Superaddytywność - Superadditivity

W matematyce , A sekwencja { _n } n ≥ 1, nazywany jest nadaddytywne , jeśli spełnia on nierówność

${\ Displaystyle a_ {n + m} \ geq a_ {n} + a_ {m}}$

dla wszystkich m i n . Głównym powodem zastosowania sekwencji superaddytywnych jest następujący lemat dotyczący Michaela Fekete .

Lemat: (Fekete) Dla każdego superaddytywnego ciągu { a _n }, n ≥ 1, istnieje granica lim a _n  / n i jest równa sup a _n  / n . (Limit może być dodatnią nieskończonością, na przykład dla sekwencji a _n = log  n !.)

Podobnie funkcja f jest superaddytywna, jeśli

${\ Displaystyle f (x + y) \ geq f (x) + f (y)}$

dla wszystkich x i y w domenie z F .

Na przykład, jest nadaddytywne funkcja nieujemne liczby rzeczywistych ponieważ kwadratowy od jest zawsze większy lub równy kwadratowi plus kwadratu dla nieujemne liczby rzeczywistych i (( x + y ) ² = x ² + y ² + 2 xy ). ${\ Displaystyle f (x) = x ^ {2}}$${\ displaystyle x + y}$${\ displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Analogia lematu Fekete'a obowiązuje również dla funkcji subaddytywnych . Istnieją rozszerzenia lematu Fekete'a, które nie wymagają powyższej definicji superaddytywności dla wszystkich m i n . Istnieją również wyniki, które pozwalają wywnioskować tempo zbieżności do granicy, której istnienie jest określone w lemie Fekete, jeśli występuje zarówno pewien rodzaj superaddytywności, jak i subaddytywności. Dobre przedstawienie tego tematu można znaleźć w Steele (1997).

Termin „superaddytywny” jest również stosowany do funkcji z algebry logicznej do liczb rzeczywistych, gdzie , takich jak niższe prawdopodobieństwa . ${\ Displaystyle P (X \ lub Y) \ geq P (X) + P (Y)}$

Jeśli f jest funkcją superaddytywną, a 0 jest w jej dziedzinie, to f (0) ≤ 0. Aby to zobaczyć, weźmy nierówność u góry: . W związku z tym${\ Displaystyle f (x) \ leq f (x + y)-f (y)}$${\ Displaystyle f (0) \ równoważnik f (0 + r) -f (r) = 0.}$

Negatywna funkcja superaddytywna jest subaddytywna .

Przykłady funkcji superaddytywnych

• Determinantą jest nadaddytywne do nieujemną hermitowskiego matrycy , to znaczy, jeśli są nieujemną hermitowskiego następnie .${\ Displaystyle A, B \ w {\ tekst {Mat}} _ {n} (\ mathbb {C})}$${\ Displaystyle \ det (A + B) \ geq \ det (A) + \ det (B)}$

Wynika to z twierdzenia Minkowskiego o wyznaczniku, które ogólniej stwierdza, że jest superaddytywna (ekwiwalentnie wklęsła ) dla nieujemnych macierzy hermitowskich o rozmiarze n : Jeśli są nieujemnymi hermitowskimi, to . ${\ Displaystyle \ det (\ cdot) ^ {1/n}}$${\ Displaystyle A, B \ w {\ tekst {Mat}} _ {n} (\ mathbb {C})}$${\ Displaystyle \ det (A + B) ^ {1/n} \ geq \ det (A) ^ {1/n} + \ det (B) ^ {1/n}}$

• Wzajemna informacja
• Horst Alzer udowodnił, że funkcja gamma Hadamarda H ( x ) jest superaddytywna dla wszystkich liczb rzeczywistych x , y z x , y ≥ 1.5031.

Zobacz też

• Całka Choqueta
• Subaddytywność
• Funkcja podliniowa

Bibliografia

Uwagi

• György Polya i Gábor Szegö. (1976). Problemy i twierdzenia w analizie, tom 1 . Springer-Verlag, Nowy Jork. Numer ISBN 0-387-05672-6.

Ten artykuł zawiera materiał z Superadditivity on PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Attribution / Share-Alike License .