Kwantyfikacja egzystencjalna - Existential quantification

W bazowego logiki An egzystencjalny kwantyfikacja jest rodzajem kwantyfikatora , A logiczny stały , który jest interpretowany jako „nie występuje”, „jest co najmniej jeden” lub „w jakimś”. Jest zwykle oznaczany przez symbol operatora logicznego ∃, który w połączeniu ze zmienną predykatu jest nazywany kwantyfikatorem egzystencjalnym („ $\exists$ $x$ ” lub „ $\exists($ $x$ $)$ ”). Kwantyfikacja egzystencjalna różni się od kwantyfikacji uniwersalnej („dla wszystkich”), która zakłada, że własność lub relacja obowiązuje dla wszystkich członków domeny. Niektóre źródła używają terminu egzystencjalizacja w odniesieniu do kwantyfikacji egzystencjalnej.

Podstawy

Rozważ wzór, który mówi, że jakaś liczba naturalna pomnożona przez siebie wynosi 25.

0,0 = 25 lub 1,1 = 25 lub 2,2 = 25, lub 3,3 = 25 i tak dalej.

Wydaje się to być logiczną alternatywą z powodu wielokrotnego użycia „lub”. Jednak „i tak dalej” uniemożliwia to zintegrowanie i zinterpretowanie jako alternatywę w logice formalnej . Zamiast tego oświadczenie można by sformułować bardziej formalnie jako:

Dla pewnej liczby naturalnej n , n · n = 25.

Jest to pojedyncze stwierdzenie wykorzystujące kwantyfikację egzystencjalną.

To stwierdzenie jest bardziej precyzyjne niż oryginalne, ponieważ wyrażenie „i tak dalej” niekoniecznie zawiera wszystkie liczby naturalne i wyklucza wszystko inne. A ponieważ domena nie została określona wprost, fraza ta nie mogła być zinterpretowana formalnie. Jednak w stwierdzeniu ilościowym liczby naturalne są wyraźnie wymienione.

Ten konkretny przykład jest prawdziwy, ponieważ 5 jest liczbą naturalną, a kiedy podstawimy 5 za n , otrzymamy "5,5 = 25", co jest prawdą. Nie ma znaczenia, że " n · n = 25" jest prawdziwe tylko dla jednej liczby naturalnej, 5; nawet istnienie jednego rozwiązania wystarczy, aby udowodnić, że ta egzystencjalna kwantyfikacja jest prawdziwa. Natomiast „Dla pewnej liczby parzystej n , n · n = 25” jest fałszywe, ponieważ nie ma parzystych rozwiązań.

Dziedzina dyskursu , która określa wartości, jakie może przyjąć zmienna n , jest zatem krytyczna dla prawdziwości lub fałszu wypowiedzi. Spójniki logiczne służą do ograniczenia dziedziny dyskursu do spełnienia danego predykatu. Na przykład:

Dla pewnej dodatniej liczby nieparzystej n , n · n = 25

jest logicznie równoważne z

Dla niektórych liczby naturalne n , n jest liczbą nieparzystą, a N · n = 25.

Tutaj „i” jest spójnikiem logicznym.

W logice symbolicznej „∃” (obrócona litera „ E ”, pisana czcionką bezszeryfową ) jest używana do wskazania kwantyfikacji egzystencjalnej. Zatem, jeśli P ( a , b , c ) jest predykatem „ a · b = c” i jest zbiorem liczb naturalnych, to ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$

{\ Displaystyle \ istnieje {n} {\ w} \ mathbb {N} \, P (n, n, 25)}

jest (prawdziwym) stwierdzeniem

Dla pewnej liczby naturalnej n , n · n = 25.

Podobnie, jeśli Q ( n ) jest predykatem " n jest parzyste", wtedy

{\ Displaystyle \ istnieje {n} {\ w } \ mathbb {N} \, {\ duży (} Q (n) \; \! \; \! {\ klin} \; \! \; \! P ( n,n,25){\duży )}}

jest (fałszywe) stwierdzenie

Dla niektórych liczby naturalne n , n jest równe i n · n = 25.

W matematyce dowód "pewnego" twierdzenia może być osiągnięty albo przez dowód konstruktywny , który wykazuje obiekt spełniający "jakieś" zdanie, albo przez dowód niekonstruktywny , który pokazuje, że musi istnieć taki przedmiot, ale go nie wykazują .

Nieruchomości

Negacja

Ilościowa funkcja zdaniowa to stwierdzenie; w ten sposób, podobnie jak instrukcje, funkcje kwantyfikowane mogą być negowane. Symbol jest używany do oznaczenia negacji. ${\ Displaystyle \ nie \ }$

Na przykład, jeśli P ( x ) jest predykatem „ x jest większe od 0 i mniejsze od 1”, to dla dziedziny dyskursu X wszystkich liczb naturalnych egzystencjalna kwantyfikacja „Istnieje liczba naturalna x większa od 0 i mniej niż 1" można symbolicznie określić jako:

{\ Displaystyle \ istnieje {x} {\ w} \ mathbf {X} \, P (x)}

Można wykazać, że jest to fałszywe. Prawdę mówiąc, trzeba powiedzieć: „Nie jest tak, że istnieje liczba naturalna x, która jest większa od 0 i mniejsza od 1”, lub symbolicznie:

{\ Displaystyle \ nie \ \ istnieje {x} {\ w} \ mathbf {X} \ P (x)}

.

Jeśli nie ma elementu domeny dyskursu, dla którego zdanie jest prawdziwe, to musi być fałszywe dla wszystkich tych elementów. To znaczy negacja

{\ Displaystyle \ istnieje {x} {\ w} \ mathbf {X} \, P (x)}

jest logicznie równoważne "Dla dowolnej liczby naturalnej x , x nie jest większe niż 0 i mniejsze niż 1", lub:

{\ Displaystyle \ forall {x} {\ w} \ mathbf {X} \ \ nie P (x)}

Ogólnie więc negacja egzystencjalnej kwantyfikacji funkcji zdaniowej jest uniwersalną kwantyfikacją negacji tej funkcji zdaniowej; symbolicznie,

{\ Displaystyle \ nie \ \ istnieje {x} {\ w} \ mathbf {X} \, P (x) \ równoważne \ \ forall {x} {\ w} \ mathbf {X} \ \ l nie P (x )}

(Jest to uogólnienie praw De Morgana do logiki predykatów).

Częstym błędem jest twierdzenie, że „wszystkie osoby nie są w związku małżeńskim” (tj. „nie istnieje osoba pozostająca w związku małżeńskim”), gdy zamierzone jest „nie wszystkie osoby są w związku małżeńskim” (tj. „istnieje osoba, która nie jest w związku małżeńskim”). :

{\ Displaystyle \ nie \ \ istnieje {x} {\ w} \ mathbf {X} \, p (x) \ równoważne \ \ forall {x} {\ w} \ mathbf {X} \ \ l nie P (x )\not \equiv \ \lnot \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnie P(x)}

Negację można również wyrazić poprzez stwierdzenie „za nie”, w przeciwieństwie do „za niektórych”:

{\ Displaystyle \ dalej istnieje {x} {\ w} \ mathbf {X} \ P (x) \ równoważne \ nie \ \ istnieje {x} {\ w} \ mathbf {X} \, P (x)}

W przeciwieństwie do kwantyfikatora uniwersalnego, kwantyfikator egzystencjalny rozkłada się na logiczne alternatywy:

${\ Displaystyle \ istnieje {x} {\ w} \ mathbf {X} \ p (x) \ lub Q (x) \ do \ (\ istnieje {x} {\ w} \ mathbf {X} \, p (x)\lor \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,Q(x))}$

Zasady wnioskowania

Reguła wnioskowania jest regułą uzasadniające logiczny krok od hipotezy do wniosku. Istnieje kilka reguł wnioskowania, które wykorzystują kwantyfikator egzystencjalny.

Z wprowadzenia egzystencjalnego (∃I) wynika, że jeśli wiadomo, że funkcja zdaniowa jest prawdziwa dla określonego elementu domeny dyskursu, to musi być prawdą, że istnieje element, dla którego funkcja zdaniowa jest prawdziwa. Symbolicznie,

{\ Displaystyle P (a) \ do \ \ istnieje {x} {\ w} \ mathbf {X} \ P (x)}

Instancja egzystencjalna , gdy jest przeprowadzana w dedukcji w stylu Fitch, przebiega poprzez wprowadzenie nowego wyprowadzenia podrzędnego, zastępując podmiot zmienną kwantyfikowaną egzystencjalnie – która nie pojawia się w żadnym aktywnym wyprowadzeniu cząstkowym. Jeśli w ramach tego wyprowadzenia można dojść do wniosku, w którym podstawiony podmiot nie występuje, to można wyjść z tego wyprowadzenia za pomocą tego wniosku. Rozumowanie za eliminacją egzystencjalną (∃E) jest następujące: Jeśli dane jest, że istnieje element, dla którego funkcja zdania jest prawdziwa, i jeśli można wyciągnąć wniosek, nadając temu elementowi dowolną nazwę, wniosek ten jest z konieczności prawdziwy , o ile nie zawiera nazwy. Symbolicznie dla dowolnego c i dla zdania Q, w którym c nie występuje:

{\ Displaystyle \ istnieje {x} {\ w} \ mathbf {X} \, P (x) \ do \ ((P (c) \ do \ Q) \ do \ Q)}

${\ Displaystyle P (c) \ do \ Q}$ musi być prawdziwe dla wszystkich wartości c w tej samej domenie X ; w przeciwnym razie logika nie wynika z tego: jeśli c nie jest arbitralne, a zamiast tego jest specyficznym elementem domeny dyskursu, to stwierdzenie P ( c ) może w sposób nieuzasadniony dostarczyć więcej informacji o tym przedmiocie.

Pusty zestaw

Formuła jest zawsze fałszywa, niezależnie od P ( x ). Dzieje się tak dlatego, że oznacza zbiór pusty , a x jakiegokolwiek opisu – nie mówiąc już o x spełniającym dany predykat P ( x ) – nie istnieje w zbiorze pustym. Zobacz także Bezmyślna prawda, aby uzyskać więcej informacji. ${\ Displaystyle \ istnieje {x} {\ w} \ pusty zestaw \, P (x)}$ $\pusty zestaw$

Jako połączony

W teorii kategorii i teorii elementarnej toposów , kwantyfikator można rozumieć jako lewej adjoint z funktora pomiędzy zestawami mocy , z inwersją obrazu funktora zależności pomiędzy zestawami; podobnie uniwersalny kwantyfikator jest właściwym sprzężeniem .

Kodowanie

Unicode HTML i symbole są kodowane U + 2203 ∃ istnieje (HTML ∃ · ∃, &Exists; · jako symbol matematyczne) i U + 2204 ∄ NIE CZY nie EXIST HTML ( ∄ ° &nexist;, &nexists;, &NotExists; ).

W TeX symbol jest tworzony za pomocą "\exists".

Zobacz też

Klauzula egzystencjalna
Twierdzenie o istnieniu
Logika pierwszego rzędu
Kwantyfikator Lindströma
Lista symboli logicznych – dla symbolu Unicode ∃
Wariancja kwantyfikatora
Kwantyfikatory
Kwantyfikacja unikalności
Uniwersalna kwantyfikacja

Uwagi

^ ^a ^b „Kompleksowa lista symboli logicznych” . Skarbiec matematyczny . 2020-04-06 . Źródło 2020-09-04 .
^ „Predykaty i kwantyfikatory” . www.csm.ornl.gov . Źródło 2020-09-04 .
^ „1.2 Kwantyfikatory” . www.whitman.edu . Źródło 2020-09-04 .
^ Allen, Colin; Ręka, Michael (2001). Podstawa logiki . MIT Naciśnij. Numer ISBN 0262303965.
^ Ten symbol jest również znany jako operator egzystencjalny . Czasami jest reprezentowany przez V .
^ „Ostateczny Słowniczek Wyższego żargonu matematycznego: Konstruktywny dowód” . Skarbiec matematyczny . 2019-08-01 . Źródło 2020-09-04 .
^ Saunders Mac Lane , Ieke Moerdijk, (1992) Snopy w geometrii i logice Springer-Verlag. ISBN 0-387-97710-4 Patrz strona 58

Bibliografia

Hinman, P. (2005). Podstawy logiki matematycznej . AK Petersa. Numer ISBN 1-56881-262-0.

[:0-1] „Kompleksowa lista symboli logicznych” . Skarbiec matematyczny . 2020-04-06 . Źródło 2020-09-04 .

[2] „Predykaty i kwantyfikatory” . www.csm.ornl.gov . Źródło 2020-09-04 .

[3] „1.2 Kwantyfikatory” . www.whitman.edu . Źródło 2020-09-04 .

[4] Allen, Colin; Ręka, Michael (2001). Podstawa logiki . MIT Naciśnij. Numer ISBN 0262303965.

[5] Ten symbol jest również znany jako operator egzystencjalny . Czasami jest reprezentowany przez V .

[6] „Ostateczny Słowniczek Wyższego żargonu matematycznego: Konstruktywny dowód” . Skarbiec matematyczny . 2019-08-01 . Źródło 2020-09-04 .

[7] Saunders Mac Lane , Ieke Moerdijk, (1992) Snopy w geometrii i logice Springer-Verlag. ISBN 0-387-97710-4 Patrz strona 58

Languages

In other projects