System integrowalny - Integrable system

W matematyce całkowalność jest właściwością pewnych układów dynamicznych . Chociaż istnieje kilka odrębnych definicji formalnych, mówiąc nieformalnie, układ całkowalny jest układem dynamicznym z wystarczająco wieloma zachowanymi wielkościami lub całkami pierwszymi , tak że jego zachowanie ma znacznie mniej stopni swobody niż wymiarowość jego przestrzeni fazowej ; to znaczy, że jego ewolucja jest ograniczona do podrozmaitości w jego przestrzeni fazowej.

Trzy cechy są często określane jako charakteryzujące systemy integrowalne:

  • istnienie maksymalnego zbioru zachowanych wielkości (zwykła właściwość definiująca całkowitą całkowalność )
  • istnienie niezmienników algebraicznych , mających podstawę w geometrii algebraicznej (właściwość nazywana czasem całkowalnością algebraiczną )
  • jawne określenie rozwiązań w jawnej formie funkcjonalnej (nie jest to właściwość wewnętrzna, ale coś, co często określa się jako rozwiązywalność )

Systemy całkowalne mogą być postrzegane jako bardzo różniące się charakterem jakościowym od bardziej ogólnych systemów dynamicznych, które są bardziej typowymi systemami chaotycznymi . Te ostatnie na ogół nie mają zachowanych ilości i są asymptotycznie nie do opanowania, ponieważ dowolnie małe zaburzenie w warunkach początkowych może prowadzić do dowolnie dużych odchyleń w ich trajektoriach w wystarczająco długim czasie.

Całkowita całkowalność jest zatem nieogólną właściwością układów dynamicznych. Niemniej jednak wiele układów badanych w fizyce jest całkowicie całkowalnych, w szczególności w sensie hamiltonowskim , czego kluczowym przykładem są wielowymiarowe oscylatory harmoniczne. Innym standardowym przykładem jest ruch planet wokół jednego nieruchomego środka (np. Słońca) lub dwóch. Inne podstawowe przykłady obejmują ruch ciała sztywnego wokół jego środka masy ( wierzchołek Eulera ) oraz ruch ciała sztywnego osiowo symetrycznego wokół punktu na jego osi symetrii ( wierzchołek Lagrange'a ).

Nowoczesna teoria układów całkowalnych została wskrzeszona wraz z numerycznym odkryciem solitonów przez Martina Kruskala i Normana Zabusky'ego w 1965 roku, co doprowadziło do powstania metody odwrotnej transformacji rozpraszania w 1967 roku. Uświadomiono sobie, że w fizyce istnieją układy całkowicie całkowalne mające nieskończoną liczbę stopnie swobody, takie jak niektóre modele fal płytkowodnych ( równanie Kortewega-de Vriesa ), efekt Kerra w światłowodach, opisany nieliniowym równaniem Schrödingera oraz pewne całkowalne układy wielociałowe, takie jak sieć Toda .

W szczególnym przypadku układów Hamiltona, jeśli istnieje wystarczająco dużo niezależnie Poissona dojazdy pierwsze całki dla parametrów przepływu, aby mogły służyć jako układ współrzędnych na zestawach poziomu niezmiennych (z liści z Lagrange'a foliacji ) i, jeśli przepływ jest kompletna a zbiór poziomów energii jest zwarty, co implikuje twierdzenie Liouville-Arnolda ; tj. istnienie zmiennych kąta działania . Ogólne układy dynamiczne nie mają takich zachowanych wielkości; w przypadku autonomicznych układów hamiltonowskich energia jest generalnie jedyna, a na zbiorach poziomów energetycznych przepływy są zazwyczaj chaotyczne.

Kluczowym składnikiem w charakterystyce układów całkowalnych jest twierdzenie Frobeniusa , które mówi, że układ jest całkowalny Frobeniusa (tj. jest generowany przez rozkład całkowalny), jeśli lokalnie ma foliację przez maksymalne rozmaitości całkowe. Jednak całkowalność w sensie układów dynamicznych jest właściwością globalną, a nie lokalną, ponieważ wymaga, aby foliacja była regularna, z zatopionymi w liściach podrozmaitościami.

Systemy integrowalne niekoniecznie mają rozwiązania, które można wyrazić w formie zamkniętej lub w kategoriach funkcji specjalnych ; w obecnym znaczeniu całkowalność jest właściwością geometrii lub topologii rozwiązań systemu w przestrzeni fazowej.

Ogólne układy dynamiczne

W kontekście różniczkowalnych układów dynamicznych pojęcie całkowalności odnosi się do istnienia niezmiennych, regularnych foliacji ; tj. takie, których liście są zatopione podrozmaitościami o najmniejszym możliwym wymiarze, które są niezmiennicze pod wpływem przepływu . Istnieje zatem zmienne pojęcie stopnia całkowalności, zależne od wymiaru liści niezmiennej foliacji. Pojęcie to ma udoskonalenie w przypadku systemów hamiltonowskich , znane jako pełna całkowalność w sensie Liouville (patrz niżej), do czego najczęściej się mówi w tym kontekście.

Rozszerzenie pojęcia całkowalności ma również zastosowanie do systemów dyskretnych, takich jak kraty. Ta definicja może być dostosowana do opisu równań ewolucji, które są albo układami równań różniczkowych, albo równaniami różnic skończonych .

Rozróżnienie między całkowalnymi i niecałkowalnymi układami dynamicznymi ma jakościową implikację ruchu regularnego w porównaniu z ruchem chaotycznym, a zatem jest wewnętrzną właściwością, a nie tylko kwestią tego, czy układ może być wyraźnie zintegrowany w dokładnej formie.

Systemy hamiltonowskie i całkowalność Liouville

W szczególnym układzie układów hamiltonowskich mamy pojęcie całkowalności w sensie Liouville'a . (Patrz twierdzenie Liouville-Arnolda ). Całkowalność Liouville'a oznacza, że ​​istnieje regularna foliacja przestrzeni fazowej przez rozmaitości niezmiennicze, tak że pola wektorowe hamiltonowskie związane z niezmiennikami foliacji obejmują rozkład styczny. Innym sposobem stwierdzenia tego jest to, że istnieje maksymalny zbiór niezmienników komutujących Poissona (tj. funkcji w przestrzeni fazowej, których nawiasy Poissona z hamiltonianem układu i ze sobą znikają).

W wymiarach skończonych, jeśli przestrzeń fazowa jest symplektyczna (tj. środek algebry Poissona składa się tylko ze stałych), musi mieć wymiar parzysty , a maksymalna liczba niezależnych niezmienników komutujących Poissona (w tym sam hamiltonian) wynosi . Liście foliacji są całkowicie izotropowe w stosunku do formy symplektycznej i takie maksymalne izotropowe foliacje nazywa się Lagrange'em . Wszystkie autonomiczne układy hamiltonowskie (tj. te, dla których nawiasy hamiltonowskie i Poissona nie są wyraźnie zależne od czasu) mają co najmniej jeden niezmiennik; mianowicie sam hamiltonian, którego wartością wzdłuż przepływu jest energia. Jeśli poziomy energetyczne są zwarte, liście foliacji Lagrange'a są tori, a ich naturalne współrzędne liniowe nazywane są zmiennymi „kąta”. Cykle postaci kanonicznej nazywane są zmiennymi działania, a powstałe współrzędne kanoniczne nazywane są zmiennymi kąta działania (patrz niżej).

Istnieje również rozróżnienie między całkowalnością całkowitą , w sensie Liouville'a , i całkowalnością częściową, jak również pojęciem superintegrowalności i superintegrowalności maksymalnej. Zasadniczo te rozróżnienia odpowiadają wymiarom liści foliacji. Gdy liczba niezależnych niezmienników komutacji Poissona jest mniejsza niż maksymalna (ale w przypadku systemów autonomicznych więcej niż jeden), mówimy, że system jest częściowo całkowalny. Gdy istnieją dalsze funkcjonalnie niezależne niezmienniki, poza maksymalną liczbą, która może być komutacją Poissona, a zatem wymiar liści niezmiennej foliacji jest mniejszy niż n, mówimy, że system jest supercałkowany . Jeśli występuje regularna foliacja z jednowymiarowymi liśćmi (krzywymi), nazywa się to maksymalnie superintegrowalnym.

Zmienne kąta działania

Kiedy skończenie wymiarowy układ hamiltonowski jest całkowicie całkowalny w sensie Liouville'a, a zbiory poziomów energetycznych są zwarte, przepływy są kompletne, a liście niezmiennej foliacji są tori . Istnieją zatem, jak wspomniano powyżej, specjalne zestawy współrzędnych kanonicznych w przestrzeni fazowej znane jako zmienne kąta działania , takie, że niezmiennicze tori są zbiorami połączonych poziomów zmiennych działania . Stanowią one zatem kompletny zbiór niezmienników przepływu Hamiltona (stałych ruchu), a zmienne kątowe są naturalnymi współrzędnymi okresowymi na torusie. Ruch na niezmiennych torach, wyrażony za pomocą tych współrzędnych kanonicznych, jest liniowy w zmiennych kątowych.

Podejście Hamiltona-Jacobi

W kanonicznej teorii przekształceń istnieje metoda Hamiltona-Jacobiego , w której rozwiązania równań Hamiltona poszukuje się, najpierw znajdując pełne rozwiązanie skojarzonego równania Hamiltona-Jacobiego . W terminologii klasycznej określa się to jako określanie transformacji do kanonicznego zestawu współrzędnych składającego się z całkowicie ignorowanych zmiennych; tj. te, w których nie ma zależności hamiltonianu od pełnego zbioru kanonicznych współrzędnych „położenia”, a zatem odpowiadające im pędy kanonicznie sprzężone są wielkościami zachowanymi. W przypadku zwartych zestawów poziomów energetycznych jest to pierwszy krok w kierunku określenia zmiennych kąta działania . W ogólnej teorii równań różniczkowych cząstkowych typu Hamiltona–Jacobiego rozwiązanie zupełne (tzn. takie, które zależy od n niezależnych stałych całkowania, gdzie n jest wymiarem przestrzeni konfiguracyjnej) istnieje w bardzo ogólnych przypadkach, ale tylko w lokalny zmysł. Zatem istnienie zupełnego rozwiązania równania Hamiltona-Jacobiego nie jest bynajmniej charakterystyką całkowitej całkowalności w sensie Liouville'a. Większość przypadków, które można „całkować jawnie”, obejmuje całkowitą separację zmiennych , w której stałe separacji zapewniają pełny zestaw wymaganych stałych całkowania. Tylko wtedy, gdy te stałe mogą zostać zreinterpretowane, w ramach pełnej przestrzeni fazowej, jako wartości pełnego zestawu funkcji komutujących Poissona, ograniczonego do liści foliacji Lagrange'a, system można uznać za całkowicie całkowalny w sensie Liouville'a.

Solitony i odwrotne metody spektralne

Ponowne zainteresowanie klasycznymi układami całkowalnymi nastąpiło wraz z odkryciem pod koniec lat 60. XX wieku solitonów , które są silnie stabilnymi, zlokalizowanymi rozwiązaniami równań różniczkowych cząstkowych, takich jak równanie Kortewega-de Vriesa (które opisuje jednowymiarową niedyssypatywną dynamikę płynów). w płytkich basenach), można je zrozumieć, postrzegając te równania jako nieskończenie wymiarowe całkowalne układy hamiltonowskie. Ich badanie prowadzi do bardzo owocnego podejścia do „integrowania” takich systemów, odwrotnej transformacji rozproszenia i bardziej ogólnych odwrotnych metod spektralnych (często sprowadzalnych do problemów Riemanna-Hilberta ), które uogólniają lokalne metody liniowe, takie jak analiza Fouriera, na nielokalną linearyzację, poprzez rozwiązanie powiązanych równań całkowych.

Podstawową ideą tej metody jest wprowadzenie operatora liniowego, który jest zdeterminowany położeniem w przestrzeni fazowej i który ewoluuje pod wpływem dynamiki danego układu w taki sposób, że jego „widmo” (w odpowiednio uogólnionym sensie) jest niezmiennicze w ramach ewolucji, zob. Luźna para . W niektórych przypadkach zapewnia to wystarczającą liczbę niezmienników lub „całek ruchu”, aby system był całkowicie całkowalny. W przypadku układów o nieskończonej liczbie stopni swobody, takich jak równanie KdV, nie jest to wystarczające do dokładnego określenia własności całkowalności Liouville'a. Jednak dla odpowiednio zdefiniowanych warunków brzegowych transformację widmową można w rzeczywistości interpretować jako transformację do całkowicie nieistotnych współrzędnych , w których zachowane wielkości tworzą połowę podwójnie nieskończonego zbioru współrzędnych kanonicznych, a przepływ ulega w nich linearyzacji. W niektórych przypadkach może to być nawet postrzegane jako przekształcenie w zmienne kąta działania, chociaż zazwyczaj tylko skończona liczba zmiennych „pozycji” to w rzeczywistości współrzędne kąta, a pozostałe są niezwarte.

Dwuliniowe równania i -funkcje Hiroty

Inny punkt widzenia, który pojawił się we współczesnej teorii układów całkowalnych, wywodzi się z podejścia obliczeniowego zapoczątkowanego przez Ryogo Hirota , które polegało na zastąpieniu oryginalnego nieliniowego układu dynamicznego dwuliniowym układem równań o stałym współczynniku dla wielkości pomocniczej, który później stał się znany jako -funkcja . Są one teraz nazywane równaniami Hirota . Chociaż początkowo wyglądało to tylko jako urządzenie obliczeniowe, bez wyraźnego związku z podejściem odwrotnego rozpraszania lub strukturą hamiltonianu, to jednak dało bardzo bezpośrednią metodę, z której można było wyprowadzić ważne klasy rozwiązań, takie jak solitony .

Następnie zostało to pięknie zinterpretowane przez Mikio Sato i jego uczniów, początkowo w przypadku integrowalnych hierarchii PDE, takich jak hierarchia Kadomcewa-Petwiaszwilego , ale potem dla znacznie bardziej ogólnych klas integrowalnych hierarchii, jako rodzaj uniwersalnej fazy podejście przestrzenne , w którym zazwyczaj dynamika komutacji była postrzegana po prostu jako określona przez ustalone (skończone lub nieskończone) działanie grupy abelowej na (skończonej lub nieskończonej) rozmaitości Grassmanna. -Function był postrzegany jako wyznacznika operatora projekcji z elementów orbity grupy pewnym pochodzenia w Grassmannian, a równania Hirota jak ekspresji stosunki plucker , charakteryzujący plucker osadzania z Grassmannian w projectivizatin z odpowiednio określone ( nieskończona) przestrzeń zewnętrzna, postrzegana jako fermioniczna przestrzeń Focka .

Systemy integrowalne kwantowo

Istnieje również pojęcie układów całkowalnych kwantowo.

W ustawieniu kwantowym funkcje w przestrzeni fazowej muszą zostać zastąpione operatorami samosprzężonymi w przestrzeni Hilberta , a pojęcie funkcji komutujących Poissona zastąpione operatorami komutacyjnymi. Pojęcie praw ochrony musi być wyspecjalizowane w lokalnych przepisach ochrony. Każdy hamiltonian ma nieskończony zbiór zachowanych wielkości nadawanych przez projektory jego energetycznym stanom własnym . Nie oznacza to jednak żadnej specjalnej struktury dynamicznej.

Aby wyjaśnić całkowalność kwantową, warto rozważyć ustawienie cząstki swobodnej. Tutaj cała dynamika jest redukowalna jednym ciałem. Mówi się, że układ kwantowy jest całkowalny, jeśli dynamika jest redukowalna dla dwóch ciał. Równanie Yanga-Baxter jest konsekwencją tego redukowalność i prowadzi do tożsamości, które zapewniają nieskończoną zestaw zachowanych ilościach śladowych. Wszystkie te pomysły są włączone do metody kwantowego odwrotnego rozpraszania, w której algebraiczne ansatz Bethe może być użyte do uzyskania jednoznacznych rozwiązań. Przykłady kwantowych modeli do zabudowy są modelu Lieb-Liniger The Model Hubbarda i kilka zmian w modelu Heisenberga . Niektóre inne typy całkowalności kwantowej są znane w wyraźnie zależnych od czasu problemach kwantowych, takich jak sterowany model Tavisa-Cummingsa.

Modele dokładnie rozwiązywalne

W fizyce systemy całkowicie całkowalne, zwłaszcza w układzie nieskończenie wymiarowym, są często określane jako modele dokładnie rozwiązywalne. Zaciemnia to rozróżnienie między całkowalnością w sensie hamiltonowskim a ogólniejszym sensem układów dynamicznych.

W mechanice statystycznej istnieją również dokładnie rozwiązywalne modele, które są ściślej związane z układami całkowalnymi kwantowymi niż klasyczne. Dwie ściśle powiązane metody: podejście ansatza Bethe we współczesnym znaczeniu, oparte na równaniach Yanga–Baxtera oraz metoda kwantowego odwrotnego rozpraszania, dostarczają kwantowych analogów metod odwrotnych spektralnych. Są one równie ważne w badaniu rozwiązywalnych modeli w mechanice statystycznej.

Nieprecyzyjne pojęcie „dokładnej rozwiązywalności” oznaczające: „Rozwiązania mogą być wyrażone wprost w kategoriach pewnych wcześniej znanych funkcji” jest również czasami używane, tak jakby była to wewnętrzna właściwość samego systemu, a nie czysto obliczeniowa cecha, która zdarza się, że dysponujemy pewnymi „znanymi” funkcjami, za pomocą których można wyrazić rozwiązania. Pojęcie to nie ma żadnego samoistnego znaczenia, gdyż to, co rozumie się przez „znane” funkcje bardzo często, określa się właśnie tym, że spełniają one pewne dane równania, a lista takich „znanych funkcji” stale się powiększa. Chociaż taka charakterystyka „całkowalności” nie ma wewnętrznej ważności, często implikuje rodzaj prawidłowości, której można oczekiwać od systemów całkowalnych.

Lista niektórych znanych klasycznych układów całkowalnych

Klasyczne układy mechaniczne (skończenie wymiarowa przestrzeń fazowa)
Integrowalne modele kratowe
Integrowalne PDE w wymiarach 2 + 1

Zobacz też

Powiązane obszary

Niektórzy kluczowi współtwórcy (od 1965)

Bibliografia

Dalsza lektura

Zewnętrzne linki

Uwagi