Grupa Tate-Szafarewicza - Tate–Shafarevich group

W geometrii arytmetyczna The grupa Tate-Shafarevich Ш ( / K ) o Abelowych odmiany A (lub bardziej ogólnie system grupę ) określony przez pole numeru K składa się z elementów Weil-Châtelet grupa WC ( / K ) = H ¹ ( G _K , A ), które stają się trywialne we wszystkich uzupełnieniach K (tj. polach p -adycznych otrzymanych z K , jak również jego uzupełnieniach rzeczywistych i złożonych). Zatem w ujęciu kohomologii Galois można ją zapisać jako

${\ Displaystyle \ bigcap _ {v} \ operatorname {ker} \ lewo (H ^ {1} \ lewo (G_ {K}, A \ po prawej) \ rightarrow H ^ {1} \ lewo (G_ {K_ {V}) },A_{v}\prawo)\prawo).}$

Grupę tę przedstawili Serge Lang i John Tate oraz Igor Shafarevich . Cassels wprowadził notację Ш ( A / K ) , gdzie Ш jest cyrylicą literą " Sha " dla Szafarewicza , zastępującą starszą notację TS .

Elementy grupy Tate-Szafarewicz

Geometrycznie, to nietrywialne elementy grupy Tate-Shafarevich można traktować jako jednorodne przestrzenie A , które K _v - racjonalnych punktów dla każdego miejsce V o K , ale nie K -rational punkcie. W ten sposób grupa mierzy stopień, w jakim zasada Hassego nie sprawdza się w przypadku równań racjonalnych ze współczynnikami w polu K . Carl-Erik Lind podał przykład takiej jednorodnej przestrzeni, pokazując, że krzywa rodzaju 1 x ⁴ − 17 = 2 y ² ma rozwiązania nad liczbami rzeczywistymi i nad wszystkimi polami p -adycznymi, ale nie ma punktów wymiernych. Ernst S. Selmer podał znacznie więcej przykładów, takich jak 3 x ³ + 4 y ³ + 5 z ³ = 0 .

Szczególny przypadek grupy Tate-Shafarevicha dla schematu grup skończonych składających się z punktów pewnego skończonego rzędu n odmiany abelowej jest ściśle związany z grupą Selmera .

przypuszczenie Tate-Shafarevich

Przypuszczenie Tate-Shafarevich stwierdza, że ​​grupa Tate-Shafarevich jest skończona. Karl Rubin udowodnił to dla niektórych krzywych eliptycznych o rzędzie co najwyżej 1 ze złożonym mnożeniem . Victor A. Kolyvagin rozszerzył to na modularne krzywe eliptyczne nad wymiernymi rangami analitycznymi co najwyżej 1 ( Twierdzenie o modularności pokazało później, że założenie modularności zawsze obowiązuje).

Parowanie garnków i Tate

Parowanie Cassel-Tate jest parą dwuliniową Ш( A ) × Ш(  ) → Q / Z , gdzie A jest odmianą abelową, a  jej podwójną. Cassels wprowadził to dla krzywych eliptycznych , gdy A można utożsamić z Â, a parowanie jest formą naprzemienną. Jądrem tej formy jest podgrupa elementów podzielnych, co jest trywialne, jeśli hipoteza Tate-Shafarevicha jest prawdziwa. Tate rozszerzył parowanie na ogólne odmiany abelowe, jako odmianę dwoistości Tate . Wybór polaryzacji na A daje mapę od A do  , co wywołuje dwuliniowe parowanie na Ш( A ) z wartościami w Q / Z , ale w przeciwieństwie do krzywych eliptycznych nie musi to być naprzemienne ani nawet skośnie symetryczne.

W przypadku krzywej eliptycznej Cassels wykazał, że parowanie jest naprzemienne, a konsekwencją jest to, że jeśli rząd Ш jest skończony, to jest kwadratem. W przypadku bardziej ogólnych odmian abelowych przez wiele lat błędnie uważano, że rząd Ш jest kwadratem, ilekroć jest skończony; błąd ten pochodzi z artykułu Swinnertona-Dyera, który błędnie zacytował jeden z wyników Tate. Poonen i Stoll podali kilka przykładów, w których porządek jest dwa razy kwadratowy, na przykład jakobian pewnej krzywej rodzaju 2 nad wymiernymi, których grupa Tate-Shafarevicha ma porządek 2, a Stein podał kilka przykładów, w których potęga nieparzystej liczby pierwszej dzielącej zamówienie jest dziwne. Jeśli odmiana abelowa ma główną polaryzację, to forma na Ш jest skośnie symetryczna, co oznacza, że ​​rząd Ш jest kwadratem lub dwukrotnością kwadratu (jeśli jest skończony), a ponadto główna polaryzacja pochodzi od dzielnika wymiernego ( tak jak w przypadku krzywych eliptycznych), to forma jest naprzemienna, a rząd Ш jest kwadratem (jeśli jest skończony).

Zobacz też

• Hipoteza Bircha i Swinnertona-Dyera

Cytaty

Bibliografia