Quasi-izometria - Quasi-isometry

W matematyce , o quasi-izometria jest funkcją dwóch przestrzeniach metrycznych , że szanuje geometrię dużą skalę tych pomieszczeń i ignoruje swoje dane na małą skalę. Dwie przestrzenie metryczne są quasi-izometryczne, jeśli istnieje między nimi quasi-izometria. Właściwość bycia quasi-izometrycznym zachowuje się jak relacja równoważności na klasie przestrzeni metrycznych.

Pojęcie quasi-izometrii jest szczególnie ważne w geometrycznej teorii grup , podążając za pracą Gromova .

Definicja

Załóżmy, że jest to (niekoniecznie ciągła) funkcja od jednej przestrzeni metrycznej do drugiej przestrzeni metrycznej . Wtedy nazywamy quasi-izometrię od celu , jeśli istnieją stałe , i tak, że po dwóch właściwości zarówno chwyt: ${\displaystyle f}$${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$${\displaystyle A\geq 1}$${\displaystyle B\geq 0}$${\displaystyle C\geq 0}$

1. Na każde dwa punkty i na odległość między ich obrazów jest do stałej addytywnej w czynnik ich pierwotnej odległości. Bardziej formalnie: ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle M_{1}}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A}$

   ${\ Displaystyle \ forall x, y \ w M_ {1}: {\ Frac {1} {A}} \; d_ {1} (x, y)-B \ leq d_ {2} (f (x), f(y))\leq A\;d_{1}(x,y)+B.}$

2. Każdy punkt znajduje się w stałej odległości od punktu obrazu. Bardziej formalnie: ${\displaystyle M_{2}}$${\ Displaystyle C}$

   ${\ Displaystyle \ forall z \ w M_ {2}: \ istnieje x \ w M_ {1}: d_ {2} (z, f (x)) \ równoważnik C.}$

Dwie przestrzenie metryczne i nazywane są quasi-izometrycznymi, jeśli istnieje quasi-izometria od do . ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$

Mapa nazywana jest osadzaniem quasi-izometrycznym, jeśli spełnia pierwszy warunek, ale niekoniecznie drugi (tj. jest zgrubnie Lipschitz, ale może nie być zgrubnie surjektywna). Innymi słowy, jeśli poprzez mapę, jest quasi-izometryczny do podprzestrzeni . ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$

Mówi się, że dwie przestrzenie metryczne M ₁ i M ₂ są quasi-izometryczne , oznaczane , jeśli istnieje quasi-izometria . ${\displaystyle M_{1}{\underset {qi}{\sim}}M_{2}}$${\displaystyle f:M_{1}\do M_{2}}$

Przykłady

Mapa między płaszczyzną euklidesową a płaszczyzną z odległością Manhattan, która wysyła każdy punkt do siebie, jest quasi-izometrią: w niej odległości są mnożone przez współczynnik co najwyżej . Zauważ, że nie może być izometrii, ponieważ na przykład punkty są w równych odległościach od siebie w odległości Manhattanu, ale na płaszczyźnie Euklidesa nie ma 4 punktów, które są w równych odległościach od siebie. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\ Displaystyle (1,0), (-1,0), (0,1), (0,-1)}$

Mapa (obie z metryką euklidesową ), która wysyła do siebie każdą krotkę liczb całkowitych, jest quasi-izometrią: odległości są zachowywane dokładnie, a każda rzeczywista krotka znajduje się w odległości od krotki całkowitej. Z drugiej strony funkcja nieciągła, która zaokrągla każdą krotkę liczb rzeczywistych do najbliższej liczby całkowitej, jest również quasi-izometrią: każdy punkt jest przenoszony przez tę mapę do punktu znajdującego się w jej odległości , więc zaokrąglanie zmienia odległość między parami punkty przez dodanie lub odjęcie co najwyżej . ${\ Displaystyle f: \ mathbb {Z} ^ {n} \ mapsto \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle n}$${\displaystyle {\sqrt {n/4}}}$${\displaystyle {\sqrt {n/4}}}$${\ Displaystyle 2 {\ sqrt {n/4}}}$

Każda para skończonych lub ograniczonych przestrzeni metrycznych jest quasi-izometryczna. W tym przypadku każda funkcja z jednej przestrzeni do drugiej jest quasi-izometrią.

Relacja równoważności

Jeśli jest quasi-izometrią, to istnieje quasi-izometria . Rzeczywiście, można zdefiniować, pozwalając na dowolny punkt na obrazie, który znajduje się w odległości od , i pozwalając być na dowolny punkt w . ${\displaystyle f:M_{1}\mapsto M_{2}}$${\displaystyle g:M_{2}\mapsto M_{1}}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle C}$${\displaystyle x}$${\displaystyle g(x)}$${\ Displaystyle f ^ {-1} (y)}$

Ponieważ mapa tożsamości jest quasi-izometrią, a złożenie dwóch quasi-izometrii jest quasi-izometrią, wynika z tego, że własność bycia quasi-izometrią zachowuje się jak relacja równoważności w klasie przestrzeni metrycznych.

Zastosowanie w geometrycznej teorii grup

Biorąc pod uwagę ograniczony zestaw wytwarzający S o skończonej wytworzonej grupy G , można utworzyć odpowiedni wykres Cayley z S i G . Wykres ten staje się przestrzenią metryczną, jeśli zadeklarujemy długość każdej krawędzi jako 1. Przyjęcie innego skończonego zbioru generującego T daje inny wykres i inną przestrzeń metryczną, jednak te dwie przestrzenie są quasi-izometryczne. Ta quasi-izometryczna klasa jest więc niezmiennikiem grupy G . Każda właściwość przestrzeni metrycznych, która zależy tylko od klasy quasi-izometrii przestrzeni, natychmiast daje inny niezmiennik grup, otwierając pole teorii grup na metody geometryczne.

Bardziej ogólnie, lemat Švarc-Milnor stwierdza, że ​​jeśli grupa G działa prawidłowo nieciągle ze zwartym ilorazem na właściwej przestrzeni geodezyjnej X, to G jest quasi-izometryczny do X (co oznacza, że ​​każdy wykres Cayleya dla G jest). Daje to nowe przykłady grup quasi-izometrycznych względem siebie:

• Jeśli G' jest podgrupą o skończonym indeksie w G, to G' jest quasi-izometryczne do G ;
• Jeśli G i H są podstawowe grupy dwóch kompaktowych hiperbolicznych rozdzielaczy o tym samym wymiarze d czym obie są quasi izometrycznym z hiperbolicznej przestrzeń H ^{, d} , a tym samym ze sobą; z drugiej strony istnieje nieskończenie wiele klas quasi-izometrycznych podstawowych grup o skończonej objętości.

Quasigeodesics i lemat Morse'a

Quasi-geodezyjnej w przestrzeni metrycznej jest quasi-izometrycznym osadzanie się . Dokładniej mapa taka, że ​​istnieje tak, że ${\ Displaystyle (X, d)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ phi : \ mathbb {R} \ do X}$${\ Displaystyle C, K> 0}$

${\ Displaystyle \ forall s, t \ w \ mathbb {R}: C ^ {-1} | st | - K \ równoważnik d (\ phi (t), \ phi (s)) \ równoważnik c | st | + K}$

nazywa się -quasi-geodezyjny. Oczywiście geodezja (parametryzowana długością łuku) to quasi-geodezyka. Fakt, że w niektórych przestrzeniach odwrotność jest zgrubnie prawdziwa, tj. że każdy quasi-geodezja znajduje się w ograniczonej odległości od prawdziwej geodezji, nazywa się lematem Morse'a (nie mylić z być może szerzej znanym lematem Morse'a w topologii różniczkowej). Formalnie oświadczenie brzmi: ${\ Displaystyle (C, K)}$

Niech i właściwa przestrzeń δ-hiperboliczna . Istnieje takie, że dla dowolnego -quasi-geodezyjnej istnieje geodezyjnej w taki sposób, że dla wszystkich .${\ Displaystyle \ delta, C, K> 0}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle (C, K)}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle d (\ phi (t), L) \ równoważnik M}$${\ Displaystyle t \ w \ mathbb {R} }$

Jest ważnym narzędziem w geometrycznej teorii grup. Bezpośrednim zastosowaniem jest to, że każda quasi-izometria pomiędzy właściwymi przestrzeniami hiperbolicznymi wywołuje homeomorfizm pomiędzy ich granicami. Wynik ten jest pierwszym krokiem do udowodnienia twierdzenia Mostowa o sztywności .

Przykłady quasi-izometrycznych niezmienników grup

Oto kilka przykładów właściwości grupowych grafów Cayleya, które są niezmienne w quasi-izometrii:

Hiperboliczność

Grupę nazywamy hiperboliczną, jeśli jeden z jej wykresów Cayleya jest przestrzenią δ-hiperboliczną dla pewnego δ. Przy tłumaczeniu między różnymi definicjami hiperboliczności konkretna wartość δ może się zmieniać, ale wynikające z tego pojęcia grupy hiperbolicznej okazują się równoważne.

Grupy hiperboliczne mają rozwiązywalny problem tekstowy . Są dwuautomatyczne i automatyczne .: rzeczywiście są silnie geodezyjne automatyczne , to znaczy na grupie istnieje automatyczna struktura, w której językiem akceptowanym przez akceptor słowa jest zbiór wszystkich słów geodezyjnych.

Wzrost

Tempo wzrostu z grupy w odniesieniu do symetrycznego prądotwórczego opisuje wielkość kulek w grupie. Każdy element w grupie można zapisać jako iloczyn generatorów, a tempo wzrostu zlicza liczbę elementów, które można zapisać jako iloczyn długości n .

Zgodnie z twierdzeniem Gromowa , grupa wzrostu wielomianowego jest praktycznie nilpotentna , tj. posiada nilpotentną podgrupę o skończonym indeksie . W szczególności kolejność wzrostu wielomianu musi być liczbą naturalną, aw rzeczywistości . ${\displaystyle k_{0}}$${\ Displaystyle \ # (n) \ SIM n ^ {k_ {0}}}$

Jeśli rośnie wolniej niż jakakolwiek funkcja wykładnicza, G ma podwykładniczą stopę wzrostu . Każda taka grupa jest podatna . ${\ Displaystyle \ # (n)}$

Kończy się

Te końce o przestrzeni topologicznej są, z grubsza rzecz biorąc, podłączonych komponentów o „idealnej granicy” przestrzeni. Oznacza to, że każdy koniec reprezentuje topologicznie odrębny sposób poruszania się w nieskończoność w przestrzeni. Dodanie punktu na każdym końcu powoduje zagęszczenie oryginalnej przestrzeni, zwane zagęszczeniem końcowym .

Końce skończenie wygenerowanej grupy definiuje się jako końce odpowiedniego grafu Cayleya ; definicja ta jest niezależna od wyboru skończonego zespołu prądotwórczego. Każda skończenie generowana nieskończona grupa ma albo 0,1, 2, albo nieskończenie wiele końców, a twierdzenie Stallingsa o ​​końcach grup zapewnia rozkład grup z więcej niż jednym końcem.

Jeśli dwa połączone lokalnie skończone grafy są quasi-izometryczne, to mają taką samą liczbę końców. W szczególności dwie quasi-izometryczne skończenie generowane grupy mają taką samą liczbę końców.

Odpowiedzialność

Grupa podatna jest lokalnie zwartą grupą topologiczną G niosącą rodzaj operacji uśredniania na ograniczonych funkcjach, która jest niezmienna podczas translacji przez elementy grupy. Oryginalna definicja, w kategoriach skończenie addytywnej miary niezmiennej (lub średniej) na podzbiorach G , została wprowadzona przez Johna von Neumanna w 1929 pod niemiecką nazwą „messbar” ( „mierzalna” w języku angielskim) w odpowiedzi na Banacha-Tarskiego paradoks . W 1949 Mahlon M. Day wprowadził angielskie tłumaczenie „amenable”, najwyraźniej jako gra słów.

W teorii grup dyskretnych , gdzie G ma topologię dyskretną , stosowana jest prostsza definicja. W tym ustawieniu grupa jest dostępna, jeśli można powiedzieć, jaką część G zajmuje dany podzbiór.

Jeśli grupa ma sekwencję Følner, to jest ona automatycznie dostępna.

Stożek asymptotyczny

Ultralimit geometryczna konstrukcja, która przypisuje sekwencji przestrzeni metrycznych X _n ograniczający przestrzeń metrycznej. Ważną klasą ultralimitów są tzw. stożki asymptotyczne przestrzeni metrycznych. Niech ( X , d ) będzie przestrzenią metryczną, niech ω będzie ultrafiltrem niegłównym i niech p _n  ∈  X będzie ciągiem punktów bazowych. Wtedy ω –ultralimit ciągu nazywamy stożkiem asymptotycznym X względem ω i oznaczamy . Często przyjmuje się, że ciąg punktu bazowego jest stały, p _n = p dla niektórych p ∈ X ; w tym przypadku stożek asymptotyczny nie zależy od wyboru p ∈ X i jest oznaczony przez lub po prostu . ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle (X, {\ Frac {d} {n}}, p_ {n})}$${\ Displaystyle (p_ {n}) _ {n} \,}$${\ Displaystyle Cone_ {\ omega} (X, d, (p_ {n}) _ {n}) \,}$${\ Displaystyle Cone_ {\ omega} (X, d) \,}$${\ Displaystyle Cone_ {\ omega} (X) \,}$

Pojęcie stożka asymptotycznego odgrywa ważną rolę w geometrycznej teorii grup, ponieważ stożki asymptotyczne (a dokładniej ich typy topologiczne i typy bi-Lipschitza ) dostarczają quasi-izometrycznych niezmienników przestrzeni metrycznych ogólnie, a skończenie generowanych grup w szczególności. Stożki asymptotyczne okazują się również użytecznym narzędziem w badaniu grup stosunkowo hiperbolicznych i ich uogólnień.

Zobacz też

• Izometria
• Gruba struktura

Bibliografia