Modus tollens -Modus tollens

Zasady transformacji
Rachunek zdań
Zasady wnioskowania
Wprowadzenie  / eliminacja implikacji ( modus ponens ) Dwuwarunkowe wprowadzenie  / eliminacja Wprowadzenie  / eliminacja koniunkcji Wprowadzenie  / eliminacja alternatywy Sylogizm dysjunktywny  / hipotetyczny Konstruktywny  / destrukcyjny dylemat Absorpcja  / modus tollens  / modus ponendo tollens Wprowadzenie do negacji
Zasady wymiany
Łączność Przemienność Dystrybucja Podwójna negacja Prawa de Morgana Transpozycja Implikacje materialne Wywóz Tautologia
Logika predykatów
Zasady wnioskowania
Uniwersalna generalizacja  / instancja Uogólnienie egzystencjalne  / konkretyzacja

W rachunku zdań , Tollens modus ( / m oʊ d ə y t ɒ l ɛ n oo / ) ( MT ), znany również jako modus tollendo tollens ( łacińska do "metody usuwania usuwając") i zaprzeczając Wynikający , jest dedukcyjną formą argumentu i zasadą wnioskowania . Modus tollens przyjmuje formę „Jeżeli P, to Q. Nie Q. A zatem nie P”. Jest to zastosowanie ogólnej prawdy, że jeśli zdanie jest prawdziwe, to jest ono również przeciwstawne . Formularz pokazuje, że wnioskowanie z P implikuje Q do negacji Q implikuje, że negacja P jest ważnym argumentem.

Historia zasady wnioskowania modus tollens sięga starożytności. Pierwszym, który wyraźnie opisał argument z modus tollens, był Teofrast .

Modus tollens jest blisko spokrewniony z modus ponens . Istnieją dwie podobne, ale nieważne formy argumentacji : afirmacja następnika i zaprzeczanie poprzednikowi . Zobacz także przeciwstawienie i dowód przez przeciwstawienie .

Wyjaśnienie

Forma argumentu modus tollens przypomina sylogizm , z dwiema przesłankami i wnioskiem:

Jeśli P , to Q .

Nie Q .

Dlatego nie P .

Pierwsza przesłanka to twierdzenie warunkowe („jeśli-to”), takie jak P implikuje Q . Drugą przesłanką jest twierdzenie, że Q , następstwo roszczenia warunkowego, nie jest prawdą. Z tych dwóch przesłanek można logicznie wywnioskować, że P , poprzednik roszczenia warunkowego, również nie ma miejsca.

Na przykład:

Jeśli pies wykryje intruza, zaszczeka.

Pies nie szczekał.

Dlatego pies nie wykrył intruza.

Zakładając, że obie przesłanki są prawdziwe (pies szczeka, jeśli wykryje intruza i rzeczywiście nie szczeka), wynika z tego, że intruza nie został wykryty. Jest to słuszny argument, ponieważ nie jest możliwe, aby wniosek był fałszywy, jeśli przesłanki są prawdziwe. (Można sobie wyobrazić, że mógł istnieć intruz, którego pies nie wykrył, ale to nie unieważnia argumentu; pierwsza przesłanka brzmi: „jeśli pies wykryje intruza”. Ważne jest to, że pies wykrył lub zrobił to nie wykryć intruza, a nie tego, czy jest.)

Inny przykład:

Jeśli jestem mordercą z siekierą, mogę użyć siekiery.

Nie mogę używać siekiery.

Dlatego nie jestem mordercą z siekierą.

Inny przykład:

Jeśli Rex jest kurczakiem, to jest ptakiem.

Rex nie jest ptakiem.

Dlatego Rex nie jest kurczakiem.

Związek z modus ponens

Każde użycie modus tollens może zostać przekształcone w użycie modus ponens i jedno użycie transpozycji do przesłanki, która jest materialną implikacją. Na przykład:

Jeśli P , to Q . (założenie – implikacja materialna)

Jeśli nie Q , to nie P . (utworzone przez transpozycję)

Nie Q . (przesłanka)

Dlatego nie P . (utworzone przez modus ponens )

Podobnie każde użycie modus ponens może zostać przekształcone w użycie modus tollens i transpozycji.

Notacja formalna

W modus tollens reguła można stwierdzić formalnie jako:

${\ Displaystyle {\ Frac {P \ do Q, \ neg Q} {\ zatem \ neg P}}}$

gdzie oznacza stwierdzenie „P implikuje Q”. oznacza „nie jest tak, że Q” (lub w skrócie „nie Q”). Następnie, ilekroć " " i " " pojawiają się osobno jako wiersz dowodu , wówczas " " może być ważnie umieszczone w kolejnym wierszu . ${\displaystyle P\do Q}$${\ Displaystyle \ neg Q}$${\displaystyle P\do Q}$${\ Displaystyle \ neg Q}$${\ Displaystyle \ neg P}$

W modus tollens reguła może być napisany w Sequent notacji:

${\ Displaystyle P \ do Q \ neg Q \ vdash \ neg P}$

gdzie jest metalogiki symbol oznacza, że jest składniowym konsekwencją of a w jakimś systemie logicznym ; ${\displaystyle \vdash}$${\ Displaystyle \ neg P}$${\displaystyle P\do Q}$${\ Displaystyle \ neg Q}$

lub jako stwierdzenie funkcjonalnej tautologii lub twierdzenia logiki zdań:

${\ Displaystyle ((P \ do Q) \ ziemia \ neg Q) \ do \ neg P}$

gdzie i są zdaniami wyrażonymi w jakimś systemie formalnym ; ${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

lub w tym założenia:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ Gamma \ vdash P \ do Q ~~~ \ Gamma \ vdash \ neg Q} {\ Gamma \ vdash \ neg P}}}$

chociaż ponieważ reguła nie zmienia zestawu założeń, nie jest to bezwzględnie konieczne.

Bardziej złożone przepisywania z udziałem modus tollens są często spotykane, na przykład w teorii mnogości :

${\displaystyle P\subseteq Q}$

${\displaystyle x\notin Q}$

${\displaystyle \dlatego x\notin P}$

(„P jest podzbiorem Q. x nie jest w Q. Dlatego x nie jest w P.”)

Również w logice predykatów pierwszego rzędu :

${\ Displaystyle \ forall x: ~ P (x) \ do Q (x)}$

${\ Displaystyle \ neg Q (y)}$

${\ Displaystyle \ dlatego ~ \ neg P (y)}$

(„Dla wszystkich x, jeśli x jest P, to x jest Q. y nie jest Q. Dlatego y nie jest P.”)

Ściśle mówiąc, nie są to przypadki modus tollens , ale można je wyprowadzić z modus tollens przy użyciu kilku dodatkowych kroków.

Uzasadnienie za pomocą tabeli prawdy

Ważność modus tollens można jasno wykazać za pomocą tabeli prawdy .

P	Q	p → q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

W przypadkach modus tollens przyjmujemy jako przesłankę, że p → q jest prawdziwe, a q jest fałszywe. Jest tylko jeden wiersz tabeli prawdy — czwarty wiersz — który spełnia te dwa warunki. W tym wierszu p jest fałszywe. Dlatego w każdym przypadku, w którym p → q jest prawdziwe, a q jest fałszywe, p również musi być fałszywe.

Dowód formalny

Poprzez rozłączny sylogizm

Krok	Propozycja	Pochodzenie
1	${\displaystyle P\rightarrow Q}$	Dany
2	${\ Displaystyle \ neg Q}$	Dany
3	${\ Displaystyle \ neg P \ lub Q}$	Implikacje materialne (1)
4	${\ Displaystyle \ neg P}$	Sylogizm dysjunktywny (3,2)

Przez reductio ad absurdum

Krok	Propozycja	Pochodzenie
1	${\displaystyle P\rightarrow Q}$	Dany
2	${\ Displaystyle \ neg Q}$	Dany
3	${\displaystyle P}$	Założenie
4	${\displaystyle Q}$	Modus ponens (1,3)
5	${\ Displaystyle Q \ ziemia \ neg Q}$	Wprowadzenie do koniunkcji (2,4)
6	${\ Displaystyle \ neg P}$	Redukcja do absurdu (3,5)
7	${\ Displaystyle \ neg Q \ rightarrow \ neg P}$	Wprowadzenie warunkowe (2,6)

Przez kontrast

Krok	Propozycja	Pochodzenie
1	${\displaystyle P\rightarrow Q}$	Dany
2	${\ Displaystyle \ neg Q}$	Dany
3	${\ Displaystyle \ neg Q \ rightarrow \ neg P}$	Kontrapozycja (1)
4	${\ Displaystyle \ neg P}$	Modus ponens (2,3)

Korespondencja z innymi schematami matematycznymi

Rachunek prawdopodobieństwa

Modus tollens reprezentuje przykład prawa całkowitego prawdopodobieństwa w połączeniu z twierdzeniem Bayesa wyrażonym jako:

${\ Displaystyle \ Pr (P) = \ Pr (P \ średni Q) \ Pr (Q) + \ Pr (P \ mid \ nie Q) \ Pr (\ nie Q) \,}$,

gdzie warunki warunkowe i są otrzymywane z (rozszerzonej postaci) twierdzenia Bayesa wyrażonego jako: ${\ Displaystyle \ Pr (P \ średni Q)}$${\ Displaystyle \ Pr (p \ mid \ nie Q)}$

${\ Displaystyle \ Pr (P \ średni Q) = {\ Frac {\ Pr (Q \ średni P) \ a (P)} {\ Pr (Q \ średni P) \ a (P) + \ Pr ( Q\mid \lnie P)\,a(\lnie P)}}\;\;\;}$i . ${\ Displaystyle \; \; \; \ pr (p \ mid \ l nie Q) = {\ frac {\ pr (\ nie Q \ mid p) \ a (p) { \ pr (\ nie Q \ mid P)\,a(P)+\Pr(\lnie Q\mid \lnie P)\,a(\lnie P)}}}$

W powyższych równaniach oznacza prawdopodobieństwo , a oznacza stopę bazową (inaczej prawdopodobieństwo a priori ) . Prawdopodobieństwo warunkowe uogólnia logiczne stwierdzenie , czyli oprócz przypisywania PRAWDA lub FAŁSZ możemy przypisać dowolną prawdopodobieństwo rachunku. Załóżmy, że jest to równoważne byciu PRAWDA, a to jest równoważne byciu FAŁSZ. Łatwo wtedy zauważyć, kiedy i . Dzieje się tak dlatego , że w ostatnim równaniu. Dlatego terminy iloczynów w pierwszym równaniu zawsze mają współczynnik zerowy, co jest równoważne z wartością FAŁSZ. Zatem prawo prawdopodobieństwa całkowitego w połączeniu z twierdzeniem Bayesa reprezentuje uogólnienie modus tollens . ${\ Displaystyle \ Pr (Q)}$${\displaystyle Q}$${\ Displaystyle a(P)}$${\displaystyle P}$ ${\ Displaystyle \ Pr (Q \ średni P)}$${\displaystyle P\do Q}$${\ Displaystyle \ Pr (Q) = 1}$${\displaystyle Q}$${\ Displaystyle \ Pr (Q) = 0}$${\displaystyle Q}$${\ Displaystyle \ Pr (P) = 0}$${\ Displaystyle \ Pr (Q \ średni P) = 1}$${\ Displaystyle \ Pr (Q) = 0}$${\ Displaystyle \ Pr (\ nie Q \ średni P) = 1 - \ Pr (Q \ średni P) = 0}$${\ Displaystyle \ Pr (p \ mid \ nie Q) = 0}$${\ Displaystyle \ Pr (P) = 0}$${\displaystyle P}$

Logika subiektywna

Modus tollens reprezentuje instancję operatora uprowadzenia w logice subiektywnej wyrażonej jako:

${\ Displaystyle \ omega _ {P {\ tylda {\ |}} Q} ^ {A} = (\ omega _ {Q | P} ^ {A}, \ omega _ {Q | \ l nie P} ^ {A }){\widetilde {\circledcirc }}(a_{P},\,\omega _{Q}^{A})\,}$,

gdzie oznacza subiektywną opinię o i oznacza parę dwumianowych opinii warunkowych, wyrażonych przez źródło . Parametr oznacza stopę bazową (inaczej prawdopodobieństwo a priori ) . Uprowadzona opinia marginalna jest oznaczona . Opinia warunkowa uogólnia zdanie logiczne , tzn. oprócz przypisania PRAWDA lub FAŁSZ źródło może przypisać do stwierdzenia dowolną subiektywną opinię. Przypadek, w którym jest to opinia bezwzględna PRAWDA jest równoważny ze źródłem mówiącym, że jest to PRAWDA, a przypadek, w którym jest to opinia bezwzględna FAŁSZ, jest równoważny ze źródłem mówiącym, że jest to FAŁSZ. Operator uprowadzenie od subiektywnej logiki daje absolutną FAŁSZ opinię uprowadzone gdy opinia uwarunkowane jest absolutna TRUE aw konsekwencji opinia jest absolutna FAŁSZ. Stąd subiektywne uprowadzenie logiki reprezentuje uogólnienie zarówno modus tollens, jak i prawa całkowitego prawdopodobieństwa w połączeniu z twierdzeniem Bayesa . ${\ Displaystyle \ omega _ {Q} ^ {A}}$${\displaystyle Q}$${\ Displaystyle (\ omega _ {Q | P} ^ {A}, \ omega _ {Q | \ nie P} ^ {A})}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle a_{P}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\ Displaystyle \ omega _ {P {\ tylda {\ |}} Q} ^ {A}}$${\ Displaystyle \ omega _ {Q | P} ^ {A}}$${\displaystyle P\do Q}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ omega _ {Q} ^ {A}}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle Q}$${\ Displaystyle \ omega _ {Q} ^ {A}}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle {\widetilde {\circledcirc}}}$${\ Displaystyle \ omega _ {P {\ widetilde {\ |}} Q} ^ {A}}$${\ Displaystyle \ omega _ {Q | P} ^ {A}}$${\ Displaystyle \ omega _ {Q} ^ {A}}$

Zobacz też

• Dowód braku  – Dowód jakiegokolwiek rodzaju, który sugeruje, że czegoś brakuje lub że coś nie istnieje
• Zwroty łacińskie
• Modus operandi  – Nawyki pracy
• Modus ponens  – Reguła logicznego wnioskowania
• Modus vivendi  – Układ, który pozwala skonfliktowanym stronom współistnieć w pokoju
• Brak sequitur
• Dowód przez sprzeczność  – forma dowodu pośredniego, który ustala prawdziwość lub ważność twierdzenia
• Dowód przez przeciwstawienie
• Logika stoicka  – system logiki zdań opracowany przez filozofów stoickich

Uwagi

Źródła

• Audun Jøsang, 2016, Logika subiektywna; Formalizm rozumowania w warunkach niepewności Springer, Cham, ISBN  978-3-319-42337-1

Zewnętrzne linki

• Modus Tollens w Wolfram MathWorld