Uogólniona funkcja hipergeometryczna - Generalized hypergeometric function

W matematyce , A uogólnione hipergeometryczny serii jest cykl mocy , w którym stosunek kolejnych współczynników indeksowanych przez n jest funkcją wymierną od n . Szereg, jeśli jest zbieżny, definiuje uogólnioną funkcję hipergeometryczną , którą można następnie zdefiniować w szerszej dziedzinie argumentacji poprzez kontynuację analityczną . Uogólniony szereg hipergeometryczny jest czasami nazywany po prostu szeregiem hipergeometrycznym, chociaż termin ten czasami odnosi się również do szeregu hipergeometrycznego Gaussa . Uogólnione funkcje obejmują hypergeometric (Gaussa) funkcję hipergeometryczny i łączącej hipergeometryczny funkcję jako szczególnych przypadkach, które z kolei mają wiele szczególnych funkcji specjalnych jak szczególnych przypadkach, takich jak elementarnych funkcji , funkcji Bessela oraz klasycznych wielomianów ortogonalnych .

Notacja

Szereg hipergeometryczny jest formalnie definiowany jako szereg potęgowy

${\ Displaystyle \ beta _ {0} + \ beta _ {1} z + \ beta _ {2} z ^ {2} + \ kropki = \ suma _ {n \ geqslant 0} \ beta _ {n} z ^ { n}}$

w którym stosunek kolejnych współczynników jest funkcją wymierną od n . To jest,

${\ Displaystyle {\ Frac {\ beta _ {n + 1}} {\ beta _ {n}}} = {\ Frac {A (n)} {B (n)}}}$

gdzie A ( n ) i B ( n ) są wielomianami w n .

Na przykład w przypadku szeregu dla funkcji wykładniczej ,

${\ Displaystyle 1+ {\ Frac {z} {1!}} + {\ Frac {z ^ {2}} {2!}} + {\ Frac {z ^ {3} {3!}} + \ cdoty ,}$

mamy:

${\ Displaystyle \ beta _ {n} = {\ Frac {1} {n!}}, \ qquad {\ Frac {\ beta _ {n + 1}} {\ beta _ {n}}} = {\ Frac {1}{n+1}}.}$

Więc to spełnia definicję z A ( n )=1 i B ( n )= n +1 .

Zwyczajowo wylicza się wyraz wiodący, więc przyjmuje się , że β ₀ wynosi 1. Wielomiany można rozłożyć na czynniki liniowe postaci odpowiednio ( a _j  +  n ) i ( b _k  +  n ), gdzie a _j i b _k są liczbami zespolonymi .

Ze względów historycznych przyjmuje się, że (1 +  n ) jest współczynnikiem B . Jeśli tak nie jest, to zarówno A, jak i B można pomnożyć przez ten czynnik; współczynnik anuluje, więc warunki pozostają niezmienione i nie ma utraty ogólności.

Stosunek między kolejnymi współczynnikami ma teraz postać

${\ Displaystyle {\ Frac {c (a_ {1} + n) \ cdots (a_ {p} + n)} {d (b_ {1} + n) \ cdots (b_ {q} + n) (1+ n)}}}$,

gdzie c i d są wiodącymi współczynnikami A i B . Seria ma wtedy formę

${\ Displaystyle 1+ {\ Frac {a_ {1} \ cdots a_ {p}} {b_ {1} \ cdots b_ {q} \ cdot 1}} {\ Frac {cz} {d}} + {\ Frac {a_{1}\cdots a_{p}}{b_{1}\cdots b_{q}\cdot 1}}{\frac {(a_{1}+1)\cdots (a_{p}+1) }{(b_{1}+1)\cdots (b_{q}+1)\cdot 2}}\left({\frac {cz}{d}}\right)^{2}+\cdots }$,

lub poprzez skalowanie z przez odpowiedni współczynnik i zmianę kolejności,

${\ Displaystyle 1+ {\ Frac {a_ {1} \ cdots a_ {p}} {b_ {1} \ cdots b_ {q}}} {\ Frac {z} {1}} + {\ Frac {a_ {1}(a_{1}+1)\cdots a_{p}(a_{p}+1)}{b_{1}(b_{1}+1)\cdots b_{q}(b_{q} +1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\cdots }$.

Ma to postać wykładniczej funkcji generującej . Ta seria jest zwykle oznaczana przez

${\ Displaystyle {} _ {p} F_ {q} (a_ {1}, \ ldots, a_ {p}; b_ {1}, \ ldots, b_ {q}; z)}$

lub

${\ Displaystyle \, {} _ {p} F_ {q} \ lewo [{\ zacznij {macierz} a_ {1} i a_ {2} i \ cdots i a_ {p} \ \ b_ {1} i b_ {2} i \cdots &b_{q}\end{matrix}};z\right].}$

Używanie rosnącej silni lub symbolu Pochhammera

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} (a) _ {0} i = 1 \ \ (a) _ {n} i = a (a + 1) (a + 2) \ cdots (a + n-1 ),&&n\geq 1\end{wyrównany}}}$

można to napisać

${\ Displaystyle \, {}_ {p} F_ {q} (a_ {1}, \ ldots, a_ {p}; b_ {1}, \ ldots, b_ {q}; z) = \ suma _ {n =0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}\cdots (a_{p})_{n}}{(b_{1})_{n}\cdots (b_ {q})_{n}}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

(Zauważ, że to użycie symbolu Pochhammera nie jest standardowe; jednak jest to standardowe użycie w tym kontekście.)

Terminologia

Gdy wszystkie wyrazy szeregu są zdefiniowane i ma niezerowy promień zbieżności , wtedy szereg definiuje funkcję analityczną . Taka funkcja i jej analityczne kontynuacje nazywa się funkcją hipergeometryczną .

Przypadek, gdy promień zbieżności wynosi 0 daje wiele interesujących szeregów matematycznych, na przykład niepełna funkcja gamma ma rozwinięcie asymptotyczne

${\ Displaystyle \ Gamma (a, z) \ sim z ^ {a-1} e ^ {-z} \ lewo (1 + {\ Frac {a-1} {z}} + {\ Frac {(a- 1)(a-2)}{z^{2}}}+\cdots \right)}$

który może być napisany Ź ^{A -1} e ^-z  ₂ F ₀ (1 a , 1 ;; - Z ^-1 ). Jednak użycie terminu „ szereg hipergeometryczny” jest zwykle ograniczone do przypadku, gdy szereg ten definiuje rzeczywistą funkcję analityczną.

Zwykłego szeregu hipergeometrycznego nie należy mylić z podstawowym szeregiem hipergeometrycznym , który mimo swojej nazwy jest szeregiem bardziej skomplikowanym i rekondycyjnym. Szereg „podstawowy” jest analogiem q zwykłego szeregu hipergeometrycznego. Istnieje kilka takich uogólnień zwykłych szeregów hipergeometrycznych, w tym pochodzących z funkcji strefowych na symetrycznych przestrzeniach Riemanna .

Szereg bez współczynnika n ! w mianowniku (zsumowanym po wszystkich liczbach całkowitych n , w tym ujemnych) nazywany jest dwustronnym szeregiem hipergeometrycznym .

Warunki konwergencji

Istnieją pewne wartości a _j i b _k, dla których licznik lub mianownik współczynników wynosi 0.

• Jeśli a _j jest niedodatnią liczbą całkowitą (0, -1, -2, itd.), to szereg ma tylko skończoną liczbę wyrazów i jest w rzeczywistości wielomianem stopnia - a _j .
• Jeśli dowolny b _k jest niedodatnią liczbą całkowitą (z wyjątkiem poprzedniego przypadku z − b _k < a _j ), to mianowniki stają się 0, a seria jest niezdefiniowana.

Wyłączając te przypadki, test współczynnika można zastosować do określenia promienia zbieżności.

• Jeśli p < q + 1 to stosunek współczynników dąży do zera. Oznacza to, że szereg jest zbieżny dla dowolnej skończonej wartości z i tym samym definiuje całą funkcję z . Przykładem jest szereg potęgowy dla funkcji wykładniczej.
• Jeśli p = q + 1 to stosunek współczynników dąży do jedności. Oznacza to, że szereg jest zbieżny dla | z | < 1 i rozbieżne dla | z | > 1. Czy zbiega się dla | z | = 1 jest trudniejsze do ustalenia. Kontynuację analityczną można zastosować dla większych wartości z .
• Jeśli p > q + 1 to stosunek współczynników rośnie bez ograniczeń. Oznacza to, że oprócz z  = 0, szereg jest rozbieżny. Jest to zatem szereg rozbieżny lub asymptotyczny, lub może być interpretowany jako symboliczny skrót równania różniczkowego, którego suma formalnie spełnia.

Sprawa zbieżności dla p = q +1, gdy z znajduje się na okręgu jednostkowym, jest trudniejsza. Można wykazać, że szereg jest zbieżny bezwzględnie przy z = 1 if

${\ Displaystyle \ Re \ lewo (\ suma b_ {k} - \ suma a_ {j} \ po prawej)> 0}$.

Co więcej, jeśli p = q +1, a z jest rzeczywiste, to następujący wynik zbieżności jest zgodny z Quigley et al. (2013) : ${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {p} a_ {i} \ geq \ suma _ {j = 1} ^ {q} b_ {j}}$

${\ Displaystyle \ lim _ {z \ rightarrow 1} (1-z) {\ Frac {d \ log (_ {p} F_ {q} (a_ {1}, \ ldots, a_ {p}); b_ {1 },\ldots ,b_{q};z^{p}))}{dz}}=\sum _{i=1}^{p}a_{i}-\sum _{j=1}^{ q}b_{j}}$.

Podstawowe właściwości

Z definicji wynika, że ​​kolejność parametrów a _j lub kolejność parametrów b _k można zmienić bez zmiany wartości funkcji. Ponadto, jeśli którykolwiek z parametrów _j jest równa któregokolwiek z parametrów b _k , wówczas parametry dopasowywania można „anulowana”, z pewnymi wyjątkami, gdy parametry są non-dodatnie liczby całkowite. Na przykład,

${\ Displaystyle \, {} _ {2} F_ {1} (3, 1; 1; z) = \ {} _ {2} F_ {1} (1, 3; 1; z) = \, { }_{1}P_{0}(3;;z)}$.

To anulowanie jest szczególnym przypadkiem formuły redukcyjnej, którą można zastosować, gdy parametr w górnym wierszu różni się od parametru w dolnym wierszu o nieujemną liczbę całkowitą.

${\ Displaystyle {} _ {A + 1} F_ {B + 1} \ lewo [{\ zacząć {tablica} {c} A_ {1} \ ldots, a_ {A}, c + n \ \ b_ {1 },\ldots ,b_{B},c\end{array}};z\right]=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}{\frac {1 }{(c)_{j}}}{\frac {\prod _{i=1}^{A}(a_{i})_{j}}{\prod _{i=1}^{B }(b_{i})_{j}}}{}_{A}F_{B}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+j,\ldots ,a_{A}+ j\\b_{1}+j,\ldots ,b_{B}+j\end{array}};z\right]}$

Całkowa transformata Eulera

Następująca tożsamość podstawowa jest bardzo przydatna, ponieważ wiąże funkcje hipergeometryczne wyższego rzędu w kategoriach całek z funkcjami niższego rzędu

${\ Displaystyle {} _ {A + 1} F_ {B + 1} \ lewo [{\ zacząć {tablica} {c} a_ {1} \ ldots, a_ {A} c \ \ b_ {1}, \ldots ,b_{B},d\end{tablica}};z\right]={\frac {\Gamma (d)}{\Gamma (c)\Gamma (dc)}}\int _{0} ^{1}t^{c-1}(1-t)_{}^{dc-1}\ {}_{A}F_{B}\left[{\begin{array}{c}a_{ 1},\ldots ,a_{A}\\b_{1},\ldots ,b_{B}\end{array}};tz\right]dt}$

Różnicowanie

Uogólniona funkcja hipergeometryczna spełnia

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ lewo (z {\ Frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} z}} + a_ {j} \ po prawej) {} _ {p} F_ { q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end {array}};z\right]&=a_{j}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j }+1,\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\\end{aligned}}}$

i

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ lewo (z {\ Frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} z}} + b_ {k} -1 \ po prawej) {} _ {p} F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k},\dots ,b_{q} \end{array}};z\right]&=(b_{k}-1)\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1}, \dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k}-1,\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]{\text{ dla }}b_ {k}\neq 1\end{wyrównany}}}$

Dodatkowo,

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ Frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} z}} \; {} _ {p} F_ {q} \ lewo [{\ zacząć {tablica }{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&={\frac {\prod _ {i=1}^{p}a_{i}}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}\;{}_{p}F_{q}\lewo[{\ begin{array}{c}a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1\\b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1\end{array}};z\ prawo]\end{wyrównany}}}$

Ich połączenie daje równanie różniczkowe spełnione przez w = _p F _q :

${\ Displaystyle Z \ prod _ {n = 1} ^ {p} \ lewo (z {\ Frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} z}} + a_ {n} \ prawej) w =z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\prod _{n=1}^{q}\left(z{\frac {\rm {d}}{ {\rm {d}}z}}+b_{n}-1\prawo)w}$.

Funkcja ciągła i powiązane tożsamości

Weź następującego operatora:

${\ Displaystyle \ vartheta = z {\ Frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} z}}.}$

Z podanych wyżej wzorów różniczkowych przestrzeń liniowa rozpięta przez

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\kropki,a_{p};b_{1},\kropki,b_{q};z),\vartheta \;{}_ {p}F_{q}(a_{1},\kropki ,a_{p};b_{1},\kropki ,b_{q};z)}$

zawiera każdy z

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\kropki,a_{j}+1,\kropki,a_{p};b_{1},\kropki,b_{q}; z),}$

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\kropki,a_{p};b_{1},\kropki,b_{k}-1,\kropki,b_{q}; z),}$

${\displaystyle z\;{}_{p}F_{q}(a_{1}+1,\kropki,a_{p}+1;b_{1}+1,\kropki,b_{q}+1 ;z),}$

${\ Displaystyle {} _ {p} F_ {q} (a_ {1}, \ kropki, a_ {p}; b_ {1}, \ kropki, b_ {q}; z).}$

Ponieważ przestrzeń ma wymiar 2, dowolne trzy z tych funkcji p + q +2 są zależne liniowo. Zależności te można zapisać w celu wygenerowania dużej liczby tożsamości z udziałem . ${\ Displaystyle {} _ {p} F_ {q}}$

Na przykład w najprostszym nietrywialnym przypadku

${\displaystyle \;{}_{0}F_{1}(;a;z)=(1)\;{}_{0}F_{1}(;a;z)}$,

${\ Displaystyle \; {} _ {0}F_ {1}(; a-1; z) = ({\ Frac {\ vartheta }{a-1}} + 1) \; {} _ {0} F_ {1}(;a;z)}$,

${\displaystyle z\;{}_{0}F_{1}(;a+1;z)=(a\vartheta)\;{}_{0}F_{1}(;a;z)}$,

Więc

${\ Displaystyle \; {} _ {0} F_ {1} (; a-1; z) - \; {} _ {0} F_ {1} (; a; z) = {\ Frac {z} a(a-1)}}\;{}_{0}F_{1}(;a+1;z)}$.

Ten i inne ważne przykłady,

${\ Displaystyle \; {} _ {1} F_ {1} (a + 1; b; z) - \ {} _ {1} F_ {1} (a; b; z) = {\ Frac {z }{b}}\;{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$,

${\ Displaystyle \; {} _ {1} F_ {1} (a; b-1; z) - \ {} _ {1} F_ {1} (a; b; z) = {\ Frac {az }{b(b-1)}}\;{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$,

${\ Displaystyle \; {} _ {1} F_ {1} (a; b-1; z) - \ {} _ {1} F_ {1} (a + 1; b; z) = {\ Frac {(a-b+1)z}{b(b-1)}}\;{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$

${\ Displaystyle \; {} _ {2} F_ {1} (a + 1 b; c; z) - \ {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = { \frac {bz}{c}}\;{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}$,

${\displaystyle \;{}_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)-\,{}_{2}F_{1}(a,b+1;c;z) ={\frac {(ba)z}{c}}\;{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}$,

${\displaystyle \;{}_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,{}_{2}F_{1}(a+1,b;c;z) ={\frac {(a-c+1)bz}{c(c-1)}}\;{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z) }$,

może służyć do generowania wyrażeń ułamków ciągłych znanych jako ułamek ciągły Gaussa .

Podobnie, przy dwukrotnym zastosowaniu wzorów różniczkowych, mamy takie funkcje zawarte w ${\displaystyle {\binom {p+q+3}{2}}}$

${\displaystyle \{1,\vartheta,\vartheta ^{2}\}\;{}_{p}F_{q}(a_{1},\kropki,a_{p};b_{1},\ kropki ,b_{q};z),}$

który ma wymiar trzeci, więc dowolne cztery są liniowo zależne. To generuje więcej tożsamości i proces może być kontynuowany. Wygenerowane w ten sposób tożsamości można łączyć ze sobą, tworząc nowe w inny sposób.

Funkcja uzyskana przez dodanie ±1 do dokładnie jednego z parametrów a _j , b _k in

${\ Displaystyle {} _ {p} F_ {q} (a_ {1}, \ kropki, a_ {p}; b_ {1}, \ kropki, b_ {q}; z)}$

nazywa się ciągłym do

${\ Displaystyle {} _ {p} F_ {q} (a_ {1}, \ kropki, a_ {p}; b_ {1}, \ kropki, b_ {q}; z).}$

Stosując technikę opisaną powyżej, można podać tożsamość związaną i jej dwie przylegające funkcje, sześć tożsamości powiązanych i dowolne dwie z jej czterech przylegających funkcji oraz piętnaście tożsamości powiązanych i dowolne dwie z jej sześciu przylegających funkcji. (Pierwsze z nich zostało wyprowadzone w poprzednim akapicie. Ostatnich piętnaście podał Gauss w jego pracy z 1812 r.) ${\displaystyle {}_{0}F_{1}(;a;z)}$${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$

Tożsamości

Szereg innych tożsamości funkcji hipergeometrycznych odkryto w XIX i XX wieku. Wkładem XX wieku w metodologię potwierdzania tych tożsamości jest metoda Egorycheva .

Twierdzenie Saalschütza

Twierdzenie Saalschütza ( Saalschütz 1890 ) to

${\ Displaystyle {} _ {3} F_ {2} (a, b, -n; c, 1 + a + bcn; 1) = {\ Frac {(ca) _ {n} (cb) _ {n} }{(c)_{n}(kabina)_{n}}}.}$

Rozszerzenie tego twierdzenia można znaleźć w artykule badawczym Rakha i Rathie.

Tożsamość Dixona

Tożsamość Dixona, po raz pierwszy udowodniona przez Dixona (1902) , daje sumę dobrze przygotowanego ₃ F ₂ przy 1:

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(a,b,c;1+ab,1+ac;1)={\frac {\gamma (1+{\frac {a}{2}} )\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-bc)\Gamma (1+ab)\Gamma (1+ac)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+abc)\ Gamma (1+{\frac {a}{2}}-b)\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-c)}}.}$

Dla uogólnienia tożsamości Dixona, patrz artykuł Lavoie, et al.

Formuła Douglasa

Formuła Dougalla  ( Dougall 1907 ) daje sumę bardzo dobrze wyważonej serii, która kończy się i jest 2-zrównoważona.

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {} _ {7} F_ {6} i \ lewo ({\ rozpocząć {macierz} a i 1 + {\ Frac {a} {2}} i b & c & d & e & m \ \ & {\ Frac { a}{2}}&1+ab&1+ac&1+ad&1+ae&1+a+m\\\end{matrix}};1\right)=\\&={\frac {(1+a)_{m} (1+abc)_{m}(1+acd)_{m}(1+abd)_{m}}{(1+ab)_{m}(1+ac)_{m}(1+ ad)_{m}(1+abcd)_{m}}}.\end{wyrównany}}}$

Zakończenie oznacza, że m jest nieujemną liczbą całkowitą, a 2-symetryczne oznacza, że

${\displaystyle 1+2a=b+c+d+em.}$

Wiele innych wzorów na specjalne wartości funkcji hipergeometrycznych można wyprowadzić z tego jako przypadki specjalne lub graniczne.

Uogólnienie przekształceń i tożsamości Kummera dla ₂ F ₂

Tożsamość 1.

${\ Displaystyle e ^ {-x} \; {} _ {2} F_ {2} (a, 1 + d; c, d; x) = {} _ {2} F_ {2} (ca-1, f+1;c,f;-x)}$

gdzie

${\ Displaystyle f = {\ Frac {d (a-c + 1)} {reklama}}}$;

Tożsamość 2.

${\ Displaystyle e ^ {- {\ Frac {x} {2}}} \ {} _ {2} F_ {2} \ lewo (a, 1 + b; 2a + 1, b; x \ po prawej) = {}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)-{\frac {x\ left(1-{\tfrac {2a}{b}}\right)}{2(2a+1)}}\;{}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {3} {2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\prawo),}$

który łączy funkcje Bessela z ₂ F ₂ ; to sprowadza się do drugiego wzoru Kummera dla b = 2 a :

Tożsamość 3.

${\ Displaystyle e ^ {- {\ Frac {x} {2}}} \ {} _ {1} F_ {1} (a, 2a, x) = {} _ {0} F_ {1} \ lewo (;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)}$.

Tożsamość 4.

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {} _ {2} F_ {2} (a, b; c, d; x) = & \ suma _ {i = 0} {\ Frac {{bd \ wybierz i} {a+i-1 \choose i}}{{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}}}\;{}_{1}F_{1}(a+i ;c+i;x){\frac {x^{i}}{i!}}\\=&e^{x}\sum _{i=0}{\frac {{bd \wybierz i}{a +i-1 \choose i}}{{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}}}\;{}_{1}F_{1}(ca;c+i ;-x){\frac {x^{i}}{i!}},\end{wyrównany}}}$

co jest sumą skończoną, jeśli bd jest nieujemną liczbą całkowitą.

Relacja Kummera

Relacja Kummera to

${\ Displaystyle {} _ {2} F_ {1} \ lewo (2a, 2 b; a + b + {\ tfrac {1} {2}}; x \ prawo) = {} _ {2} F_ {1} \ left(a,b;a+b+{\tfrac {1}{2}};4x(1-x)\right).}$

Wzór Clausena Claus

Wzór Clausena Claus

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(2c-2s-1,2s,c-{\tfrac {1}{2}};2c-1,c;x)=\,{}_{ 2}F_{1}(cs-{\tfrac {1}{2}},s;c;x)^{2}}$

został wykorzystany przez de Branges do udowodnienia hipotezy Bieberbacha .

Przypadki specjalne

Wiele funkcji specjalnych w matematyce to szczególne przypadki konfluentnej funkcji hipergeometrycznej lub funkcji hipergeometrycznej ; przykłady można znaleźć w odpowiednich artykułach.

Seria ₀ F ₀

Jak wspomniano wcześniej, . Równanie różniczkowe dla tej funkcji to , które ma rozwiązania, w których k jest stałą. ${\ Displaystyle {} _ {0} F_ {0} (;; Z) = e ^ {z}}$${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dz}} w = w}$${\ Displaystyle w = ke ^ {z}}$

Seria ₁ F ₀

Ważnym przypadkiem jest:

${\ Displaystyle {} _ {1} F_ {0} (a;; z) = (1-z) ^ {-a}.}$

Równanie różniczkowe dla tej funkcji to

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dz}} w = \ lewo (z {\ Frac {d} {dz}} + a \ prawo) w}$

lub

${\ Displaystyle (1-z) {\ Frac {dw} {dz}} = aw,}$

który ma rozwiązania

${\ Displaystyle w = k (1-z) ^ {-a}}$

gdzie k jest stałą.

${\ Displaystyle {} _ {1} F_ {0} (1;; z) = \ suma _ {n \ geqslant 0} z ^ {n} = (1-z) ^ {-1}}$jest szeregiem geometrycznym o stosunku z i współczynniku 1.

${\ Displaystyle z ~ {} _ {1} F_ {0} (2;; z) = \ suma _ {n \ geqslant 0} nz ^ {n} = z (1-z) ^ {-2}}$ jest również przydatny.

Seria ₀ F ₁

Szczególnym przypadkiem jest:

${\ Displaystyle {} _ {0} F_ {1} \ lewo (; {\ Frac {1} {2}}; - {\ Frac {z ^ {2}} {4}} \ prawej) = \ cos z }$

Przykład

Otrzymamy ten wynik, korzystając ze wzoru z silniami rosnącymi w następujący sposób:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {} _ {0} F_ {1} \ lewo (; {\ tfrac {1} {2}}; - {\ tfrac {z ^ {2}} {4}} \ po prawej)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{({\tfrac {1}{2}})_{k}}}\,{\frac {(- {\frac {z^{2}}{4}})^{k}}{k!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{\prod _{ j=1}^{k}({\tfrac {1}{2}}+j-1)}}\,{\frac {(-{\frac {z^{2}}{4}})^ {k}}{k!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{k!4^{k}\ prod _{j=1}^{k}(j-{\tfrac {1}{2}})}}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(- 1)^{k}z^{2k}}{k!2^{k}2^{k}\prod _{j=1}^{k}({\tfrac {2j-1}{2}} )}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{k!2^{k}2^{k}{\ tfrac {\prod _{j=1}^{k}(2j-1)}{2^{k}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(- 1)^{k}z^{2k}}{k!2^{k}\prod _{j=1}^{k}(2j-1)}}\\&=\sum _{k=0 }^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{\prod _{j=1}^{k}(2j)\prod _{j=1}^{ k}(2j-1)}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k)!}}=\ cos z\end{wyrównany}}}$

Funkcje postaci nazywane są konfluentnymi funkcjami granic hipergeometrycznych i są ściśle związane z funkcjami Bessela . ${\displaystyle {}_{0}F_{1}(;a;z)}$

Związek jest:

${\ Displaystyle J_ {\ alfa} (x) = {\ Frac {({\ tfrac {x} {2}}) ^ {\ alfa}} {\ Gamma (\ alfa +1)}} {} _ {0 }F_{1}\left(;\alpha +1;-{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).}$

${\ Displaystyle I_ {\ alfa} (x) = {\ Frac {({\ tfrac {x} {2}}) ^ {\ alfa}} {\ Gamma (\ alfa +1)}} {} _ {0 }F_{1}\left(;\alpha +1;{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).}$

Równanie różniczkowe dla tej funkcji to

${\ Displaystyle w = \ lewo (z {\ Frac {d} {dz}} + a \ po prawej) {\ Frac {dw} {dz}}}$

lub

${\ Displaystyle Z {\ Frac {d ^ {2} w} {dz ^ {2}}} + a {\ Frac {dw} {dz}} - W = 0.}$

Gdy a nie jest liczbą całkowitą dodatnią, podstawienie

${\ Displaystyle w = z ^ {1-a} u}$

daje liniowo niezależne rozwiązanie

${\ Displaystyle z ^ {1-a} \; {} _ {0} F_ {1} (; 2-a; z),}$

więc ogólne rozwiązanie to

${\ Displaystyle k \; {} _ {0} F_ {1} (; a; z) + lz ^ {1-a} \; {} _ {0} F_ {1} (; 2-a; z) }$

gdzie k , l są stałymi. (Jeżeli a jest dodatnią liczbą całkowitą, niezależne rozwiązanie jest podane przez odpowiednią funkcję Bessela drugiego rodzaju.)

Seria ₁ F ₁

Funkcje postaci nazywane są konfluentnymi funkcjami hipergeometrycznymi pierwszego rodzaju , również pisanymi . Szczególnym przypadkiem jest niepełna funkcja gamma . ${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}$${\displaystyle M(a;b;z)}$${\ Displaystyle \ gamma (a, z)}$

Równanie różniczkowe dla tej funkcji to

${\ Displaystyle \ lewo (z {\ Frac {d} {dz}} + a \ po prawej) w = \ po lewej (z {\ Frac {d} {dz}} + b \ po prawej) {\ Frac {dw} { dz}}}$

lub

${\ Displaystyle Z {\ Frac {d ^ {2} w} {dz ^ {2}}} + (bz) {\ Frac {dw} {dz}} - aw = 0.}$

Gdy b nie jest liczbą całkowitą dodatnią, podstawienie

${\ Displaystyle w = z ^ {1-b} u}$

daje liniowo niezależne rozwiązanie

${\ Displaystyle z ^ {1-b} \; {} _ {1} F_ {1} (1 + ab; 2-b; z),}$

więc ogólne rozwiązanie to

${\ Displaystyle k \; {} _ {1} F_ {1} (a; b; z) + lz ^ {1-b} \; {} _ {1} F_ {1} (1 + ab; 2- b;z)}$

gdzie k , l są stałymi.

Gdy a jest niedodatnią liczbą całkowitą, − n , jest wielomianem. Do współczynników stałych są to wielomiany Laguerre'a . Oznacza to, że wielomiany Hermite'a mogą być również wyrażone w postaci ₁ F ₁ . ${\displaystyle {}_{1}F_{1}(-n;b;z)}$

Seria ₂ F ₀

Dzieje się tak w połączeniu z wykładniczą funkcją całki Ei( z ).

Seria ₂ F ₁

Historycznie najważniejsze są funkcje formy . Są one czasami nazywane funkcjami hipergeometrycznymi Gaussa , klasycznymi standardowymi funkcjami hipergeometrycznymi lub często po prostu funkcjami hipergeometrycznymi. Termin Uogólniona funkcja hipergeometryczna jest używany dla funkcji _p F _q, jeśli istnieje ryzyko pomyłki. Funkcja ta została po raz pierwszy szczegółowo zbadana przez Carla Friedricha Gaussa , który badał warunki jej zbieżności. ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$

Równanie różniczkowe dla tej funkcji to

${\ Displaystyle \ lewo (z {\ Frac {d} {dz}} + a \ po prawej) \ po lewej (z {\ Frac {d} {dz}} + b \ po prawej) w = \ po lewej (z {\ Frac {d}{dz}}+c\w prawo){\frac {dw}{dz}}}$

lub

${\ Displaystyle z (1-z) {\ Frac {d ^ {2} w} {dz ^ {2}}} + \ lewo [c- (a + b + 1) z \ prawej] {\ Frac {dw }{dz}}-ab\,w=0.}$

Jest znany jako hipergeometryczne równanie różniczkowe . Gdy c nie jest liczbą całkowitą dodatnią, podstawienie

${\ Displaystyle w = z ^ {1-c} u}$

daje liniowo niezależne rozwiązanie

${\ Displaystyle z ^ {1-c} \; {} _ {2} F_ {1} (1 + AC, 1 + bc; 2-c; z),}$

więc ogólne rozwiązanie dla | z | < 1 jest

${\ Displaystyle k \; {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) + lz ^ {1-c} \; {} _ {2} F_ {1} (1 + ac, 1+bc;2-c;z)}$

gdzie k , l są stałymi. Dla innych wartości z można wyprowadzić różne rozwiązania . W rzeczywistości istnieją 24 rozwiązania, znane jako rozwiązania Kummera , wyprowadzone przy użyciu różnych tożsamości, ważne w różnych obszarach płaszczyzny zespolonej.

Gdy a jest niedodatnią liczbą całkowitą, − n ,

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-n,b;c;z)}$

jest wielomianem. Do współczynników stałych i skalowania są to wielomiany Jacobiego . Kilka innych klas wielomianów ortogonalnych, aż do współczynników stałych, to szczególne przypadki wielomianów Jacobiego, więc można je wyrazić również za pomocą ₂ F ₁ . Obejmuje to wielomiany Legendre'a i wielomiany Czebyszewa .

Za pomocą funkcji hipergeometrycznej można wyrazić szeroki zakres całek funkcji elementarnych, np.:

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {x} {\ sqrt {1 + Y ^ {\ alfa}}} \ \ operatorname {d} y = {\ Frac {x} {2 + \ alfa}} \ left\{\alpha \;{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{\alpha }},{\tfrac {1}{2}};1+{\tfrac {1 }{\alpha }};-x^{\alpha }\right)+2{\sqrt {x^{\alpha }+1}}\right\},\qquad \alpha \neq 0.}$

Seria ₃ F ₀

Dzieje się tak w połączeniu z wielomianami Motta .

Seria ₃ F ₁

Dzieje się tak w teorii funkcji Bessela. Zapewnia sposób obliczania funkcji Bessela dla dużych argumentów.

Dilogarytm

${\ Displaystyle \ Operatorname {Li} _ {2} (x) = \ suma _ {n> 0} \ {x ^ {n}} {n ^ {-2}} = x \; {} _ {3 }F_{2}(1,1,1;2,2;x)}$jest dylogarytm

Wielomiany Hahna

${\displaystyle Q_{n}(x;a,b,N)={}_{3}F_{2}(-n,-x,n+a+b+1;a+1,-N+1 ;1)}$jest wielomianem Hahna .

Wielomiany Wilsona

${\ Displaystyle p_ {n} (t ^ {2}) = (a + b) _ {n} (a + c) _ {n} (a + d) _ {n} \; {} {4} F_{3}\left({\begin{macierz}-n&a+b+c+d+n-1&a-t&a+t\\a+b&a+c&a+d\end{macierz}};1\right)}$jest wielomianem Wilsona .

Uogólnienia

Uogólnionej funkcji hipergeometryczny jest połączony z Meijer G funkcji i MacRobert funkcji e . Szeregi hipergeometryczne uogólnili na kilka zmiennych, na przykład Paul Emile Appell i Joseph Kampé de Fériet ; długo jednak zajęło pojawienie się porównywalnej ogólnej teorii. Znaleziono wiele tożsamości, niektóre całkiem niezwykłe. Uogólnienie, analogi serii q , zwane podstawowymi szeregami hipergeometrycznymi , podał pod koniec XIX wieku Eduard Heine . Tutaj iloraz rozpatrywanych po sobie wyrazów, zamiast funkcji wymiernej n , jest funkcją wymierną q ⁿ . Inne uogólnienie, eliptyczne szeregi hipergeometryczne , to te szeregi, w których stosunek składników jest funkcją eliptyczną ( funkcja meromorficzna z podwójnym okresem ) n .

W XX wieku była to owocna dziedzina matematyki kombinatorycznej, z licznymi powiązaniami z innymi dziedzinami. Istnieje wiele nowych definicji ogólnych funkcji hipergeometrycznych , autorstwa Aomoto, Israela Gelfanda i innych; oraz zastosowania na przykład do kombinatoryki rozmieszczania wielu hiperpłaszczyzn w złożonej przestrzeni N (patrz rozmieszczenie hiperpłaszczyzn ).

Specjalne funkcje hipergeometryczne występują jako strefowe funkcje sferyczne na symetrycznych przestrzeniach Riemanna i półprostych grupach Liego . Ich znaczenie i rolę można zrozumieć na następującym przykładzie: szereg hipergeometryczny ₂ F ₁ ma wielomiany Legendre'a jako szczególny przypadek, a gdy rozpatrywane w postaci harmoniki sferycznej , wielomiany te odzwierciedlają w pewnym sensie właściwości symetrii dwusfera lub równoważnie obroty podane przez grupę Liego SO(3) . W tensorowych dekompozycjach konkretnych reprezentacji tej grupy występują współczynniki Clebscha-Gordana , które można zapisać jako szereg hipergeometryczny ₃ F ₂ .

Dwustronne szeregi hipergeometryczne są uogólnieniem funkcji hipergeometrycznych, w których sumuje się wszystkie liczby całkowite, a nie tylko dodatnie.

Funkcje Foxa-Wrighta są uogólnieniem uogólnionych funkcji hipergeometrycznych, w których symbole Pochhammera w wyrażeniu serii są uogólnione na funkcje gamma wyrażeń liniowych w indeksie n .

Zobacz też

• Seria Appell
• Seria Humbert
• Funkcja Kampé de Fériet
• Seria hipergeometryczna Lauricella

Uwagi

Bibliografia

• Askey, RZS; Daalhuis, Adri B. Olde (2010), "Uogólniona funkcja hipergeometryczna" , w Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Andrews, George E.; Askey, Richard i Roy, Ranjan (1999). Funkcje specjalne . Encyklopedia Matematyki i jej Zastosowania. 71 . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. Numer ISBN 978-0-521-78988-2. MR  1688958 .
• Bailey, WN (1935). Uogólnione serie hipergeometryczne . Cambridge Tracts w matematyce i fizyce matematycznej. 32 . Londyn: Cambridge University Press. Zbl  0011.02303 .
• Dixon, AC (1902). „Podsumowanie pewnej serii” . Proc. Londyn Matematyka. Soc . 35 (1): 284–291. doi : 10.1112/plms/s1-35.1.284 . JFM  34.0490.02 .
• Dougall, J. (1907). „O twierdzeniu Vandermonde'a i kilku bardziej ogólnych rozwinięciach” . Proc. Edynburg Matematyka. Soc . 25 : 114–132. doi : 10.1017/S0013091500033642 .
• Erdélyi, Artur; Magnus, Wilhelm ; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1955). Wyższe funkcje transcendentalne. Cz. III . McGraw-Hill Book Company, Inc., Nowy Jork-Toronto-Londyn. MR  0066496 .
• Gaspera, George'a; Rahman, Mizan (2004). Podstawowe serie hipergeometryczne . Encyklopedia matematyki i jej zastosowań. 96 (wyd. 2). Cambridge, Wielka Brytania: Cambridge University Press. Numer ISBN 978-0-521-83357-8. MR  2128719 . Zbl  1129.33005 .(pierwsze wydanie ma ISBN  0-521-35049-2 )
• Gauss, Carl Friedrich (1813). „Disquisitiones generales circa seriam infinitam   ”${\ Displaystyle 1 + {\ tfrac {\ alfa \ beta} {1 \ cdot \ gamma}} ~ x + {\ tfrac {\ alfa (\ alfa +1) \ beta (\ beta +1) {1 \ cdot 2 \cdot \gamma (\gamma +1)}}~x~x+{\mbox{etc.}}}$ . Commentationes Societatis Regiae Scientarum Gottingensis Recentiores (po łacinie). Getynga. 2 .(przedruk tego artykułu można znaleźć w Carl Friedrich Gauss, Werke , s. 125)
• Grinshpan, AZ (2013), "Uogólnione funkcje hipergeometryczne: tożsamości produktów i nierówności norm ważonych", The Ramanujan Journal , 31 (1-2): 53-66, doi : 10.1007/s11139-013-9487-x , S2CID  121054930

• Heckman, Gerrit i Schlichtkrull, Henrik (1994). Analiza harmoniczna i funkcje specjalne w przestrzeniach symetrycznych . San Diego: prasa akademicka. Numer ISBN 978-0-12-336170-7. (część 1 traktuje o funkcjach hipergeometrycznych na grupach Liego)
• Lavoie, JL; Grondin, F.; Rathie, AK; Arora, K. (1994). „Uogólnienia twierdzenia Dixona na sumę 3F2”. Matematyka. komp . 62 (205): 267-276. doi : 10.2307/2153407 . JSTOR  2153407 .
• Millera, AR; Paryż, RB (2011). "Przekształcenia typu Eulera dla uogólnionej funkcji hipergeometrycznej _r+2 F _r+1 " . Z. Angew. Matematyka. Fiz . 62 : 31–45. doi : 10.1007/s00033-010-0085-0 . S2CID  30484300 .
• Quigley, J.; Wilsona, KJ; Ściany, L.; Bedford, T. (2013). „Liniowa metoda Bayesa Bayesa do szacowania współczynników skorelowanych zdarzeń” (PDF) . Analiza ryzyka . 33 (12): 2209–2224. doi : 10.1111/risa.12035 . PMID  23551053 .
• Rathie, Arjun K.; Pogány, Tibor K. (2008). „Nowy wzór sumowania dla ₃ F ₂ (1/2) i transformacji Kummera typu II ₂ F ₂ ( x )” . Komunikacja matematyczna . 13 : 63-66. MR  2422088 . Zbl  1146.33002 .
• Rakha, MA; Rathie, Arjun K. (2011). "Rozszerzenia transformacji Eulera typu II i twierdzenie Saalschutza" . Byk. Matematyka koreańska. Soc . 48 (1): 151–156. doi : 10.4134/bkms.2011.48.1.151 .
• Saalschütz, L. (1890). „Eine Summationsformel”. Zeitschrift für Mathematik und Physik (w języku niemieckim). 35 : 186-188. JFM  22.0262.03 .
• Slater, Lucy Joan (1966). Uogólnione funkcje hipergeometryczne . Cambridge, Wielka Brytania: Cambridge University Press. Numer ISBN 978-0-521-06483-5. MR  0201688 . Zbl  0135.28101 .(jest książka w miękkiej okładce 2008 z ISBN  978-0-521-09061-2 )
• Yoshida, Masaaki (1997). Funkcje hipergeometryczne, moja miłość: modułowe interpretacje przestrzeni konfiguracyjnych . Brunszwik/Wiesbaden: Friedr. Vieweg & Sohn. Numer ISBN 978-3-528-06925-4. MR  1453580 .

Linki zewnętrzne

• Książka "A = B" , ta książka jest do ściągnięcia za darmo z Internetu.
• Matematyka
  • Weisstein, Eric W. „Uogólniona funkcja hipergeometryczna” . MatematykaŚwiat .
  • Weisstein, Eric W. „Funkcja hipergeometryczna” . MatematykaŚwiat .
  • Weisstein, Eric W. „Konfluentna funkcja hipergeometryczna pierwszego rodzaju” . MatematykaŚwiat .
  • Weisstein, Eric W. „Funkcja limitu hipergeometrycznego konfluentnego” . MatematykaŚwiat .