Hipoteza Bircha i Swinnertona-Dyera - Birch and Swinnerton-Dyer conjecture

W matematyce The przypuszczenie Birch i Swinnerton-Dyer opisuje zestaw racjonalnego rozwiązania równań określających obszar krzywej eliptycznej . Jest to otwarty problem w dziedzinie teorii liczb i jest powszechnie uznawany za jeden z najtrudniejszych problemów matematycznych. Jego nazwa pochodzi od matematyków Bryana Johna Bircha i Petera Swinnertona-Dyera , którzy rozwinęli tę hipotezę w pierwszej połowie lat sześćdziesiątych za pomocą obliczeń maszynowych. Od 2021 r. udowodniono tylko szczególne przypadki przypuszczenia.

Nowoczesny preparat hipoteza dotyczy danych arytmetyczne związane z eliptycznej krzywej E na pole numeru K do zachowania Hasse-Weil L -function l ( E ,  Ś ) o E o S  = 1. Dokładniej, przypuszcza że pozycja z abelowa grupy E ( K ) z punktów E jest rzędu do zera l ( e ,  e ) w s = 1, i pierwszy współczynnikiem niezerowa rozwinięcia Taylora z L ( E ,  s ) przy s = 1 jest podane przez bardziej wyrafinowane dane arytmetyczne dołączone do E nad K ( Wiles 2006 ).

Przypuszczenie to zostało wybrane jako jeden z siedmiu problemów związanych z Nagrodą Milenijną wymienionych przez Clay Mathematics Institute , który zaproponował nagrodę w wysokości 1 000 000 USD za pierwszy prawidłowy dowód.

Tło

Mordell (1922) udowodnił twierdzenie Mordella : grupa punktów wymiernych na krzywej eliptycznej ma skończoną podstawę . Oznacza to, że dla dowolnej krzywej eliptycznej istnieje skończony podzbiór punktów wymiernych na krzywej, z którego można wygenerować wszystkie dalsze punkty wymierne.

Jeśli liczba punktów wymiernych na krzywej jest nieskończona, to jakiś punkt w bazie skończonej musi mieć porządek nieskończony. Liczba niezależnych punktów bazowych z nieskończonego rzędu nazywamy stopień krzywej, i jest ważnym niezmienna własnością krzywej eliptycznej.

Jeśli rząd krzywej eliptycznej wynosi 0, to krzywa ma tylko skończoną liczbę punktów wymiernych. Z drugiej strony, jeśli rząd krzywej jest większy niż 0, to krzywa ma nieskończoną liczbę punktów wymiernych.

Chociaż twierdzenie Mordella pokazuje, że rząd krzywej eliptycznej jest zawsze skończony, nie daje efektywnej metody obliczania rzędu każdej krzywej. Rangę niektórych krzywych eliptycznych można obliczyć metodami numerycznymi, ale (w obecnym stanie wiedzy) nie wiadomo, czy metody te obsługują wszystkie krzywe.

L -function l ( E ,  s ), może być określona na krzywej eliptycznej E przez skonstruowanie produkt Eulera na podstawie liczby punktów na krzywej modulo każdą dogodną s . Ta funkcja L jest analogiczna do funkcji zeta Riemanna i serii L Dirichleta, która jest zdefiniowana dla binarnej postaci kwadratowej . Jest to szczególny przypadek funkcji L Hasse-Weila .

Naturalna definicja L ( E ,  s ) jest zbieżna tylko dla wartości s w płaszczyźnie zespolonej z Re( s ) > 3/2. Helmut Hasse przypuszczał, że L ( E ,  s ) można rozciągnąć poprzez analityczną kontynuację na całą płaszczyznę zespoloną. Przypuszczenie to zostało po raz pierwszy udowodnione przez Deuringa (1941) dla krzywych eliptycznych ze złożonym mnożeniem . Później okazało się, że jest to prawdziwe dla wszystkich krzywych eliptycznych nad Q , jako konsekwencja twierdzenia o modularności .

Znalezienie punktów wymiernych na ogólnej krzywej eliptycznej jest trudnym problemem. Znalezienie punktów na krzywej eliptycznej modulo danej liczby pierwszej p jest koncepcyjnie proste, ponieważ istnieje tylko skończona liczba możliwości sprawdzenia. Jednak w przypadku dużych liczb pierwszych jest to intensywne obliczeniowo.

Historia

We wczesnych latach 60. Peter Swinnerton-Dyer użył komputera EDSAC-2 z University of Cambridge Computer Laboratory do obliczenia liczby punktów modulo p (oznaczonych przez N _p ) dla dużej liczby liczb pierwszych p na krzywych eliptycznych, których ranga była znana. Na podstawie tych liczbowych wyników Birch i Swinnerton-Dyer (1965) wysnuli wniosek, że N _p dla krzywej E z rangą r jest zgodne z prawem asymptotycznym

${\ Displaystyle \ prod _ {p \ leq x} {\ Frac {N_ {p}} {p}} \ w przybliżeniu C \ log (x) ^ {r} {\ mbox {jako}} x \ rightarrow \ infty}$

gdzie C jest stałą.

Początkowo opierało się to na nieco wątłych trendach w wykresach graficznych; wywołało to pewien sceptycyzm u JWS Cassels (doradca z tytułem doktora Bircha). Z biegiem czasu dowody liczbowe nawarstwiły się.

To z kolei doprowadziło ich do postawienia ogólnego przypuszczenia na temat zachowania funkcji L krzywej L ( E ,  s ) w s = 1, a mianowicie, że w tym punkcie miałaby ona zero rzędu r . Było to dalekowzroczne przypuszczenie, biorąc pod uwagę, że analityczna kontynuacja L ( E ,  s ) została założona tylko dla krzywych ze złożonym mnożeniem, które były również głównym źródłem przykładów liczbowych. (Uwaga: odwrotność funkcji L jest z pewnych punktów widzenia bardziej naturalnym przedmiotem badań; czasami oznacza to, że należy brać pod uwagę bieguny, a nie zera).

Hipoteza została następnie rozszerzona o przewidywanie dokładnego wiodącego współczynnika Taylora funkcji L przy s  = 1. Jest to przypuszczalnie podane przez

${\ Displaystyle {\ Frac {L ^ {(R)} (E, 1)} {R!}} = {\ Frac {\ # \ operatorname {Sha} (E) \ Omega _ {E} R_ {E} \prod _{p|N}c_{p}}{(\#E_{\mathrm {Tor} })^{2}}}}$

gdzie wielkości po prawej stronie są niezmiennikami krzywej, badane przez Casselsa, Tate , Shafarevicha i innych: obejmują one rząd grupy skrętnej , rząd grupy Tate-Shafarevicha oraz kanoniczne wysokości podstawy punkty racjonalne ( Wiles 2006 ).

Aktualny stan

Wykres dla krzywej y ²  =  x ³  − 5 x, gdy X zmienia się w ciągu pierwszych 100000 liczb pierwszych. X -osiowy jest (log ( x )) i Y -osiowy w skali logarytmicznej, aby hipoteza przewiduje, że dane powinny stanowić linie nachylenia równy rzędowi krzywej, która wynosi 1, w tym przypadku. Dla porównania linia nachylenia 1 jest narysowana na wykresie na czerwono.${\ Displaystyle \ prod _ {p \ leq X} {\ Frac {N_ {p}} {p}}}$

Hipoteza Bircha i Swinnertona-Dyera została udowodniona tylko w szczególnych przypadkach:

1. Coates i Wiles (1977) okazało się, że jeżeli E jest krzywą na polu numeru F skomplikowaną mnożenie przez wyimaginowaną kwadratowego pola K z klasy liczbę 1, M = K lub Q i L ( E 1) nie jest 0, to E ( F ) jest grupą skończoną. Ten został rozszerzony do przypadku, w którym M oznacza dowolny skończoną Abelowych przedłużenie o K przez Arthaud (1978) .
2. Gross i Zagier (1986) wykazali, że jeśli modułowa krzywa eliptyczna ma zero pierwszego rzędu przy s = 1, to ma punkt wymierny nieskończonego rzędu; patrz twierdzenie Grossa-Zagiera .
3. Kolyvagin (1989) wykazał, że modułowa krzywa eliptyczna E, dla której L ( E , 1) nie jest zerem, ma rangę 0, a modułowa krzywa eliptyczna E, dla której L ( E , 1) ma zero pierwszego rzędu przy s = 1 ma rangę 1.
4. Rubin (1991) wykazał, że dla krzywych eliptycznych zdefiniowanych nad wyimaginowanym polem kwadratowym K ze złożonym mnożeniem przez K , jeśli seria L krzywej eliptycznej nie była równa zero przy s = 1, to część p grupy Tate-Shafarevicha miał kolejność przewidzianą przez hipotezę Bircha i Swinnertona-Dyera, dla wszystkich liczb pierwszych p > 7.
5. Breuil i in. (2001) , rozszerzając pracę Wilesa (1995) , wykazali, że wszystkie krzywe eliptyczne zdefiniowane na liczbach wymiernych są modularne , co rozszerza wyniki #2 i #3 na wszystkie krzywe eliptyczne na liczbach wymiernych i pokazuje, że funkcje L wszystkich krzywe eliptyczne nad Q są zdefiniowane przy s = 1.
6. Bhargava i Shankar (2015) wykazali, że średnia ranga grupy Mordella–Weila krzywej eliptycznej nad Q jest ograniczona powyżej o 7/6. Łącząc to z twierdzeniem o parzystości p-parzystości Nekovářa (2009) i Dokchitsera i Dokchitsera (2010) oraz z dowodem głównego przypuszczenia teorii Iwasawy dla GL(2) autorstwa Skinnera i Urbana (2014) stwierdzają, że proporcja dodatnia krzywych eliptycznych nad Q mają rangę analityczną zero, a zatem, według Kolyvagin (1989) , spełniają hipotezę Bircha i Swinnertona-Dyera.

Nic nie zostało udowodnione dla krzywych z rangą większą niż 1, chociaż istnieją obszerne dowody liczbowe na prawdziwość przypuszczeń.

Konsekwencje

Podobnie jak hipoteza Riemanna , przypuszczenie to ma wiele konsekwencji, w tym dwa następujące:

• Niech n będzie nieparzystą liczbą całkowitą bez kwadratu . Zakładając hipotezę Bircha i Swinnertona-Dyera, n jest polem trójkąta prostokątnego o wymiernych długościach boków ( liczba przystająca ) wtedy i tylko wtedy, gdy liczba trójek liczb całkowitych ( x , y , z ) spełniających 2 x ² + y ² + 8 z ² = n to dwukrotność liczby trojaczków spełniających 2 x ² + y ² + 32 z ² = n . To stwierdzenie, ze względu na twierdzenie Tunnell'a ( Tunnell 1983 ), związane jest z faktem, że n jest liczbą przystającą wtedy i tylko wtedy, gdy krzywa eliptyczna y ² = x ³ − n ² x ma punkt wymierny nieskończonego rzędu (a zatem poniżej hipoteza Bircha i Swinnertona-Dyera, jej funkcja L ma zero przy 1 ). Zainteresowanie tym stwierdzeniem polega na tym, że warunek można łatwo zweryfikować.
• W innym kierunku, niektóre metody analityczne umożliwiają oszacowanie rzędu zero w środku krytycznego taśmy z rodziny L działanie funkcji. Przyjmując hipotezę BSD, te oszacowania odpowiadają informacjom o randze rodzin krzywych eliptycznych, o których mowa. Na przykład: załóżmy, że uogólniona hipoteza Riemanna i hipoteza BSD, średnia ranga krzywych wyrażona przez y ² = x ³ + ax + b jest mniejsza niż 2 .

Uwagi

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Weisstein, Eric W. „Przypuszczenie Swinnertona-Dyera” . MatematykaŚwiat .
• „Przypuszczenie Brzozy i Swinnertona-Dyera” . PlanetMath .
• Przypuszczenie Bircha i Swinnertona-Dyera : Wywiad z profesorem Henri Darmonem przeprowadzony przez Agnes F. Beaudry
• Czym jest przypuszczenie Bircha i Swinnertona-Dyera? wykład Manjula Bhargavy (wrzesień 2016) wygłoszony podczas Clay Research Conference na Uniwersytecie Oksfordzkim