Dedekind krój - Dedekind cut

Dedekind użył cięcie do skonstruowania irracjonalne , liczb rzeczywistych .

W matematyce , przekrój dedekinda , nazwany niemiecki matematyk Richard Dedekind ale wcześniej uznane przez Joseph Bertrand są а metoda konstrukcja zbioru liczb rzeczywistych od liczb wymiernych . Cięcie Dedekinda to podział liczb wymiernych na dwa zbiory A i B , tak że wszystkie elementy A są mniejsze niż wszystkie elementy B , a A nie zawiera największego elementu . Zbiór B może, ale nie musi mieć najmniejszego elementu wśród wymiernych. Jeśli B ma najmniejszy element spośród wymiernych, cięcie odpowiada temu wymiernemu. W przeciwnym razie cięcie to definiuje unikalną liczbę irracjonalną, która, mówiąc luźno, wypełnia „lukę” między AB . Innymi słowy, A zawiera każdą liczbę wymierną mniejszą niż cięcie, a B zawiera każdą liczbę wymierną większą lub równą cięcie. Nieracjonalne cięcie jest przyrównywane do niewymiernej liczby, która nie znajduje się w żadnym zestawie. Każda liczba rzeczywista, wymierna lub nie, jest przyrównywana do jednego i tylko jednego cięcia wymiernych.

DEDEKIND kawałki mogą być uogólnione od liczb wymiernych na każdym uporządkowanego zbioru , definiując DEDEKIND cięcia jako partycja uporządkowanego zestawu w dwóch niepustymi części A i B , tak że jest zamknięte w dół (co oznacza, że dla każdego a na A , xa implikuje, że x jest również w A ) i B jest domknięte w górę, a A nie zawiera największego elementu. Zobacz także kompletność (teoria porządku) .

Łatwo jest pokazać, że cięcie Dedekinda wśród liczb rzeczywistych jest jednoznacznie zdefiniowane przez odpowiednie cięcie wśród liczb wymiernych. Podobnie, każde cięcie liczb rzeczywistych jest identyczne z cięciem wytworzonym przez określoną liczbę rzeczywistą (którą można zidentyfikować jako najmniejszy element zbioru B ). Innymi słowy, oś liczbowa, na której każda liczba rzeczywista jest zdefiniowana jako wycięcie wymiernych liczb Dedekinda, jest całkowitym kontinuum bez żadnych dalszych przerw.

Definicja

Cięcie Dedekinda to podział wymiernych na dwa podzbiory i taki, że

  1. jest niepusta.
  2. .
  3. Jeśli , , i , to . ( jest „zamknięty w dół”).
  4. Jeśli , to istnieje taka , że . ( nie zawiera największego elementu.)

Rozluźniając dwa pierwsze wymagania, formalnie uzyskujemy rozszerzoną linię liczb rzeczywistych .

Reprezentacje

Bardziej symetryczne jest użycie notacji ( A , B ) dla cięć Dedekinda, ale każdy z A i B określa się nawzajem. Może być uproszczeniem, jeśli chodzi o notację, skoncentrować się na jednej „połówce” — powiedzmy niższej — i nazwać dowolny zbiór A w dół, zamknięty bez największego elementu, „cięciem Dedekind”.

Jeśli uporządkowany zbiór S jest kompletny, to dla każdego cięcia Dedekinda ( A , B ) z S , zbiór B musi mieć minimalny element b , stąd musimy mieć, że A jest przedziałem (−∞, b ), a B przedział [ b , +∞). W tym przypadku mówimy, że b jest reprezentowane przez cięcie ( A , B ).

Ważnym celem cięcia Dedekind jest praca z zestawami liczb, które nie są kompletne. Samo cięcie może reprezentować liczbę spoza oryginalnego zbioru liczb (najczęściej liczby wymierne ). Cięcie może reprezentować liczbę b , mimo że liczby zawarte w dwóch zestawach A i B w rzeczywistości nie zawierają liczby b, którą reprezentuje ich cięcie.

Na przykład, jeśli A i B zawierają tylko liczby wymierne , nadal można je obciąć przy 2 , umieszczając każdą ujemną liczbę wymierną w A , wraz z każdą liczbą nieujemną, której kwadrat jest mniejszy niż 2; podobnie B zawierałby każdą dodatnią liczbę wymierną, której kwadrat jest większy lub równy 2. Mimo że nie ma wartości wymiernej dla 2 , jeśli liczby wymierne są podzielone na A i B w ten sposób, sam podział reprezentuje liczbę niewymierną .

Zamawianie cięć

Potraktuj jedno cięcie Dedekind ( A , B ) jako mniejsze niż inne cięcie Dedekind ( C , D ) (z tego samego nadzbioru), jeśli A jest właściwym podzbiorem C . Równoważnie, jeśli D jest właściwym podzbiorem B , cięcie ( A , B ) jest ponownie mniejsze niż ( C , D ). W ten sposób włączanie zestawu może być używane do reprezentowania kolejności liczb, a wszystkie inne relacje ( większe niż , mniejsze lub równe , równe itd.) mogą być podobnie tworzone z zestawu relacji.

Zbiór wszystkich cięć Dedekind sam jest zbiorem uporządkowanym liniowo (zestawów). Co więcej, zbiór cięć Dedekind ma właściwość najmniejszego ograniczenia górnego , tj. każdy niepusty jego podzbiór, który ma jakąkolwiek górną granicę, ma najmniejszą granicę górną. Zatem konstruowanie zbioru cięć Dedekinda służy osadzeniu oryginalnego uporządkowanego zbioru S , który mógł nie mieć własności najmniejszego ograniczenia górnego, w (zwykle większym) liniowo uporządkowanym zbiorze, który ma tę użyteczną własność.

Budowa liczb rzeczywistych

Typowe cięcie Dedekinda liczb wymiernych jest podane przez podział z

To cięcie reprezentuje niewymierną liczbę 2 w konstrukcji Dedekinda. Istotną ideą jest to, że używamy zbioru , który jest zbiorem wszystkich liczb wymiernych, których kwadraty są mniejsze niż 2 , aby "reprezentować" liczbę 2 , a dalej, definiując odpowiednio operatory arytmetyczne nad tymi zbiorami (dodawanie, odejmowanie, mnożenie , i dzielenie), te zbiory (wraz z tymi działaniami arytmetycznymi) tworzą znane liczby rzeczywiste.

Aby to ustalić, należy wykazać, że tak naprawdę jest cięcie (zgodnie z definicją), a kwadrat , czyli (proszę zapoznać się z powyższym linkiem, aby uzyskać dokładną definicję, jak definiuje się mnożenie kawałków), jest (zauważ, że rygorystycznie mówiąc jest to cięcie ). Aby pokazać pierwszą część, pokazujemy, że dla każdego pozytywnego wymiernego z , istnieje wymierny z i . Wybór działa, więc jest to rzeczywiście cięcie. Teraz uzbrojony w mnożenie między cięciami łatwo to sprawdzić (w zasadzie to dlatego, że ). Dlatego, aby pokazać, że pokazujemy, że i to wystarczy, aby pokazać, że dla każdego istnieje , . W tym celu zauważamy, że jeśli , to dla skonstruowanego powyżej oznacza to, że mamy ciąg, w którym kwadrat może być dowolnie bliski , co kończy dowód.

Zauważ, że równość b 2  = 2 nie może być utrzymana, ponieważ 2 nie jest racjonalne .

Uogólnienia

Zbiory arbitralnie uporządkowane liniowo

W ogólnym przypadku dowolnego liniowo uporządkowanego zbioru X , cięcie jest taką parą , że i , implikują . Niektórzy autorzy dodają wymaganie, aby zarówno A, jak i B były niepuste.

Jeśli ani A nie ma maksimum, ani B nie ma minimum, cięcie nazywa się przerwą . Zestaw uporządkowany liniowo wyposażony w topologię porządku jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma przerwy.

Liczby surrealistyczne

Konstrukcja przypominająca cięcia Dedekinda służy do (jednej z wielu możliwych) konstrukcji liczb surrealistycznych . Istotnym pojęciem w tym przypadku jest cięcie Cuesta-Dutari, nazwane na cześć hiszpańskiego matematyka Norberto Cuesta Dutari .

Częściowo zamówione zestawy

Mówiąc ogólnie, jeżeli S jest częściowo uporządkowanym , A realizacji z S oznacza całkowite siatki L z zamówieniem-osadzenia S do L . Pojęcie pełnej sieci uogólnia najmniejszą górną granicę własności rzeczywistych.

Jednym uzupełnieniem S jest zbiór jego podzbiorów zamkniętych w dół , uporządkowanych przez włączenie . Pokrewne uzupełnienie, które zachowuje wszystkie istniejące sups i infs z S, otrzymuje się przez następującą konstrukcję: Dla każdego podzbioru A z S , niech A u oznacza zbiór górnych granic A i niech A l oznacza zbiór dolnych granic A . . (Operatorów te tworzą połączenie Galois .), A następnie zakończenie Dedekind-MacNeille z S obejmuje wszystkie podgrupy A , dla którego ( U ), L = ; jest uporządkowany przez włączenie. Uzupełnienie Dedekind-MacNeille to najmniejsza kompletna krata z osadzonym w niej S.

Uwagi

Bibliografia

Zewnętrzne linki