Niszczycielski dylemat - Destructive dilemma

Destrukcyjne dylemat jest nazwa ważnej reguły wnioskowania w rachunku zdań . Jest to wnioskowanie, że jeśli P implikuje Q, a R implikuje S i albo Q jest fałszem, albo S jest fałszem, to albo P, albo R musi być fałszem. Podsumowując, jeśli dwa warunkowe są prawdziwe, ale jeden z ich następników jest fałszywy, to jeden z ich poprzedników musi być fałszywy. Destrukcyjny dylemat to rozłączna wersja modus tollens . Rozłączna wersja modus ponens jest konstruktywnym dylematem . Można sformułować zasadę destrukcyjnego dylematu:

{\ Displaystyle {\ Frac {P \ do Q, R \ do S, \ neg Q \ lor \ neg S} {\ w związku z tym \ neg P \ lor \ neg R}}}

gdzie zasada jest taka, że gdziekolwiek wystąpienia „ ”, „ ” i „ ” pojawiają się w liniach dowodu, „ ” można umieścić w kolejnej linii. ${\ displaystyle P \ do Q}$ ${\ displaystyle R \ do S}$ ${\ displaystyle \ neg Q \ lor \ neg S}$ ${\ displaystyle \ neg P \ lor \ neg R}$

Notacja formalna

Dylemat destrukcyjny reguła może być napisany w Sequent notacji:

{\ Displaystyle (P \ do Q), (R \ do S), (\ neg Q \ lor \ neg S) \ vdash (\ neg P \ lor \ neg R)}

gdzie jest metalogiki symbol oznacza, że jest składniowym konsekwencją z , oraz w pewnym układzie logicznym ; ${\ displaystyle \ vdash}$ ${\ displaystyle \ neg P \ lor \ neg R}$ ${\ displaystyle P \ do Q}$ ${\ displaystyle R \ do S}$ ${\ displaystyle \ neg Q \ lor \ neg S}$

i wyrażone jako tautologia funkcji prawdy lub twierdzenie logiki zdań:

{\ Displaystyle (((P \ do Q) \ ziemia (R \ do S)) \ ziemia (\ neg Q \ lor \ neg S)) \ do (\ neg P \ lor \ neg R)}

gdzie , , i są zdania wyrażone w jakimś systemie formalnym . ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle S}$

Przykład języka naturalnego

Jeśli będzie padać, zostaniemy w środku.

Jeśli będzie słonecznie, pójdziemy na spacer.

Albo nie zostaniemy w środku, albo nie pójdziemy na spacer, albo jedno i drugie.

Dlatego albo nie będzie padać, albo nie będzie słonecznie, albo jedno i drugie.

Dowód


Krok	Propozycja	Pochodzenie
1	${\ displaystyle P \ do Q}$	Dany
2	${\ displaystyle R \ do S}$	Dany
3	${\ displaystyle \ neg Q \ lor \ neg S}$	Dany
4	${\ displaystyle \ neg Q \ to \ neg P}$	Transpozycja (1)
5	${\ displaystyle \ neg S \ to \ neg R}$	Transpozycja (2)
6	${\ Displaystyle (\ neg Q \ do \ neg P) \ ziemia (\ neg S \ do \ neg R)}$	Wprowadzenie do koniunkcji (4,5)
6	${\ displaystyle \ neg P \ lor \ neg R}$	Konstruktywny dylemat (6,3)

Przykładowy dowód

Trafność tej struktury argumentowej można wykazać za pomocą zarówno warunkowego dowodu (CP), jak i reductio ad absurdum (RAA) w następujący sposób:

1.	${\ Displaystyle ((P \ rightarrow Q) \ I (R \ rightarrow S)) \ I (\ neg Q \ vee \ neg S)}$	(Założenie CP)
2.	${\ Displaystyle (P \ rightarrow Q) \ I (R \ rightarrow S)}$	(1: uproszczenie)
3.	${\ displaystyle (P \ rightarrow Q)}$	(2: uproszczenie)
4.	${\ Displaystyle (R \ rightarrow S)}$	(2: uproszczenie)
5.	${\ Displaystyle (\ neg Q \ vee \ neg S)}$	(1: uproszczenie)
6.	${\ Displaystyle \ neg (\ neg P \ vee \ neg R)}$	(Założenie RAA)
7.	${\ Displaystyle \ neg \ neg P \ And \ neg \ neg R}$	(6: Prawo De Morgana )
8.	${\ displaystyle \ neg \ neg P}$	(7: uproszczenie)
9.	${\ displaystyle \ neg \ neg R}$	(7: uproszczenie)
10.	${\ displaystyle P}$	(8: podwójna negacja )
11.	${\ displaystyle R}$	(9: podwójna negacja)
12.	${\ displaystyle Q}$	(3,10: modus ponens)
13.	${\ displaystyle S}$	(4,11: modus ponens)
14.	${\ displaystyle \ neg \ neg Q}$	(12: podwójna negacja)
15.	${\ displaystyle \ neg S}$	(5, 14: sylogizm rozłączny )
16.	${\ displaystyle S \ And \ neg S}$	(13,15: spójnik )
17.	${\ displaystyle \ neg P \ vee \ neg R}$	(6-16: RAA)

18.	${\ Displaystyle (((P \ rightarrow Q) \ I (R \ rightarrow S)) \ I (\ neg Q \ vee \ neg S))) \ rightarrow \ neg P \ vee \ neg R}$	(1-17: CP)