Kwaternion Hurwitza - Hurwitz quaternion

W matematyce , A Hurwitz kwaternion (lub Hurwitz całkowitą ) jest kwaternion których składniki są albo wszystkie liczby całkowite lub wszystkie połówki całkowitymi (połówki nieparzystej całkowitej Mieszaninę liczb całkowitych i pół liczb jest wyłączony). Zbiór wszystkich kwaternionów Hurwitz to

Oznacza to, że albo a , b , c , d są liczbami całkowitymi, albo wszystkie są liczbami połówkowymi. H jest zamknięty pod kwaternionów mnożenia i dodatkowo, co sprawia, że podpierścień z pierścieniem wszystkich Quaternions H . Kwaterniony Hurwitz zostały wprowadzone przez Adolfa Hurwitza  ( 1919 ).

Lipschitz kwaternion (lub Lipschitz całkowitą ) jest kwaternion których elementy są całkowitymi . Zbiór wszystkich kwaternionów Lipschitz

tworzy podpierścień kwaternionów Hurwitz H . Liczby Hurwitza mają tę przewagę nad liczbami Lipschitza, że ​​można na nich dokonać dzielenia euklidesowego , uzyskując niewielką resztę.

Oba kwaterniony Hurwitza i Lipschitza są przykładami nieprzemiennych domen, które nie są pierścieniami podziału .

Struktura pierścienia kwaternionów Hurwitz

24 elementy kwaternionowe binarnej grupy czworościennej , widoczne w rzucie:
* 1 rząd-1: 1 * 1 rząd-2: -1 * 6 rząd-4: ±i, ±j, ±k * 8 rząd-6: (+ 1±i±j±k)/2 * 8 rząd-3: (-1±i±j±k)/2.

Jako grupa addytywna , H jest swobodnym abelem z generatorami {(1 + i + j + k )/2, i , j , k }. Dlatego tworzy sieć w R 4 . Ta krata jest znany jako F 4 kraty , ponieważ jest to kratownica korzeń z półprosty Lie algebra F 4 . Kwaterniony Lipschitz L tworzą indeks 2 podsieci H .

Grupa jednostek w L jest kolejność 8 kwaternion grupą P = {± 1, ± i , ± j , ± K }. Grupa jednostek w H jest nieabelowe grupa celu 24 znany jako binarny grupy tetraedrycznej . Elementy tej grupy obejmują 8 elementów Q wraz z 16 kwaternionymi {(±1 ± i ± j ± k )/2}, gdzie znaki mogą być przyjmowane w dowolnej kombinacji. Grupa kwaternionowa jest normalną podgrupą binarnej grupy tetraedrycznej U( H ). Elementy U( H ), które mają normę 1, tworzą wierzchołki 24-komórki wpisanej w 3-sferę .

Kwaterniony Hurwitza tworzą porządek (w sensie teorii pierścieni ) w pierścieniu podziału kwaternionów o składowych wymiernych . W rzeczywistości jest to porządek maksymalny ; to wyjaśnia jego znaczenie. Kwaterniony Lipschitza, które są bardziej oczywistymi kandydatami na ideę kwaternionów integralnych , również tworzą porządek. Ten ostatni porządek nie jest jednak maksymalny, a zatem (jak się okazuje) mniej odpowiedni do rozwijania teorii ideałów lewicowych porównywalnej z algebraiczną teorią liczb . Co Adolf Hurwitz zrealizowane, dlatego, że ta definicja Hurwitz integralna kwaterniony jest lepszy do pracy z. Dla nieprzemiennego pierścienia, takiego jak H , maksymalne porządki nie muszą być unikalne, więc trzeba ustalić maksymalny porządek, przenosząc koncepcję algebraicznej liczby całkowitej .

Krata kwaternionów Hurwitz

(Średnie arytmetyczne lub pola) normie z Hurwitz kwaternionów A + Bi + CJ + dk , podaje się 2 + b 2 + C 2 + d 2 jest zawsze liczbą całkowitą. Według twierdzenia Lagrange'a każdą nieujemną liczbę całkowitą można zapisać jako sumę co najwyżej czterech kwadratów . Tak więc każda nieujemna liczba całkowita jest normą niektórych kwaternionów Lipschitz (lub Hurwitz). Dokładniej, liczba c ( n ) kwaternionów Hurwitza danej normy dodatniej n jest 24 razy sumą nieparzystych dzielników n . Funkcja generująca liczb c ( n ) jest dana przez modułową postać 2 wagi 2

OEISA004011

gdzie

oraz

jest wagą 2 poziom 1 szeregu Eisensteina (która jest formą quasimodularną ), a σ 1 ( n ) jest sumą dzielników n .

Rozkład na czynniki nieredukowalne

Liczba całkowita Hurwitza nazywana jest nieredukowalną, jeśli nie jest równa 0 lub jednostką i nie jest iloczynem niejednostek. Liczba całkowita Hurwitza jest nieredukowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej normą jest liczba pierwsza . Nieredukowalne kwaterniony są czasami nazywane kwaternionymi pierwszymi, ale może to być mylące, ponieważ nie są one liczbami pierwszymi w zwykłym sensie algebry przemiennej: możliwe jest, aby nieredukowalny kwaternion dzielił iloczyn ab bez dzielenia a lub b . Każdy kwaternion Hurwitza może być uwzględniony jako produkt nieredukowalnych kwaternionów. Ta faktoryzacja nie jest generalnie unikalna, nawet do jednostek i rzędu, ponieważ dodatnią nieparzystą liczbę pierwszą p można zapisać na 24( p +1) sposobami jako iloczyn dwóch nieredukowalnych kwaternionów Hurwitza normy p , a dla dużych p nie mogą wszystkie są równoważne pod lewym i prawym mnożeniem przez jednostki, ponieważ są tylko 24 jednostki. Jeśli jednak wykluczy się ten przypadek, to istnieje wersja unikalnej faktoryzacji. Dokładniej, każdy kwaternion Hurwitza może być zapisany jednoznacznie jako iloczyn dodatniej liczby całkowitej i pierwotnego kwaternionu (quaternion Hurwitza niepodzielny przez żadną liczbę całkowitą większą niż 1). Faktoryzacja prymitywnego kwaternionu na nieredukowalne jest unikalna dla rzędu i jednostek w następującym sensie: jeśli

p 0 p 1 ... p n

oraz

q 0 q 1 ... q n

są dwoma faktoryzacjami jakiegoś prymitywnego kwaternionów Hurwitza na nieredukowalne kwaterniony, gdzie p k ma taką samą normę jak q k dla wszystkich k , to

dla niektórych jednostek u k .

Dzielenie z resztą

Zwykłe liczby całkowite i liczby całkowite Gaussa pozwalają na dzielenie przez resztę lub dzielenie euklidesowe . Dla dodatnich liczb całkowitych N i D zawsze istnieje iloraz Q i nieujemna reszta R taka, że

  • N = QD + R gdzie R < D .

Dla liczb całkowitych zespolonych lub gaussowskich N = a + i b oraz D = c + i d , przy normie N( D ) > 0, zawsze istnieje Q = p + i q i R = r + i s takie, że

  • N = QD + R , gdzie N( R ) < N( D ).

Jednak dla liczb całkowitych Lipschitza N = ( a , b , c , d ) i D = ( e , f , g , h ) może się zdarzyć, że N( R ) = N( D ). To zmotywowało do przejścia na liczby całkowite Hurwitza, dla których gwarantowany jest warunek N( R )<N( D ).

Wiele algorytmów opiera się na dzieleniu z resztą, na przykład algorytm Euklidesa dla największego wspólnego dzielnika.

Zobacz też

Bibliografia

  • Conway, John Horton ; Smith, Derek A. (2003). O kwaternionyach i oktonionach: ich geometria, arytmetyka i symetria . AK Petersa. Numer ISBN 1-56881-134-9.
  • Hurwitz, Adolf (2013) [1919]. Vorlesungen Über die Zahlentheorie der Quaternionen . Springer-Verlag. Numer ISBN 978-3-642-47536-8. JFM  47.0106.01 .