Powierzchnia eliptyczna - Elliptic surface

W matematyce An eliptyczny powierzchnia jest powierzchnią, która ma eliptyczny fibration Innymi słowy, właściwe morfizmem z połączonych włókien do algebraicznej krzywej tak, że prawie wszystkie włókna są gładkie krzywe rodzaju 1. (ponad polem algebraicznie zamkniętym takim jak kompleks liczby, te włókna są krzywymi eliptycznymi , być może bez wybranego pochodzenia.) Jest to odpowiednik włókna ogólnego będącego gładką krzywą rodzaju jeden. Wynika to z właściwej zmiany bazy .

Zakłada się, że powierzchnia i krzywa bazowa są nieosobliwe ( rozmaitości złożone lub schematy regularne , w zależności od kontekstu). Włókna, które nie są krzywymi eliptycznymi, nazywane są włóknami pojedynczymi i zostały sklasyfikowane przez Kunihiko Kodairę . Oba włókna eliptyczne i osobliwe są ważne w teorii strun , zwłaszcza w F-teorii .

Powierzchnie eliptyczne tworzą dużą klasę powierzchni, która zawiera wiele interesujących przykładów powierzchni i są stosunkowo dobrze rozumiane w teoriach złożonych rozmaitości i gładkich 4-rozmaitości . Są one podobne (mają analogie do np.) krzywych eliptycznych nad polami liczbowymi .

Przykłady

• Iloczynem dowolnej krzywej eliptycznej z dowolną krzywą jest powierzchnia eliptyczna (bez pojedynczych włókien).
• Wszystkie powierzchnie Kodaira o wymiarze 1 są powierzchniami eliptycznymi.
• Każda złożona powierzchnia Enriques jest eliptyczna i ma eliptyczne rozwłóknienie nad linią projekcyjną.
• Powierzchnie Kodaira
• Powierzchnie Dołgaczowa
• Powierzchnie modułowe Shioda

Tabela pojedynczych włókien Kodairy

Większość włókien fibracji eliptycznej to (niepojedyncze) krzywe eliptyczne. Pozostałe włókna nazywane są włóknami singular: jest ich skończona liczba i składają się z sumy krzywych wymiernych, ewentualnie z osobliwościami lub niezerowymi krotnościami (więc włókna mogą być schematami niezredukowanymi). Kodaira i Néron niezależnie sklasyfikowali możliwe włókna, a algorytm Tate'a można wykorzystać do znalezienia typu włókien krzywej eliptycznej w polu liczbowym.

W poniższej tabeli wymieniono możliwe włókna o minimalnej eliptycznej fibracji. („Minimalny” oznacza z grubsza taki, którego nie można rozłożyć na czynniki „mniejszy”; dokładnie, pojedyncze włókna nie powinny zawierać żadnych gładkich krzywych wymiernych z liczbą samoprzecięcia -1.) Daje:

• Symbol Kodairy dla włókna,
• Symbol włókna André Nerona ,
• Liczba nieredukowalnych składników włókna (wszystkie racjonalne z wyjątkiem typu I ₀ )
• Macierz przecięcia składników. Jest to albo macierz zerowa 1×1 , albo afiniczna macierz Cartana , której diagram Dynkina jest podany.
• Wielokrotności każdego włókna pokazano na diagramie Dynkina.

Kodaira	Neron	składniki	Macierz przecięcia	Schemat Dynkina	Błonnik
ja 0	ZA	1 (eliptyczny)	0
ja 1	B 1	1 (z podwójnym punktem)	0
ja 2	B 2	2 (2 różne punkty przecięcia)	afina A 1
ja v (v≥2)	B v	v (v różne punkty przecięcia)	afiniczna A v-1
m , że V (v≥0, m ≥2)		I v z wielokrotnością m
II	C 1	1 (z guzkiem)	0
III	C 2	2 (spotkaj się w jednym punkcie zamówienia 2)	afina A 1
IV	C 3	3 (wszyscy spotykają się w 1 punkcie)	afina A 2
ja 0 *	C 4	5	afina D 4
ja v * (v≥1)	C 5,v	5+v	afiniczna D 4+v
IV *	C 6	7	afina E 6
III *	C 7	8	afiniczna E 7
II *	C 8	9	afina E 8

Ta tabela znajduje się w następujący sposób. Argumenty geometryczne pokazują, że macierz przecięcia składników światłowodu musi być ujemna, półokreślona, ​​połączona, symetryczna i nie może zawierać wpisów diagonalnych równych -1 (przez minimalność). Taka macierz musi być równa 0 lub wielokrotnością macierzy Cartana afinicznego diagramu Dynkina typu ADE .

Macierz przecięcia określa rodzaj włókna z trzema wyjątkami:

• Jeśli matryca przecięcia wynosi 0, włókno może być albo krzywą eliptyczną (typ I ₀ ), albo mieć podwójny punkt (typ I ₁ ) lub guzek (typ II).
• Jeżeli macierz przecięcia jest afiniczna A ₁ , to są 2 składowe o krotności przecięcia 2. Mogą się one spotykać albo w 2 punktach o rzędzie 1 (typ I ₂ ), albo w jednym punkcie o rzędzie 2 (typ III).
• Jeśli macierz przecięcia jest afiniczna A ₂ , to są 3 składniki, z których każdy spotyka się z pozostałymi dwoma. Mogą spotykać się parami w 3 różnych punktach (typ I ₃ ) lub wszyscy spotykają się w tym samym miejscu (typ IV).

Monodromia

Monodromii wokół każdej pojedynczej włókien jest dobrze zdefiniowana klasa sprzężoności w SL grupy (2, Z ) 2 x 2 macierzy całkowitą o wyznacznik 1. monodromii opisuje sposób pierwszy homologii grupę gładkiej włókna (co jest izomorficzny Z ² ) zmienia się, gdy omijamy pojedyncze włókno. Przedstawiciele tych klas koniugacji związanych z pojedynczymi włóknami podano przez:

Błonnik	Macierz przecięcia	Monodromia	j -niezmienny	Struktura grupy na gładkim miejscu
I ν	afina A ν-1	${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} 1 i \ nu \ \ 0 i 1 \ koniec {pmatrix}}}$	${\displaystyle \infty}$	${\ Displaystyle \ mathbf {Z} / \ nu \ razy \ mathbf {C} ^ {*}}$
II	0	${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} 1 i 1 \ \ -1 i 0 \ koniec {pmatrix}}}$	0	${\ Displaystyle \ mathbf {C} }$
III	afina A 1	${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} 0 i 1 \ \ -1 i 0 \ koniec {pmatrix}}}$	1728	${\ Displaystyle \ mathbf {Z} /2 \ razy \ mathbf {C}}$
IV	afina A 2	${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} 0 i 1 \ \ -1 i 1 \ koniec {pmatrix}}}$	0	${\ Displaystyle \ mathbf {Z} /3 \ razy \ mathbf {C}}$
ja 0 *	afina D 4	${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} -1 i 0 \ \ 0 i -1 \ koniec {pmatrix}}}$	w ${\ Displaystyle \ mathbf {C} }$	${\ Displaystyle (\ mathbf {Z} / 2) ^ {2} \ razy \ mathbf {C}}$
Jestem v * (ν≥1)	afiniczna D 4+ν	${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} -1 i - \ nu \ \ 0 i -1 \ koniec {pmatrix}}}$	${\displaystyle \infty}$	${\ Displaystyle (\ mathbf {Z} / 2) ^ {2} \ razy \ mathbf {C}}$jeśli ν jest parzyste, jeśli ν jest nieparzyste ${\ Displaystyle \ mathbf {Z} /4 \ razy \ mathbf {C}}$
IV *	afina E 6	${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} -1 i 1 \ \ 1 i 0 \ koniec {pmatrix}}}$	0	${\ Displaystyle \ mathbf {Z} /3 \ razy \ mathbf {C}}$
III *	afiniczna E 7	${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} 0 i 1 \ \ 1 i 0 \ koniec {pmatrix}}}$	1728	${\ Displaystyle \ mathbf {Z} /2 \ razy \ mathbf {C}}$
II *	afina E 8	${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} 0 i 1 \ \ 1 i 1 \ koniec {pmatrix}}}$	0	${\ Displaystyle \ mathbf {C} }$

Dla pojedynczych włókien typu II, III, IV, I ₀ ^* , IV ^* , III ^* lub II ^* monodromia ma skończony porządek w SL(2, Z ). Odzwierciedla to fakt, że fibracja eliptyczna ma potencjalną dobrą redukcję w takim włóknie. To znaczy, po rozgałęzionym, skończonym pokryciu krzywej podstawowej, pojedyncze włókno można zastąpić gładką krzywą eliptyczną. To, która krzywa gładka się pojawi, opisuje j-niezmiennicz w tabeli. Na liczbach zespolonych krzywa z j- niezmiennikiem 0 jest unikalną krzywą eliptyczną z grupą automorfizmu rzędu 6, a krzywa z j- niezmiennikiem 1728 jest unikalną krzywą eliptyczną z grupą automorfizmu rzędu 4. (Wszystkie inne krzywe eliptyczne mają grupa automorfizmu rzędu 2.)

W przypadku fibracji eliptycznej o przekroju , zwanej fibracją eliptyczną jakobianu , gładkie locus każdego włókna ma strukturę grupową. W przypadku włókien osobliwych ta struktura grupowa na locus gładkim jest opisana w tabeli, zakładając dla wygody, że polem podstawowym są liczby zespolone. (Dla pojedynczego włókna z macierzą przecięcia daną przez afiniczny diagram Dynkina , grupa składników gładkiego locus jest izomorficzna ze środkiem prostej połączonej prostej grupy Liego z diagramem Dynkina , jak wymieniono tutaj ). singular fiber jest przydatny do obliczania grupy Mordella-Weila fibracji eliptycznej (grupy przekrojów), w szczególności jej podgrupy skrętnej. ${\displaystyle {\tylda {\gamma}}}$${\ Displaystyle \ Gamma}$

Przekształcenia logarytmiczne

Logarytmiczna transformacja (rzędu m do środkowej P ) eliptycznej powierzchni lub fibration włącza włókno wielokrotność 1 względem punktu P, do miejsca bazowego do włókna krotności m . Można go odwrócić, dzięki czemu wszystkie włókna o dużej krotności można przekształcić we włókna o krotności 1, co można wykorzystać do wyeliminowania wszystkich włókien wielokrotnych.

Transformacje logarytmiczne mogą być dość gwałtowne: mogą zmienić wymiar Kodairy i zamienić powierzchnie algebraiczne w powierzchnie niealgebraiczne.

Przykład: Niech L będzie siecią Z +i Z z C , a E będzie krzywą eliptyczną C / L . Wówczas odwzorowaniem projekcji od E × C do C jest fibracja eliptyczna. Pokażemy, jak zastąpić światłowód powyżej 0 światłowodem o krotności 2.

Istnieje automorfizm E × C rzędu 2, który odwzorowuje ( c , s ) na ( c +1/2, −s ). Niech X będzie ilorazem E × C przez to działanie grupowe. Tworzymy X w przestrzeni światłowodowej nad C przez odwzorowanie ( c , s ) na s ² . Konstruujemy izomorfizm z X minus włókno przez 0 do E × C minus włókno przez 0 przez odwzorowanie ( c , s ) na ( c -log( s )/2πi, s ² ). (Dwa włókna powyżej 0 są nieizomorficznymi krzywymi eliptycznymi, więc fibracja X z pewnością nie jest izomorficzna z fibracją E × C po całym C. )

Wtedy rozwłóknienie X ma włókno o krotności 2 przez 0, a poza tym wygląda jak E × C . Mówimy, że X otrzymuje się przez zastosowanie transformacji logarytmicznej rzędu 2 do E × C ze środkiem 0.

Zobacz też

• Klasyfikacja Enriques-Kodaira
• Minimalny model Nerona

Uwagi

Bibliografia

• Barth, Wolf P. ; Hulek, Klaus; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antoniusz. Kompaktowe złożone powierzchnie . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Fog. 4 (druga powiększona ed.). Berlin: Springer-Verlag . Numer ISBN 3-540-00832-2. Zbl  1036.14016 .
• Cossec, François; Dołgaczow, Igor . Enriques Powierzchnie . Boston: Birkhäuser . Numer ISBN 3-7643-3417-7. MR  0986969 .
• Kodaira, Kunihiko (1964). „O strukturze zwartych złożonych powierzchni analitycznych. I”. Jestem. J. Matematyka . 86 : 751–798. doi : 10.2307/2373157 . Zbl  0137.17501 .
• Kodaira, Kunihiko (1966). „O strukturze zwartych złożonych powierzchni analitycznych. II”. Jestem. J. Matematyka . 88 : 682-721. doi : 10.2307/2373150 . Zbl  0193.37701 .
• Neron, André (1964). "Modèles minimaux des variétés abéliennes sur les corps locaux et globaux" . Publikacje Mathématiques de l'IHÉS (w języku francuskim). 21 : 5–128. doi : 10.1007/BF02684271 . MR  0179172 . Zbl  0132.41403 .