Ograniczenie (matematyka) - Restriction (mathematics)
Funkcjonować |
---|
x ↦ f ( x ) |
Przykłady według domeny i kodomeny |
Klasy / właściwości |
Konstrukcje |
Uogólnienia |
W matematyce , ograniczenie z funkcji jest nowa funkcja, oznaczone lub otrzymany przez wybranie mniejszego domeny A do pierwotnej funkcji .
Definicja formalna
Niech będzie funkcją z ustalonym E do zbioru F . Jeśli zestaw jest podzbiorem od E , to ograniczenie na to funkcja
dane przez f | ( X ) = f ( x ) dla X w A . Nieformalnie ograniczenie f do A jest tą samą funkcją co f , ale jest zdefiniowane tylko w .
Jeżeli funkcja f jest uważany jako związku o produkcie kartezjańskim , a ograniczenie F do A, mogą być reprezentowane przez jego wykresie , gdzie pary oznaczają uporządkowanych par na wykresie G .
Przykłady
- Ograniczeniem funkcji nieinjekcyjnej do domeny jest wstrzyknięcie .
- Funkcja silnia to ograniczenie funkcji gamma do dodatnich liczb całkowitych, z argumentem przesuniętym o jeden:
Właściwości ograniczeń
- Ograniczenie funkcji do całej jej domeny przywraca pierwotną funkcję, tj .
- Ograniczenie funkcji dwa razy jest tym samym, co ograniczenie jej raz, tj. Jeśli , to .
- Ograniczenie funkcji tożsamości na zbiorze X do podzbioru A z X jest tylko mapa włączenie od A do X .
- Ograniczenie funkcji ciągłej jest ciągłe.
Aplikacje
Funkcje odwrotne
Aby funkcja miała odwrotność, musi być jeden do jednego . Jeżeli funkcja f jest jeden na drugim, może być możliwe określenie częściowo odwrócony o F przez ograniczenie domeny. Na przykład function
zdefiniowane jako całość nie jest jeden do jednego, ponieważ x 2 = (- x ) 2 dla dowolnego x in . Jednak funkcja staje się jeden do jednego, jeśli ograniczymy się do domeny , w takim przypadku
(Jeśli zamiast tego ograniczymy się do dziedziny , odwrotność jest ujemną wartością pierwiastka kwadratowego z y ). Alternatywnie, nie ma potrzeby ograniczania domeny, jeśli pozwolimy, aby funkcja odwrotna była funkcją wielowartościową .
Operatory selekcji
W relacyjnej algebry , o wybór (czasami nazywane także ograniczenie, aby uniknąć nieporozumień z SQL „s wykorzystania SELECT) to jednoskładnikowa operacja napisane jak lub gdzie:
- i są nazwami atrybutów,
- jest operacją binarną w zbiorze ,
- jest wartością stałą,
- jest relacją .
Wyboru wybiera wszystkie te krotki w odniesieniu do których posiadane między a atrybut.
Zaznaczenie powoduje wybranie wszystkich krotek, dla których jest przechowywany między atrybutem a wartością .
W ten sposób operator wyboru ogranicza się do podzbioru całej bazy danych.
Lemat wklejania
Wklejany lemat jest wynikiem topologii, która wiąże ciągłość funkcji z ciągłością jej ograniczeń do podzbiorów.
Niech będą dwoma zamkniętymi podzbiorami (lub dwoma otwartymi podzbiorami) takiej przestrzeni topologicznej , a także niech będą przestrzenią topologiczną. Jeśli jest ciągła, gdy jest ograniczona do obu i , to jest ciągła.
Wynik ten pozwala przyjąć dwie ciągłe funkcje zdefiniowane na zamkniętych (lub otwartych) podzbiorach przestrzeni topologicznej i utworzyć nową.
Snopy
Snopy stanowią sposób na uogólnienie ograniczeń dla obiektów poza funkcjami.
W teorii snopa przypisuje się obiekt w kategorii do każdego zbioru otwartego U w przestrzeni topologicznej i wymaga, aby obiekty spełniały określone warunki. Najważniejszym warunkiem jest istnienie morfizmów restrykcyjnych między każdą parą obiektów skojarzonych z zagnieżdżonymi zbiorami otwartymi; tj. jeśli , to istnieje morfizm res V , U : F ( U ) → F ( V ) spełniający następujące właściwości, które mają naśladować ograniczenie funkcji:
- Dla każdego zbioru otwartego U z X The morfizmem ograniczenie res U , U : F ( U ) → F ( U ) jest morfizmem tożsamość na F ( U ).
- Jeśli mamy trzy zbiory otwarte w ⊆ V ⊆ U , po czym kompozytowe Res W , V ∘ res V , U = res W , U .
- (Miejscowość) Jeśli ( U i ) jest otwartym pokryciem zbioru otwartego U i jeśli s , t ∈ F ( U ) są takie, że s | U i = t | U i dla każdego zestawu U i pokrycia, wtedy s = t ; i
- (Klejenie) Jeśli ( U i ) jest otwartym pokryciem zbioru otwartego U i jeśli dla każdego i jest podany odcinek s i ∈ F ( U i ) tak, że dla każdej pary U i , U j pokrycia ustala się ograniczenia s i i s j zgadzają się co do nakładania się: s i | U i ∩ U j = s j | U i ∩ U j , to jest sekcja s ∈ F ( U ) taka, że s | U i = s i dla każdego i .
Zbiór wszystkich takich obiektów nazywa się snopem . Jeśli spełnione są tylko dwie pierwsze właściwości, jest to snopek wstępny .
Ograniczenie prawostronne i lewostronne
Bardziej ogólnie, ograniczenie (lub ograniczenie domeny lub lewej ograniczenie ) ◁ R z binarnym relacji R między E i F mogą być określone jako stosunek posiadające domeny A , codomain C i wykres G ( ◁ R ) = {( x , y ) ∈ G ( R ) | x ∈ A } . Podobnie można zdefiniować prawą ograniczenie lub ograniczenie zakresu R ▷ B . Rzeczywiście, można by zdefiniować ograniczenie do relacji n -arnych , a także do podzbiorów rozumianych jako relacje, takie jak E × F dla relacji binarnych. Te przypadki nie pasują do schematu krążków .
Anty-restrykcje
Domeny anty restrykcyjnych (lub odejmowanie domeny ) o funkcji lub binarnej relacji R (z domeny E i codomain F ) przez zestaw A można określić jako ( E \ ) ◁ R ; usuwa wszystkie elementy A z domeny E . Czasami jest oznaczona A ⩤ R . Podobnie, ograniczenie zakresu (lub odejmowanie zakresu ) funkcji lub relacji binarnej R przez zbiór B jest zdefiniowane jako R ▷ ( F \ B ) ; usuwa wszystkie elementy B z codomain F . Czasami jest oznaczone R ⩥ B .
Zobacz też
- Przymus
- Wycofanie deformacji
- Funkcja (matematyka) § Ograniczenie i rozszerzenie
- Relacja binarna § Ograniczenie
- Algebra relacyjna § Wybór (σ)