/p\;\mathbf {i} -m/p\;\mathbf {j}}$