Funkcja zeta Hasse-Weila - Hasse–Weil zeta function

W matematyce The funkcja zeta Hasse-Weil dołączony do algebraicznej odmiany V zdefiniowane nad ciało liczbowe K jest jednym z dwóch najważniejszych rodzajów L funkcji . Takie L- funkcje są nazywane „globalnymi”, ponieważ są zdefiniowane jako produkty Eulera w kategoriach lokalnych funkcji zeta . Tworzą one jedną z dwóch głównych klas globalnych funkcji L , druga to funkcje L związane z reprezentacjami automorficznymi . Przypuszczalnie istnieje tylko jeden zasadniczy typ globalnej funkcji L z dwoma opisami (pochodzącymi z odmiany algebraicznej, pochodzącymi z reprezentacji automorficznej); byłoby to ogromnym uogólnieniem hipotezy Taniyamy-Shimury , która sama w sobie jest bardzo głębokim i niedawnym wynikiem (od 2009) w teorii liczb .

Definicja

Opis funkcji zeta Hasse-Weila do skończenie wielu czynników jej iloczynu Eulera jest stosunkowo prosty. Wynika to z początkowych sugestii Helmuta Hassego i André Weila , motywowanych przypadkiem, w którym V jest pojedynczym punktem i wynika z tego funkcja zeta Riemanna .

Biorąc pod uwagę przypadek K liczbę wymierną pole Q i V do nieosobliwej różnych rzutowe , można dla prawie wszystkich liczb p rozważyć zmniejszenie V modulo p , algebraiczny odmiana V _s nad skończonego F _p o p elementów , po prostu redukując równania dla V . Teoretycznie, ta redukcja jest tylko wycofywaniem V wzdłuż mapy kanonicznej Spec F _p → Spec Z . Znowu dla prawie wszystkich p będzie nie w liczbie pojedynczej. Definiujemy

${\ Displaystyle Z_ {V, Q} (s)}$

być seria Dirichlet z zmienny złożony e , która jest nieskończona produkt z funkcji lokalnych zeta

${\ Displaystyle \ zeta _ {V, p} \ po lewej (p ^ {-s} \ po prawej).}$

Wtedy Z ( s ), zgodnie z naszą definicją, jest dobrze zdefiniowane tylko do mnożenia przez funkcje wymierne w skończonej liczbie . ${\ Displaystyle p ^ {-s}}$

Ponieważ nieokreśloność jest względnie nieszkodliwa i wszędzie ma meromorficzną kontynuację , w pewnym sensie właściwości Z(s) zasadniczo od niej nie zależą. W szczególności, podczas gdy dokładna postać równania funkcyjnego dla Z ( s ), odzwierciedlona w linii pionowej na płaszczyźnie zespolonej, z pewnością będzie zależeć od „brakujących” czynników, istnienie niektórych takich równań funkcyjnych nie zależy od tego.

Bardziej wyrafinowana definicja stała się możliwa wraz z rozwojem kohomologii etalnej ; to zgrabnie wyjaśnia, co zrobić z brakującymi, „złymi” czynnikami redukcji. Zgodnie z ogólnymi zasadami widocznymi w teorii rozgałęzień , „złe” liczby pierwsze niosą dobrą informację (teoria przewodnika ). Przejawia się to w teorii etalnej w kryterium Ogg-Neron-Shafarevich dla dobrej redukcji ; mianowicie, że istnieje dobra redukcja, w określonym sensie, na wszystkich liczbach pierwszych p, dla których reprezentacja Galois ρ na etalnych grupach kohomologicznych V jest nierozgałęziona . Dla tych definicji funkcji lokalnego zeta może być odzyskiwany w warunkach charakterystycznych wielomianów z

${\ Displaystyle \ rho (\ nazwa operatora {Frob} (p)),}$

Frob( p ) jest elementem Frobeniusa dla p . To, co dzieje się w rozgałęzionym p, jest takie, że ρ jest nietrywialne na grupie inercyjnej I ( p ) dla p . Przy tych liczbach pierwszych definicja musi zostać „skorygowana”, biorąc największy iloraz reprezentacji ρ, na którą działa grupa bezwładnościowa przez reprezentację trywialną . Dzięki temu udoskonaleniu definicję Z ( s ) można z powodzeniem uaktualnić z „prawie wszystkich” p do wszystkich p uczestniczących w produkcie Eulera. Konsekwencje dla równania funkcyjnego zostały opracowane przez Serre'a i Deligne'a w późnych latach sześćdziesiątych; samo równanie funkcjonalne nie zostało ogólnie udowodnione.

Przykład: krzywa eliptyczna nad Q

Niech E być eliptyczna krzywa na Q z przewodem N . Wtedy E ma dobrą redukcję przy wszystkich liczbach pierwszych p nie dzielących N , ma multiplikatywną redukcję przy liczbach pierwszych p , które dokładnie dzielą N (tj. takie, że p dzieli N , ale p ² nie; jest to napisane p || N ) i ma addytywną redukcję gdzie indziej (tj. przy liczbach pierwszych, gdzie p ² dzieli N ). Funkcja zeta Hasse-Weila E następnie przyjmuje postać

${\ Displaystyle Z_ {E \ mathbf {Q}} (s) = {\ Frac {\ zeta (s) \ zeta (s-1)} {L (s, E)}}. \,}$

Tutaj ζ( s ) jest zwykłą funkcją zeta Riemanna , a L ( s ,  E ) nazywamy funkcją L z E / Q , która przyjmuje postać

${\ Displaystyle L (s, E) = \ prod _ {p} L_ {p} (s, E) ^ {-1} \}$

gdzie dla danej liczby pierwszej p ,

${\ Displaystyle L_ {p} (s, E) = {\ zacząć {przypadki} (1-a_ {p} p ^ {-s} + p ^ {1-2 s}) i {\ tekst {jeśli}} p\nmid N\\(1-a_{p}p^{-s}),&{\text{if }}p\mid N{\text{ i }}p^{2}\nmid N\\ 1,&{\text{if }}p^{2}\mid N\end{cases}}}$

gdzie w przypadku dobrej redukcji a _p wynosi p  + 1 − (liczba punktów E  mod  p ), a w przypadku redukcji multiplikatywnej a _p wynosi ±1 w zależności od tego, czy E ma podzieloną czy nie podzieloną redukcję multiplikatywną przy  s . .

przypuszczenie Hassego-Weila

Hipoteza Hasse-Weila stwierdza, że ​​funkcja zeta Hasse-Weila powinna rozciągać się na funkcję meromorficzną dla wszystkich złożonych s i powinna spełniać równanie funkcjonalne podobne do funkcji zeta Riemanna . W przypadku krzywych eliptycznych nad liczbami wymiernymi hipoteza Hasse-Weila wynika z twierdzenia o modularności .

Zobacz też

• Arytmetyczna funkcja zeta

Bibliografia

Bibliografia

• J.-P. Serre , Facteurs locaux des fonctions zêta des variétés algébriques (définitions et conjectures) , 1969/1970, Sém. Delange–Pisot–Poitou, ekspozycja 19