Reprezentacja dziesiętna - Decimal representation

Przedstawienie dziesiętny z nieujemną liczbę rzeczywistą R to ekspresja w postaci sekwencji z cyfr tradycyjnie pisane z jednego separatora

${\ Displaystyle r = b_ {k} b_ {k-1} \ ldots b_ {0}.a_ {1} a_ {2} \ ldots \ ,,}$

gdzie k jest nieujemną liczbą całkowitą i są liczbami całkowitymi z zakresu 0, ..., 9, które nazywane są cyframi reprezentacji. ${\displaystyle b_{0},\ldots,b_{k},a_{1},a_{2},\ldots}$

To wyrażenie reprezentuje nieskończoną sumę

${\ Displaystyle r = \ suma _ {i = 0} ^ {k} b_ {i} 10 ^ {i} + \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {a_ {i}} 10^{i}}}.}$

Sekwencja —cyfr po kropce—może być skończona, w takim przypadku zakłada się, że brakujące cyfry są równe 0. ${\displaystyle a_{i}}$

Każda nieujemna liczba rzeczywista ma przynajmniej jedną taką reprezentację; ma dwie takie reprezentacje, jeśli i tylko jedna ma nieskończoną sekwencję zer, a druga ma nieskończoną sekwencję dziewiątek. Niektórzy autorzy zabraniają reprezentacji dziesiętnych z kończącą się nieskończoną sekwencją dziewiątek, ponieważ umożliwia to zgodność jeden do jednego między nieujemnymi liczbami rzeczywistymi a reprezentacjami dziesiętnymi.

Liczbą całkowitą , oznaczoną na ₀ w dalszej części artykułu, nazywany jest część całkowita z R i sekwencję z oznacza liczbę ${\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {k} b_ {i} 10 ^ {i}}$${\displaystyle a_{i}}$

${\ Displaystyle 0.a_ {1}a_ {2} \ ldots = \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {a_ {i}} {10 ^ {i}}}}$

który jest nazywany ułamkowa część z r .

Skończone przybliżenia dziesiętne

Dowolna liczba rzeczywista może być aproksymowana z dowolnym stopniem dokładności za pomocą liczb wymiernych ze skończoną reprezentacją dziesiętną.

Załóżmy . Wtedy dla każdej liczby całkowitej istnieje skończony dziesiętny taki, że ${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle r_{n}=a_{0}.a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}$

${\ Displaystyle r_ {n} \ leq x < r_ {n} + {\ Frac {1} {10 ^ {n}}}.}$

Dowód :

Niech , gdzie . Następnie , a wynik wynika z dzielenia wszystkich stron przez . (Fakt, który ma skończoną reprezentację dziesiętną, jest łatwy do ustalenia.) ${\ Displaystyle R_ {n} = \ textstyle {\ Frac {p} {10 ^ {n}}}}$${\ Displaystyle p = \ l podłoga 10 ^ {n} x \ r podłoga}$${\ Displaystyle p \ leq 10 ^ {n} x < p + 1}$${\ Displaystyle 10 ^ {n}}$${\displaystyle r_{n}}$

Nieunikalność reprezentacji dziesiętnej i konwencje notacji

Niektóre liczby rzeczywiste mają dwie nieskończone reprezentacje dziesiętne. Na przykład, liczba 1 może być w równym stopniu reprezentowana przez 1.000... jak przez 0,999... (gdzie nieskończone sekwencje końcowych zer lub 9 są reprezentowane odpowiednio przez "..."). Konwencjonalnie preferowana jest reprezentacja dziesiętna bez końcowych dziewiątek. Ponadto, w standardowej reprezentacji dziesiętny w niekończącą sekwencja spływu 0 miejscu pojawia się po przecinku jest pominięty, a także z punktu samego dziesiętnych, jeśli jest liczbą całkowitą. ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

Pewne procedury konstruowania rozwinięcia dziesiętnego pozwolą uniknąć problemu końcowych dziewiątek. Na przykład, następująca procedura algorytmiczne daje standardowej reprezentacji dziesiętny: Biorąc pod uwagę , że najpierw określić (na całkowitą część z ) jest największą liczbą całkowitą, to (czyli ). Jeśli procedura zostanie zakończona. W przeciwnym razie, dla już znalezionych, definiujemy indukcyjnie jako największą liczbę całkowitą taką, że${\displaystyle x}$${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a_{0}\leq x}$${\displaystyle a_{0}=\lpodłoga x\rpodłoga}$${\displaystyle x=a_{0}}$${\textstyle (a_{i})_{i=0}^{k-1}}$${\displaystyle a_{k}}$

${\displaystyle a_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}+{\frac {a_{2}}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {a_{k }}{10^{k}}}\leq x.\quad \quad (*)}$

Procedura kończy się za każdym razem, gdy zostanie znalezione takie, że zachodzi równość ; w przeciwnym razie kontynuuje w nieskończoność, dając nieskończoną sekwencję cyfr dziesiętnych. Można wykazać, że (konwencjonalnie zapisywany jako ), gdzie i nieujemna liczba całkowita jest reprezentowana w notacji dziesiętnej . Ta konstrukcja jest rozszerzona do poprzez zastosowanie powyższej procedury do i oznaczenie wynikowego rozszerzenia dziesiętnego przez . ${\displaystyle a_{k}}$${\ Displaystyle (*)}$${\textstyle x=\sup _{k}\{\sum _{i=0}^{k}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}\}}$${\displaystyle x=a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots}$${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}\ldots \in \{0,1,2,\ldots,9\},}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle x<0}$${\displaystyle -x>0}$${\displaystyle -a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots}$

Reprezentacje skończone dziesiętne

Rozszerzenie dziesiętne nieujemnej liczby rzeczywistej x zakończy się zerami (lub dziewiątkami) wtedy i tylko wtedy, gdy x jest liczbą wymierną, której mianownik ma postać 2 ⁿ 5 ^m , gdzie m i n są nieujemnymi liczbami całkowitymi .

Dowód :

Jeśli rozwinięcie dziesiętne x zakończy się zerami lub dla pewnego n , to mianownik x ma postać 10 ⁿ = 2 ⁿ 5 ⁿ . ${\ Displaystyle x = \ suma _ {i = 0} ^ {n} {\ Frac {a_ {i}} {10 ^ {i}}} = \ suma _ {i = 0} ^ {n} 10 ^ { ni}a_{i}/10^{n}}$

I odwrotnie, jeśli mianownik x ma postać 2 ⁿ 5 ^m , dla niektórych p . Podczas gdy x ma postać , dla niektórych n . Do , x zakończy się zerami. ${\ Displaystyle x = {\ Frac {p} {2 ^ {n} 5 ^ {m}}} = {\ Frac {2 ^ {m} 5 ^ {n} p} {2 ^ {n + m} 5 ^{n+m}}}={\frac {2^{m}5^{n}p}{10^{n+m}}}}$${\ Displaystyle \ textstyle {\ Frac {p} {10 ^ {k}}}}$${\ Displaystyle p = \ suma _ {i = 0} ^ {n} 10 ^ {i} a_ {i}}$${\ Displaystyle x = \ suma _ {i = 0} ^ {n} 10 ^ {ni} a_ {i}/10 ^ {n} = \ suma _ {i = 0} ^ {n} {\ Frac {a_ {i}}{10^{i}}}}$

Powtarzające się reprezentacje dziesiętne

Niektóre liczby rzeczywiste mają rozwinięcia dziesiętne, które w końcu zamieniają się w pętle, powtarzając w nieskończoność sekwencję jednej lub więcej cyfr:

¹ / ₃ = 0,33333...

¹ / ₇ = 0,142857142857...

¹³¹⁸ / ₁₈₅ = 7,1243243243...

Za każdym razem, gdy tak się dzieje, liczba jest nadal liczbą wymierną (tzn. może być alternatywnie reprezentowana jako stosunek liczby całkowitej i dodatniej liczby całkowitej). Prawdą jest również odwrotność: rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej jest albo skończone, albo powtarzane w nieskończoność.

Konwersja na ułamek

Każdą reprezentację dziesiętną liczby wymiernej można przekonwertować na ułamek, konwertując ją na sumę liczby całkowitej, niepowtarzających się i powtarzających się części, a następnie konwertując tę ​​sumę na pojedynczy ułamek ze wspólnym mianownikiem.

Na przykład, aby przekonwertować na ułamek, należy zwrócić uwagę na lemat: ${\textstyle \pm 8.123{\overline {4567}}}$

$${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} 0,000 {\ nadkreślić {4567}} i = 4567 \ razy 0,000 {\ nadkreślić {0001}} \ \ & = 4567 \ razy 0. {\ nadkreślić {0001}} \ razy {\ frac {1}{10^{3}}}\\&=4567\times {\frac {1}{9999}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&={ \frac {4567}{9999}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&={\frac {4567}{(10^{4}-1)\times 10^{ 3}}}&{\text{Wykładniki to liczba niepowtarzających się cyfr po przecinku (3) i liczba powtarzających się cyfr (4).}}\end{wyrównane}}}$$

W ten sposób nawraca się w następujący sposób:

$${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ pm 8.123 {\ overline {4567}} i = \ pm \ lewo (8 + {\ Frac {123} {10 ^ {3}}} + {\ Frac {4567} (10^{4}-1)\times 10^{3}}}\right)&{\text{z góry}}\\&=\pm {\frac {8\times (10^{4}- 1)\times 10^{3}+123\times (10^{4}-1)+4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}&{\text{wspólne mianownik}}\\&=\pm {\frac {81226444}{9999000}}&{\text{mnożenie i sumowanie licznika}}\\&=\pm {\frac {20306611}{2499750}}&{ \text{redukcja}}\\\end{wyrównany}}}$$

Jeśli nie ma powtarzających się cyfr, zakłada się, że istnieje zawsze powtarzające się 0, np. , chociaż ponieważ to powoduje, że powtarzający się termin wynosi zero, suma upraszcza się do dwóch członów i prostsze przeliczanie. ${\ Displaystyle 1,9 = 1,9 {\ overline {0}}}$

Na przykład:

$${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ pm 8.1234 & = \ pm \ lewo (8 + {\ Frac {1234} {10 ^ {4}}} \ prawej) & \ \ & = \ pm {\ Frac {8 \times 10^{4}+1234}{10^{4}}}&{\text{wspólny mianownik}}\\&=\pm {\frac {81234}{10000}}&{\text{mnożenie, i zsumowanie licznika}}\\&=\pm {\frac {40617}{5000}}&{\text{redukcja}}\\\end{wyrównany}}}$$

Zobacz też

• Dziesiętny
• Seria (matematyka)
• IEEE 754
• Szymon Stewin

Bibliografia

Dalsza lektura

• Apostol, Tom (1974). Analiza matematyczna (druga ed.). Addisona-Wesleya .
• Savard, John JG (2018) [2006]. „Reprezentacje dziesiętne” . quadibloc . Zarchiwizowane od oryginału dnia 2018-07-16 . Źródło 2018-07-16 .