Limit dolny i limit górny - Limit inferior and limit superior

W matematyce The Limit gorszy i ograniczenie przełożony z sekwencji mogą być traktowane jako ograniczające (czyli ewentualne i skrajne) granice na sekwencji. Można je traktować w podobny sposób dla funkcji (patrz granica funkcji ). Dla zestawu są to odpowiednio dolna i górna granica punktów granicznych zestawu . Ogólnie rzecz biorąc, gdy istnieje wiele obiektów, wokół których akumuluje się sekwencja, funkcja lub zbiór, granice górne i dolne wyodrębniają najmniejsze i największe z nich; rodzaj obiektu i miara wielkości są zależne od kontekstu, ale pojęcie skrajnych granic pozostaje niezmienne. Limit dolny jest również nazywany limitem dolnym , limitem dolnym , liminf , dolnym limitem , dolnym limitem lub limitem wewnętrznym ; limit superior jest również znany jako limit supremum , limit supremum , limsup , superior limit , upper limit lub zewnętrzny limit .

Ilustracja górnej granicy i dolnej granicy. Sekwencja x _n przedstawiono na niebiesko. Dwie czerwone krzywe zbliżają się do górnej i dolnej granicy x _n , pokazanej jako przerywane czarne linie. W takim przypadku sekwencja kumuluje się wokół dwóch limitów. Górna granica to większa z tych dwóch, a dolna granica to mniejsza z nich. Granice dolna i górna zgadzają się wtedy i tylko wtedy, gdy sekwencja jest zbieżna (tj. gdy istnieje pojedyncza granica).

Granica dolna ciągu jest oznaczona przez ${\displaystyle x_{n}}$

$${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ do \ infty} x_ {n} \ quad {\ tekst {lub}} \ quad \ varliminf _ {n \ do \ infty} x_ {n}.}$$

${\displaystyle x_{n}}$

$${\ Displaystyle \ limsup _ {n \ do \ infty} x_ {n} \ quad {\ tekst {lub}} \ quad \ varlimsup _ {n \ do \ infty} x_ {n}.}$$

Definicja sekwencji

ten granica dolna ciągu (x _n ) jest określona przez

$${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ do \ infty} x_ {n}: = \ lim _ {n \ do \ infty} {\ duży (} \ inf _ {m \ geq n} x_ {m} {\ duży )}}$$

$${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ do \ infty} x_ {n}: = \ sup _ {n \ geq 0} \ \ inf _ {m \ geq n} x_ {m} = \ sup \ {\, \inf\{\,x_{m}:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.}$$

Podobnie granica nadrzędna (x _n ) jest określona przez

$${\ Displaystyle \ limsup _ {n \ do \ infty} x_ {n}: = \ lim _ {n \ do \ infty} {\ duży (} \ sup _ {m \ geq n} x_ {m} {\ duży )}}$$

$${\ Displaystyle \ Limsup _ {n \ do \ infty} x_ {n}: = \ inf _ {n \ geq 0} \ \ sup _ {m \ geq n} x_ {m} = \ inf \ {\, \sup\{\,x_{m}:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.}$$

Alternatywnie, notacje i są czasami używane. ${\ Displaystyle \ varliminf _ {n \ do \ infty} x_ {n}: = \ liminf _ {n \ do \ infty} x_ {n}}$${\ Displaystyle \ varlimsup _ {n \ do \ infty} x_ {n}: = \ Limsup _ {n \ do \ infty} x_ {n}}$

Granice górne i dolne można równoważnie zdefiniować za pomocą pojęcia kolejnych granic ciągu . Element rozszerzonych liczb rzeczywistych jest subsequential granica od jeśli istnieje ściśle rosnący ciąg liczb naturalnych takich, że . Jeżeli jest zbiorem wszystkich kolejnych granic , to ${\ Displaystyle (x_ {n})}$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R}}}}$${\ Displaystyle (x_ {n})}$${\ Displaystyle (n_ {k})}$${\ Displaystyle \ xi = \ lim _ {k \ do \ infty} x_ {n_ {k}}}$${\displaystyle E\subseteq {\overline {\mathbb {R}}}}$${\ Displaystyle (x_ {n})}$

${\ Displaystyle \ Limsup _ {n \ do \ infty} x_ {n} = \ sup E}$

oraz

${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ do \ infty} x_ {n} = \ inf E.}$

Jeżeli wyrazy w ciągu są liczbami rzeczywistymi, to zawsze istnieje granica górna i granica dolna, ponieważ liczby rzeczywiste wraz z ±∞ (tzn. rozszerzoną linią liczb rzeczywistych ) są zupełne . Mówiąc bardziej ogólnie, definicje te mają sens w dowolnym częściowo uporządkowanym zestawie , pod warunkiem istnienia supremy i infima , na przykład w kompletnej sieci .

Ilekroć istnieje zwykła granica, granica dolna i granica wyższa są jej równe; dlatego każdy z nich można uznać za uogólnienie zwykłego limitu, co jest interesujące przede wszystkim w przypadkach, gdy limit nie istnieje. Ilekroć istnieją lim inf x _n i lim sup x _n , mamy

${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ do \ infty} x_ {n} \ leq \ limsup _ {n \ do \ infty} x_ {n}.}$

Granice niższe/lepsze są związane z notacją duże-O , ponieważ ograniczają ciąg tylko „w granicy”; sekwencja może przekroczyć granicę. Jednak w notacji big-O sekwencja może przekraczać granicę tylko w skończonym przedrostku sekwencji, podczas gdy granica wyższa sekwencji, takiej jak e ^{- n,} może być w rzeczywistości mniejsza niż wszystkie elementy sekwencji. Jedyną obietnicą jest to, że jakiś koniec sekwencji może być ograniczony powyżej przez granicę wyższą plus dowolnie małą stałą dodatnią, a ograniczony poniżej przez granicę dolną minus dowolnie mała stała dodatnia.

Granica górna i granica dolna ciągu są szczególnym przypadkiem granic funkcji (patrz poniżej).

Przypadek ciągów liczb rzeczywistych

W analizie matematycznej limit górny i dolny limit są ważnymi narzędziami do badania ciągów liczb rzeczywistych . Ponieważ supremum i infimum nieograniczonego zbioru liczb rzeczywistych może nie istnieć (rzeczywiste nie są pełną siecią), wygodnie jest rozważać ciągi w afinicznie rozszerzonym systemie liczb rzeczywistych : do prostej rzeczywistej dodajemy nieskończoność dodatnią i ujemną dać kompletnie uporządkowany zbiór [−∞,∞], który jest kompletną kratą.

Interpretacja

Rozważ ciąg składający się z liczb rzeczywistych. Załóżmy, że granica górna i dolna są liczbami rzeczywistymi (a więc nie nieskończonymi). ${\ Displaystyle (x_ {n})}$

• Granicą wyższą od jest najmniejsza liczba rzeczywista taka, że ​​dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej istnieje liczba naturalna taka, że dla wszystkich . Innymi słowy, każda liczba większa niż górna granica jest ostateczną górną granicą sekwencji. Tylko skończona liczba elementów ciągu jest większa niż .${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \varepsilon}$ ${\ Displaystyle N}$${\displaystyle x_{n}<b+\varepsilon}$${\displaystyle n>N}$${\displaystyle b+\varepsilon}$
• Granica dolna od jest największą liczbą rzeczywistą taką, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej istnieje liczba naturalna taka, że dla wszystkich . Innymi słowy, dowolna liczba poniżej dolnej granicy jest ostateczną dolną granicą sekwencji. Tylko skończona liczba elementów ciągu jest mniejsza niż .${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \varepsilon}$${\ Displaystyle N}$${\displaystyle x_{n}>b-\varepsilon}$${\displaystyle n>N}$${\displaystyle b-\varepsilon}$

Nieruchomości

W przypadku, gdy sekwencja jest ograniczona, dla wszystkich prawie wszystkich członków sekwencji leżą w otwartym przedziale${\ Displaystyle \ epsilon > 0}$${\ Displaystyle (\ liminf _ {n \ do \ infty} x_ {n} - \ epsilon, \ limsup _ {n \ do \ infty} x_ {n} + \ epsilon).}$

Związek limitu dolnego i limitu nadrzędnego dla ciągów liczb rzeczywistych jest następujący:

$${\ Displaystyle \ limsup _ {n \ do \ infty} \ po lewej (-x_ {n} \ po prawej) = - \ liminf _ {n \ do \ infty} x_ {n}}$$

Jak wspomniano wcześniej, wygodnie jest rozszerzyć do Then, w zbieżności wtedy i tylko wtedy, gdy${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\displaystyle [-\infty,\infty].}$${\ Displaystyle \ po lewej (x_ {n} \ po prawej)}$${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$

$${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ do \ infty} x_ {n} = \ limsup _ {n \ do \ infty} x_ {n}}$$

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} x_ {n}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {R} ,}$

${\displaystyle -\infty}$

${\displaystyle \infty}$

$${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {4} \ liminf _ {n \ do \ infty} x_ {n} & = \ infty & \; \; {\ tekst {oznacza}} \; \; \ lim _ { n\to \infty }x_{n}=\infty ,\\[0.3ex]\limsup _{n\to \infty }x_{n}&=-\infty &&\;\;{\text{ implikuje } }\;\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty .\end{alignedat}}}$$

Jeśli i , to przedział nie musi zawierać żadnej z liczb, ale każde niewielkie powiększenie dla dowolnie małych będzie zawierało dla wszystkich indeksów z wyjątkiem skończenie wielu. W rzeczywistości przedział jest najmniejszym przedziałem domkniętym o tej własności. Możemy sformalizować tę właściwość tak: istnieją podsekwencje i od (gdzie i są monotonne), dla których mamy${\ Displaystyle I = \ liminf _ {n \ do \ infty} x_ {n}}$${\ Displaystyle S = \ Limsup _ {n \ do \ infty} x_ {n}}$${\displaystyle [I,S]}$${\displaystyle x_{n},}$${\displaystyle [I-\epsilon,S+\epsilon],}$${\displaystyle \epsilon>0}$${\displaystyle x_{n}}$${\ Displaystyle n.}$${\displaystyle [I,S]}$ ${\displaystyle x_{k_{n}}}$${\displaystyle x_{h_{n}}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle k_{n}}$${\ Displaystyle h_ {n}}$

$${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ do \ infty} x_ {n} + \ epsilon > x_ {h_ {n}} \; \; \; \; \; \; \; \; \; x_ {k_ { n}}>\limsup _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon }$$

Z drugiej strony istnieje tak, że dla wszystkich${\displaystyle n_{0}\w \mathbb {n}}$${\displaystyle n\geq n_{0}}$

$${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ do \ infty} x_ {n} - \ epsilon <x_ {n} < \ limsup _ {n \ do \ infty} x_ {n} + \ epsilon}$$

Podsumowując:

• Jeśli jest większa niż granica wyższa, jest co najwyżej skończenie wiele większych, niż jeśli jest mniejsza, jest nieskończenie wiele.${\ Displaystyle \ Lambda}$${\displaystyle x_{n}}$${\ Displaystyle \ Lambda;}$
• Jeśli jest mniejsza niż granica dolna, jest co najwyżej skończenie dużo mniej niż jeśli jest większa, jest nieskończenie wiele.${\ Displaystyle \ lambda}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle \lambda;}$

Ogólnie,

$${\ Displaystyle \ inf _ {n} x_ {n} \ leq \ liminf _ {n \ do \ infty} x_ {n} \ leq \ limsup _ {n \ do \ infty} x_ {n} \ leq \ sup _ {n}x_{n}.}$$

Liminf i limsup ciągu są odpowiednio najmniejszymi i największymi punktami skupienia . W niektórych miejscach na świecie limsup jest używane jako nazwa dla grup studyjnych - na przykład: "The Limsup" - w szczególności bardzo znana grupa składa się z członka znanego jako "Lemat o ściskaniu Lila" (więcej ).

• Dla dowolnych dwóch ciągów liczb rzeczywistych granica nadrzędna spełnia subaddytywność, ilekroć zdefiniowana jest prawa strona nierówności (czyli nie lub ):${\ Displaystyle \ po lewej \ {a_ {n} \ po prawej \} \ po lewej \ {b_ {n} \ po prawej \}}$${\displaystyle \infty -\infty}$${\displaystyle -\infty +\infty}$
  $${\ Displaystyle \ limsup _ {n \ do \ infty} \ po lewej (a_ {n} + b_ {n} \ po prawej) \ leq \ limsup _ {n \ do \ infty} \ po lewej (a_ {n} \ po prawej) +\limsup _{n\to \infty }\left(b_{n}\right).}$$

  

Analogicznie granica dolna spełnia superaddytywność :

$${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ do \ infty} \ po lewej (a_ {n} + b_ {n} \ po prawej) \ geq \ liminf _ {n \ do \ infty} \ po lewej (a_ {n} \ po prawej) +\liminf _{n\to \infty }\left(b_{n}\right).}$$

W konkretnym przypadku, gdy jeden z ciągów faktycznie jest zbieżny, powiedzmy, że powyższe nierówności stają się równościami (z lub zastępowane przez ). ${\displaystyle a_{n}\do a}$${\ Displaystyle \ Limsup _ {n \ do \ infty} a_ {n}}$${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ do \ infty} a_ {n}}$${\displaystyle a}$

• Dla dowolnych dwóch ciągów nieujemnych liczb rzeczywistych nierówności${\ Displaystyle \ po lewej \ {a_ {n} \ po prawej \} \ po lewej \ {b_ {n} \ po prawej \}}$
  $${\ Displaystyle \ limsup _ {n \ do \ infty} (a_ {n} b_ {n}) \ leq \ lewo (\ limsup _ {n \ do \ infty} a_ {n} \ po prawej) \ po lewej (\ limsup _{n\do \infty }b_{n}\right)}$$

  
  oraz
  $${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ do \ infty} (a_ {n} b_ {n}) \ geq \ lewo (\ liminf _ {n \ do \ infty} a_ {n} \ po prawej) \ po lewej (\ liminf _{n\do \infty }b_{n}\right)}$$

  

przytrzymaj, gdy prawa strona nie ma formy ${\displaystyle 0\cdot \infty.}$

Jeśli istnieje (w tym przypadek ), a następnie pod warunkiem, że nie ma formy${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} a_ {n} = A}$${\displaystyle A=+\infty}$${\ Displaystyle B = \ Limsup _ {n \ do \ infty} b_ {n}}$${\ Displaystyle \ Limsup _ {n \ do \ infty} \ po lewej (a_ {n} b_ {n} \ po prawej) = AB}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle 0\cdot \infty.}$

Przykłady

• Jako przykład rozważmy sekwencję podaną przez funkcję sin : Korzystając z faktu, że pi jest niewymierne , wynika, że${\ Displaystyle x_ {n} = \ grzech (n).}$
  $${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ do \ infty} x_ {n} = -1}$$

  
  oraz
  $${\ Displaystyle \ Limsup _ {n \ do \ infty} x_ {n} = + 1.}$$

  
  (Dzieje się tak, ponieważ sekwencja jest równomierna mod 2π , konsekwencja twierdzenia o równoważności .)${\ Displaystyle \ {1,2,3, \ ldots \}}$

• Przykładem z teorii liczb jest
  $${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ do \ infty} (p_ {n + 1} - p_ {n}),}$$

  
  gdzie jest -ta liczba pierwsza .${\displaystyle p_{n}}$${\ Displaystyle n}$

Przypuszcza się, że wartość tej granicy niższej wynosi 2 – jest to hipoteza bliźniacza pierwsza – ale od kwietnia 2014 r. udowodniono, że jest mniejsza lub równa 246. Odpowiednia granica wyższa to , ponieważ istnieją arbitralne odstępy między kolejnymi liczby pierwsze . ${\displaystyle +\infty}$

Funkcje o wartościach rzeczywistych

Załóżmy, że funkcja jest zdefiniowana z podzbioru liczb rzeczywistych do liczb rzeczywistych. Podobnie jak w przypadku ciągów, granica dolna i granica nadrzędna są zawsze dobrze zdefiniowane, jeśli dopuścimy wartości +∞ i -∞; w rzeczywistości, jeśli obaj się zgadzają, to granica istnieje i jest równa ich wspólnej wartości (ponownie ewentualnie z uwzględnieniem nieskończoności). Na przykład, gdy f ( x ) = sin(1/ x ), mamy lim sup _{x → 0} f ( x ) = 1 i lim inf _{x → 0} f ( x ) = -1. Różnica między nimi jest szorstka miarą „dziko” oscylacji funkcyjnych, a obserwacji tego faktu, to nazywa się oscylacje o f na 0 . Ta idea oscylacji wystarcza, na przykład, do scharakteryzowania funkcji całkowalnych Riemanna jako ciągłych, z wyjątkiem zbioru miary zero . Zauważ, że punkty o niezerowych oscylacji (tj. punkty, w których f jest " źle zachowywane ") są nieciągłościami, które, o ile nie tworzą zbioru zerowego, są ograniczone do pomijalnego zbioru.

Funkcje od przestrzeni metrycznych po pełne kraty

Istnieje pojęcie lim sup i lim inf dla funkcji zdefiniowanych w przestrzeni metrycznej, których relacja do granic funkcji o wartościach rzeczywistych odzwierciedla związek między lim sup, lim inf i granicą ciągu rzeczywistego. Weźmy przestrzeń metryczną X , podprzestrzeń E zawartą w X , oraz funkcję f  :  E  →  R . Zdefiniować dla dowolnego punktu granica A z E ,

${\ Displaystyle \ limsup _ {x \ do} f (x) = \ lim _ {\ varepsilon \ do 0} (\ sup \ {f (x): x \ w E \ cap B (a; \ varepsilon) \setminus \{a\}\})}$

oraz

${\ Displaystyle \ liminf _ {x \ do a} f (x) = \ lim _ {\ varepsilon \ do 0} (\ inf \ {f (x): x \ w E \ czapka B (a; \ varepsilon) \setminus \{a\}\})}$

gdzie B ( a ;ε) oznacza kulę metryczną o promieniu ε wokół a .

Zauważ, że gdy ε maleje, supremum funkcji nad kulą jest jednostajnie malejące, więc mamy

${\ Displaystyle \ Limsup _ {x \ do a} f (x) = \ inf _ {\ varepsilon > 0} (\ sup \ {f (x): x \ w E \ cap B (a; \ varepsilon) \ setminus \{a\}\})}$

i podobnie

${\ Displaystyle \ liminf _ {x \ do a} f (x) = \ sup _ {\ varepsilon > 0} (\ inf \ {f (x): x \ w E \ czapka B (a; \ varepsilon) \ setminus \{a\}\}).}$

To ostatecznie motywuje definicje ogólnych przestrzeni topologicznych. Weźmy X , E i a jak poprzednio, ale niech X będzie przestrzenią topologiczną. W tym przypadku zastępujemy kule metryczne sąsiedztwami:

${\ Displaystyle \ Limsup _ {x \ do a} f (x) = \ inf \ {\ sup \ {f (x): x \ w E \ czapka U \ setminus \ {a \} \}: U \ \ mathrm {otwarte} ,a\in U,E\cap U\setminus \{a\}\neq \emptyset \}}$

${\ Displaystyle \ liminf _ {x \ do a} f (x) = \ sup \ {\ inf \ {f (x): x \ w e \ czapka U \ setminus \ {a \} \}: U \ \ mathrm {otwarte} ,a\in U,E\cap U\setminus \{a\}\neq \emptyset \}}$

(istnieje sposób na zapisanie formuły za pomocą „lim” przy użyciu sieci i filtra sąsiedztwa). Ta wersja jest często przydatna w dyskusjach na temat półciągłości, które dość często pojawiają się w analizach. Ciekawą uwagą jest to, że ta wersja subsumuje wersję sekwencyjną poprzez uwzględnienie ciągów jako funkcji z liczb naturalnych jako topologicznej podprzestrzeni rozszerzonej prostej rzeczywistej w przestrzeń (zamknięcie N w [−∞,∞], rozszerzonej liczbie rzeczywistej linia , to  N  ∪ {∞}.)

Sekwencje zbiorów

Zestaw zasilający ℘ ( X ) o zbiorze X jest pełna krata że jest sortowana według zadanej włączenia i tak supremum i infimum dowolnego zbioru podzbiorów (w zakresie ustalonym włączenia) zawsze istnieje. W szczególności, każdy podzbiór Y zbioru X jest ograniczony powyżej przez X, a poniżej przez zbiór pusty ∅, ponieważ ∅ ⊆ Y ⊆ X . Stąd możliwe jest (i czasami przydatne) rozważenie górnych i dolnych granic sekwencji w ℘( X ) (tj. sekwencji podzbiorów X ).

Istnieją dwa popularne sposoby definiowania limitu sekwencji zestawów. W obu przypadkach:

• Sekwencja gromadzi się wokół zestawów punktów, a nie samych punktów. To znaczy, ponieważ każdy element ciągu sam w sobie jest zbiorem, istnieją zbiory akumulacji, które są w jakiś sposób blisko nieskończenie wielu elementów ciągu.
• Najwyższy/najwyższy/zewnętrzny limit to zbiór, który łączy te zbiory akumulacji razem. Oznacza to, że jest to połączenie wszystkich zbiorów akumulacyjnych. Przy zamawianiu przez uwzględnienie zestawu, górna granica jest najmniejszą górną granicą zestawu punktów akumulacji, ponieważ zawiera każdy z nich. Jest to więc szczyt punktów granicznych.
• Dolna/dolna/wewnętrzna granica to zestaw, w którym spotykają się wszystkie te zestawy akumulacji . Oznacza to, że jest to przecięcie wszystkich zbiorów akumulacyjnych. Przy zamawianiu przez uwzględnienie zbioru dolna granica jest największą dolną granicą zbioru punktów akumulacji, ponieważ jest zawarta w każdym z nich. Stąd jest to dołek punktów granicznych.
• Ponieważ porządkowanie odbywa się przez włączenie zestawu, to granica zewnętrzna zawsze będzie zawierać granicę wewnętrzną (tj. lim inf  X _n ⊆ lim sup  X _n ). Rozważając zatem zbieżność ciągu zbiorów, zazwyczaj wystarczy wziąć pod uwagę zbieżność zewnętrznej granicy tego ciągu.

Różnica między tymi dwiema definicjami dotyczy sposobu, w jaki zdefiniowana jest topologia (tj. jak określić ilościowo separację). W rzeczywistości druga definicja jest identyczna z pierwszą, gdy metryka dyskretna jest używana do indukowania topologii na X .

Zbieżność zbioru ogólnego

W tym przypadku sekwencja zestawów zbliża się do zestawu ograniczającego, gdy elementy każdego elementu sekwencji zbliżają się do elementów zestawu ograniczającego. W szczególności, jeśli jest ciągiem podzbiorów to: ${\ Displaystyle \ lewo \ {X_ {n} \ prawo \}}$${\displaystyle X,}$

• ${\ Displaystyle \ Limsup X_ {n}}$które nazywa się również zewnętrzną granicę , składa się z elementów, które są granice punktów pobranych z (przeliczalnie) nieskończenie wiele Oznacza to, że tylko wtedy, gdy istnieje ciąg punktów i podciąg w taki sposób, że i${\ Displaystyle X_ {n}}$${\ Displaystyle n.}$${\ Displaystyle x \ w \ Limsup X_ {n}}$${\ Displaystyle \ lewo \ {x_ {k} \ prawo \}}$ ${\ Displaystyle \ lewo \ {X_ {n_ {k}} \ prawo \}}$${\ Displaystyle \ lewo \ {X_ {n} \ prawo \}}$${\ Displaystyle x_ {k} \ w X_ {n_ {k}}}$${\ Displaystyle \ lim _ {k \ do \ infty} x_ {k} \ do x.}$
• ${\ Displaystyle \ liminf X_ {n}}$która jest również nazywana granicą wewnętrzną , składa się z tych elementów, które są granicami punktów dla wszystkich, ale nieskończenie wielu (czyli cofinitely wielu ). To znaczy wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki ciąg punktów , że i${\ Displaystyle X_ {n}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle x \ w \ liminf X_ {n}}$${\ Displaystyle \ lewo \ {x_ {k} \ prawo \}}$${\ Displaystyle x_ {k} \ w X_ {k}}$${\ Displaystyle \ lim _ {k \ do \ infty} x_ {k} \ do x.}$

Granica istnieje wtedy i tylko wtedy , gdy się zgadzasz, w takim przypadku${\ Displaystyle \ Lim X_ {n}}$${\ Displaystyle \ \ Liminf X_ {n} {\ tekst {i}} \ Limsup X_ {n} \}$${\ Displaystyle \ \ Lim X_ {n} = \ Limsup X_ {n} = \ Liminf X_ {n}.}$

Przypadek szczególny: dyskretna metryka

Jest to definicja używana w teorii miary i prawdopodobieństwie . Dalsze rozważania i przykłady z punktu widzenia mnogościowego, w przeciwieństwie do topologicznego punktu widzenia omówionego poniżej, są na granicy mnogościowej .

Zgodnie z tą definicją, sekwencja zbiorów zbliża się do zbioru ograniczającego, gdy zbiór ograniczający zawiera elementy, które są we wszystkich poza skończenie wieloma zbiorami sekwencji i nie zawiera elementów, które są we wszystkich poza skończenie wieloma dopełnieniami zbiorów sekwencji. Oznacza to, że ten przypadek specjalizuje się w ogólnej definicji, gdy topologia na zbiorze X jest indukowana z metryki dyskretnej .

W szczególności, dla punktów x ∈ X i y ∈ X , metryka dyskretna jest zdefiniowana przez

${\ Displaystyle d (x, y): = {\ zacząć {przypadki} 0 i {\ tekst {jeśli}} x = y \\ 1 i {\ tekst {jeśli}} x \ neq y \ koniec {przypadki}} }$

w którym ciąg punktów { x _k } zbiega się do punktu x ∈ X wtedy i tylko wtedy, gdy x _k = x dla wszystkich z wyjątkiem skończenie wielu k . Dlatego, jeśli zbiór granic istnieje , zawiera on punkty i tylko te punkty, które znajdują się we wszystkich, z wyjątkiem skończonych wielu zbiorów ciągu. Ponieważ zbieżność w metryce dyskretnej jest najściślejszą formą zbieżności (tj. wymaga najwięcej), ta definicja zbioru granic jest najściślejsza z możliwych.

Jeśli { X _n } jest ciągiem podzbiorów X , to zawsze istnieją:

• lim sup  X _n składa się z elementów X, które należą do X _n dla nieskończenie wielu n (patrz przeliczalnie nieskończoność ). To znaczy, x ∈ lim sup  X _n wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje podciąg { X _{n k} } { X _n } taki, że x ∈ X _{n k} dla wszystkich k .
• lim inf  X _n składa się z elementów X, które należą do X _n dla wszystkich z wyjątkiem skończenie wielu n (tj. dla coskończenie wielu n ). To znaczy, x ∈ lim inf  X _n wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie m >0, że x ∈ X _n dla wszystkich n > m .

Zauważ, że x lim sup  X _n wtedy i tylko wtedy, gdy x ∉ lim inf  X _n ^c .

• lim  X _n istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy lim inf X _n i lim sup X _{n są} zgodne, w takim przypadku lim  X _n = lim sup X _n = lim inf X _n .

W tym sensie ciąg ma granicę, o ile każdy punkt w X albo pojawia się we wszystkich, z wyjątkiem skończonych wielu X _n, albo pojawia się we wszystkich, z wyjątkiem skończonych wielu X _n ^c .

Używając standardowego żargonu teorii mnogości, uwzględnienie zbiorów zapewnia częściowe uporządkowanie zbioru wszystkich podzbiorów X, co pozwala na przecięcie zbiorów na wygenerowanie największego ograniczenia dolnego i sumę zbiorów na wygenerowanie najmniejszego ograniczenia górnego. Zatem dolna granica lub spotkanie zbioru podzbiorów jest największą dolną granicą, podczas gdy górna granica lub złączenie jest najmniejszą górną granicą. W związku z tym, wewnętrzna graniczna, Lim inf  x _n , to największe spotkanie ogonów sekwencji, a zewnętrzna granica, Lim sup  X _n , jest najmniejsza łączenia ogonów sekwencji. Poniżej precyzuje to.

• Niech I _n będzie spotkaniem n- ^tego ogona ciągu. To jest,

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} I_ {n} i = \ inf \ {X_ {m}: m \ w \ {n, n + 1, n + 2, \ ldots \} \} \ \ & = \ bigcap _{m=n}^{\infty }X_{m}=X_{n}\cap X_{n+1}\cap X_{n+2}\cap \cdots .\end{aligned}}}$

Ciąg { I _n } jest niemalejący ( I _n ⊆ I _{n +1} ), ponieważ każdy I _{n +1} jest przecięciem mniejszej liczby zbiorów niż I _n . Najmniejszą górną granicą tej sekwencji spotkań ogonów jest

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ liminf _ {n \ do \ infty} X_ {n} & = \ sup \ {\ inf \ {X_ {m}: m \ w \ {n, n + 1, \ ldots \}\}:n\in \{1,2,\dots \}\}\\&={\bigcup _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcap _{m= n}^{\infty }}X_{m}\right).\end{wyrównany}}}$

Zatem granica dolna zawiera wszystkie podzbiory, które są dolnymi granicami dla wszystkich z wyjątkiem skończonych wielu zbiorów sekwencji.

• Podobnie niech J _n będzie sprzężeniem n- ^tego ogona ciągu. To jest,

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} J_ {n} i = \ sup \ {X_ {m}: m \ w \ {n, n + 1, n + 2, \ ldots \} \} \ \ & = \ bigcup _{m=n}^{\infty }X_{m}=X_{n}\cup X_{n+1}\cup X_{n+2}\cup \cdots .\end{aligned}}}$

Sekwencja { J _n } jest nierosnąca ( J _n ⊇ J _{n +1} ), ponieważ każdy J _{n +1} jest sumą mniejszej liczby zbiorów niż J _n . Największym dolnym ograniczeniem tego ciągu złączeń ogonów jest

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ limsup _ {n \ do \ infty} X_ {n} i = \ inf \ {\ sup \ {X_ {m}: m \ w \ {n, n + 1, \ ldots \}\}:n\in \{1,2,\dots \}\}\\&={\bigcap _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcup _{m= n}^{\infty }}X_{m}\right).\end{wyrównany}}}$

Zatem supremum limitu jest zawarty we wszystkich podzbiorach, które są górnymi granicami dla wszystkich z wyjątkiem skończonych wielu zbiorów sekwencji.

Przykłady

Poniżej przedstawiono kilka przykładów zbieżności zestawów. Zostały one podzielone na sekcje w odniesieniu do metryki użytej do wywołania topologii na zbiorze X .

Korzystanie z metryki dyskretnej

• Borel-Cantelli lemat jest aplikacją przykładem tych konstruktów.

Korzystanie z metryki dyskretnej lub metryki euklidesowej

• Rozważmy zbiór X = {0,1} i ciąg podzbiorów:

${\ Displaystyle \ {X_ {n} \} = \ {\ {0 \}, \ {1 \}, \ {0 \}, \ {1 \}, \ {0 \}, \ {1 \}, \kropki \}.}$

Elementy „nieparzyste” i „parzyste” tej sekwencji tworzą dwa podciągi, {{0},{0},{0},...} i {{1},{1},{1},... }, które mają odpowiednio punkty graniczne 0 i 1, a więc granicą zewnętrzną lub nadrzędną jest zbiór {0,1} tych dwóch punktów. Jednak nie ma punktów granicznych, które można by pobrać z sekwencji { X _n } jako całości, a więc wewnętrzną lub dolną granicą jest zbiór pusty {}. To jest,

• lim sup  X _n = {0,1}
• lim inf  X _n = {}

Jednak dla { Y _n } = {{0},{0},{0},...} i { Z _n } = {{1},{1},{1},...}:

• lim sup  Y _n = lim inf  Y _n = lim  Y _n = {0}
• lim sup  Z _n = lim inf  Z _n = lim  Z _n = {1}

• Rozważmy zbiór X = {50, 20, -100, -25, 0, 1} i ciąg podzbiorów:

${\ Displaystyle \ {X_ {n} \} = \ {\ {50 \} \ {20 \} \ {-100 \} \ {-25 \} \ {0 \} \ {1 \ },\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\kropki \}.}$

Podobnie jak w poprzednich dwóch przykładach,

• lim sup  X _n = {0,1}
• lim inf  X _n = {}

Oznacza to, że cztery elementy, które nie pasują do wzorca, nie wpływają na lim inf i lim sup, ponieważ jest ich tylko skończenie wiele. W rzeczywistości te elementy mogą być umieszczone w dowolnym miejscu sekwencji (np. w pozycjach 100, 150, 275 i 55000). Dopóki utrzymywane są ogony sekwencji, zewnętrzne i wewnętrzne granice pozostaną niezmienione. Pokrewne koncepcje podstawowych wewnętrznych i zewnętrznych granic, które wykorzystują podstawowe supremum i podstawowe infimum , dostarczają ważnej modyfikacji, która „zgniata” niezliczoną ilość (a nie tylko skończoną liczbę) śródmiąższowych dodatków.

Korzystanie z metryki euklidesowej

• Rozważ sekwencję podzbiorów liczb wymiernych :

${\ Displaystyle \ {X_ {n} \} = \ {\ {0 \} \ {1 \} \ {1/2 \} \ {1/2 \} \ {2/3 \}, \{1/3\},\{3/4\},\{1/4\},\kropki \}.}$

Elementy „nieparzyste” i „parzyste” tego ciągu tworzą dwa podciągi, {{0},{1/2},{2/3},{3/4},...} i {{1},{ 1/2},{1/3},{1/4},...}, które mają odpowiednio punkty graniczne 1 i 0, a więc granicą zewnętrzną lub nadrzędną jest zbiór {0,1} tych dwóch zwrotnica. Jednak nie ma punktów granicznych, które można by pobrać z sekwencji { X _n } jako całości, a więc wewnętrzną lub dolną granicą jest zbiór pusty {}. Tak jak w poprzednim przykładzie,

• lim sup  X _n = {0,1}
• lim inf  X _n = {}

Jednak dla { Y _n } = {{0},{1/2},{2/3},{3/4},...} i { Z _n } = {{1},{1/2 },{1/3},{1/4},...}:

• lim sup  Y _n = lim inf  Y _n = lim  Y _n = {1}
• lim sup  Z _n = lim inf  Z _n = lim  Z _n = {0}

W każdym z tych czterech przypadków elementy zbiorów granicznych nie są elementami żadnego ze zbiorów z oryginalnej sekwencji.

• Granica Ω (tj. zbiór limitów ) rozwiązania systemu dynamicznego jest zewnętrzną granicą trajektorii rozwiązania systemu. Ponieważ trajektorie zbliżają się coraz bardziej do tego zestawu granic, ogony tych trajektorii zbiegają się do zestawu granic.

• Na przykład system LTI, który jest kaskadowym połączeniem kilku stabilnych systemów z nietłumionym systemem LTI drugiego rzędu (tj. zerowym współczynnikiem tłumienia ), będzie oscylował w nieskończoność po zakłóceniu (np. idealny dzwon po uderzeniu). Stąd, jeśli położenie i prędkość tego układu są wykreślane względem siebie, trajektorie zbliżają się do okręgu w przestrzeni stanów . Okrąg, który jest zbiorem limitów Ω układu, jest zewnętrzną granicą trajektorii rozwiązań układu. Okrąg reprezentuje miejsce trajektorii odpowiadającej czystemu sinusoidalnemu wyjściu tonu; oznacza to, że wyjście systemu zbliża się/przybliża czysty ton.

Uogólnione definicje

Powyższe definicje są nieodpowiednie dla wielu zastosowań technicznych. W rzeczywistości powyższe definicje są specjalizacjami następujących definicji.

Definicja zestawu

Limit gorszy od zbioru X ⊆ Y jest infimum od wszystkich punktów granicznych zestawu. To jest,

${\ Displaystyle \ liminf X: = \ inf \ {x \ w Y: x {\ tekst { to punkt graniczny}} X \} \,}$

Podobnie, górna granica zbioru X jest najwyższą wartością wszystkich punktów granicznych zbioru. To jest,

${\ Displaystyle \ Limsup X: = \ sup \ {x \ w Y: x {\ tekst { to punkt graniczny}} X \} \,}$

Zauważ, że zbiór X musi być zdefiniowany jako podzbiór częściowo uporządkowanego zbioru Y, który jest również przestrzenią topologiczną , aby te definicje miały sens. Co więcej, musi to być pełna siatka, aby zawsze istniały suprema i infima. W takim przypadku każdy zestaw ma limit wyższy i limit dolny. Zauważ też, że granica dolna i granica wyższa zbioru nie muszą być elementami zbioru.

Definicja baz filtrów

Weź przestrzeń topologiczną X i bazę filtrów B w tej przestrzeni. Zbiór wszystkich punktów skupienia dla tej bazy filtra jest określony przez

${\ Displaystyle \ bigcap \ {{\ overline {B}} _{0}: B_ {0} \ w B \}}$

gdzie jest zamknięcie z . Jest to wyraźnie zamknięty zbiór i jest podobny do zbioru punktów granicznych zbioru. Załóżmy, że X jest również zbiorem częściowo uporządkowanym . Górna granica podstawy filtra B jest określona jako ${\displaystyle {\overline {B}}_{0}}$${\displaystyle B_{0}}$

${\ Displaystyle \ Limsup B: = \ sup \ bigcap \ {{\ overline {B}} _ {0}: B_ {0} \ w B \}}$

kiedy to najwyższe istnieje. Kiedy X ma porządek całkowity , jest pełną siecią i ma topologię porządku ,

${\ Displaystyle \ Limsup B = \ inf \ {\ sup B_ {0}: B_ {0} \ w B \}.}$

Podobnie, dolna granica podstawy filtra B jest zdefiniowana jako

${\ Displaystyle \ liminf B: = \ inf \ bigcap \ {{\ overline {B}} _ {0}: B_ {0} \ w B \}}$

kiedy to nieskończoność istnieje; jeśli X jest całkowicie uporządkowany, jest kompletną siecią i ma topologię porządku, to

${\ Displaystyle \ liminf B = \ sup \ {\ inf B_ {0}: B_ {0} \ w B \}.}$

Jeśli granica dolna i granica wyższa zgadzają się, musi istnieć dokładnie jeden punkt skupienia, a limit podstawy filtra jest równy temu unikalnemu punktowi skupienia.

Specjalizacja w sekwencjach i sieciach

Zauważ, że bazy filtrów są uogólnieniami sieci , które są uogólnieniami sekwencji . Dlatego te definicje podają granicę dolną i granicę wyższą dowolnej sieci (a więc także dowolnej sekwencji). Weźmy na przykład przestrzeń topologiczną i sieć , gdzie jest zbiorem skierowanym i dla wszystkich . Podstawa filtra ("ogonów") generowana przez tę sieć jest zdefiniowana przez ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle (x_ {\ alfa}) _ {\ alfa \ w A}}$${\ Displaystyle (A {\ leq})}$${\displaystyle x_{\alfa}\w X}$${\ Displaystyle \ alfa \ w A}$${\ Displaystyle B}$

${\ Displaystyle B: = \ {\ {x_ {\ alfa}: \ alfa _ {0} \ leq \ alfa \}: \ alfa _ {0} \ w A \}. \,}$

W związku z tym limit dolny i limit górny netto są równe odpowiednio limitowi górnemu i limitowi dolnemu . Podobnie, w przestrzeni topologicznej , ma sekwencję którym na każdy z czym zbiór liczb naturalnych . Podstawa filtra („ogonów”) generowana przez tę sekwencję jest zdefiniowana przez ${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle (x_ {n})}$${\ Displaystyle x_ {n} \ w X}$${\ Displaystyle n \ w \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$${\displaystyle C}$

${\ Displaystyle C: = \ {\ {x_ {n}: n_ {0} \ leq n \}: n_ {0} \ w \ mathbb {N} \}. \,}$

W związku z tym, granica dolna i granica górna sekwencji są równe odpowiednio granicy górnej i dolnej granicy . ${\displaystyle C}$

Zobacz też

• Niezbędne supremu i niezbędne infimum
• Koperta (fale)
• Limit jednostronny
• Pochodne Dini
• Granica mnogościowa

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• „Górne i dolne granice” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]