Zamów topologię - Order topology

W matematyce , topologia porządkowa jest pewna topologia , które mogą być zdefiniowane na każdej całkowicie uporządkowanym zbiorze . Jest to naturalne uogólnienie topologii liczb rzeczywistych na dowolne, całkowicie uporządkowane zbiory.

Jeśli X jest zbiorem całkowicie uporządkowanym, topologia kolejności na X jest generowana przez subbazę „otwartych promieni”

${\ displaystyle \ {x \ mid a <x \}}$

${\ displaystyle \ {x \ mid x <b \}}$

dla każdego a, b , w X . Zakładając, że X ma co najmniej dwa elementy, jest to równoważne stwierdzeniu, że otwarte przedziały czasu

${\ displaystyle (a, b) = \ {x \ mid a <x <b \}}$

wraz z powyższymi promieniami tworzą podstawę dla topologii zamówienia. Zbiory otwarte w X są zbiorami, które są sumą (prawdopodobnie nieskończenie wielu) takich otwartych interwałów i promieni.

Topologiczna przestrzeń X nazywa można zamówić jeśli istnieje całkowita porządku na jego elementy, takie, że topologia celu wywołane tej kolejności, a daną topologię X zbieżne. Topologia kolejności sprawia, że X staje się całkowicie normalną przestrzenią Hausdorffa .

Standardowe topologie na R , Q , Z i N to topologie kolejności.

Topologia zleceń indukowanych

Jeżeli Y jest podzbiorem X , X całkowicie uporządkowanym, a Y dziedziczy całkowitą zamówienie z X . Zbiór Y ma zatem topologię porządku, topologię porządku indukowanego . Jako podzbiór X , Y ma również topologię podprzestrzeni . Topologia podprzestrzeni jest zawsze co najmniej tak dobra, jak topologia kolejności indukowanej, ale na ogół nie są one takie same.

Rozważmy na przykład podzbiór Y = {–1} ∪ {1 / n } _{n ∈ N} w wymiernych . W topologii podprzestrzeni zbiór singletonów {–1} jest otwarty w Y , ale w topologii porządku indukowanego każdy zbiór otwarty zawierający –1 musi zawierać wszystkie, ale nieskończenie wiele elementów przestrzeni.

Przykład podprzestrzeni przestrzeni uporządkowanej liniowo, której topologia nie jest topologią porządkową

Chociaż topologia podprzestrzeni Y = {–1} ∪ {1 / n } _{n ∈ N} w powyższej sekcji nie jest generowana przez indukowany porządek na Y , niemniej jest to topologia porządku na Y ; faktycznie, w topologii podprzestrzeni każdy punkt jest izolowany (tj. singleton {y} jest otwarty w Y dla każdego yw Y ), więc topologia podprzestrzeni jest topologią dyskretną na Y (topologia, w której każdy podzbiór Y jest otwarty zestaw), a topologia dyskretna w dowolnym zestawie jest topologią kolejności. Aby zdefiniować całkowity porządek na Y, który generuje dyskretną topologię na Y , po prostu zmodyfikuj indukowany porządek na Y , definiując -1 jako największy element Y i zachowując tę ​​samą kolejność dla innych punktów, tak aby w tej nowej kolejności (połączenie to znaczy < ₁ ), to mamy 1 / n < ₁ 1 dla wszystkich n  ∈  n . Następnie, w kolejności od topologii Y generowane przez < ₁ , każdy punkt Y wyodrębnia się Y .

Chcielibyśmy tutaj zdefiniować podzbiór Z liniowo uporządkowanej przestrzeni topologicznej X w taki sposób, że żaden całkowity porządek na Z nie generuje topologii podprzestrzeni na Z , tak że topologia podprzestrzeni nie będzie topologią porządku, nawet jeśli jest to topologia podprzestrzeni przestrzeni której topologia jest topologią kolejności.

Wpuść prawdziwą linię. Ten sam argument, co poprzednio, pokazuje, że topologia podprzestrzeni na Z nie jest równa topologii porządku indukowanego na Z, ale można pokazać, że topologia podprzestrzeni na Z nie może być równa żadnej topologii porządku na Z. ${\ Displaystyle Z = \ {- 1 \} \ filiżanka (0,1)}$

Następuje argument. Załóżmy na zasadzie sprzeczności, że istnieje pewien ścisły porządek całkowity <na Z taki, że topologia porządku generowana przez <jest równa topologii podprzestrzeni na Z (zauważ, że nie zakładamy, że <jest porządkiem indukowanym na Z, ale raczej arbitralnie podana całkowita kolejność na Z, która generuje topologię podprzestrzeni). W dalszej części notacja przedziału powinna być interpretowana względem relacji <. Ponadto, jeśli i B są zbiorami, oznacza, że dla każdego A w A i B w B . ${\ displaystyle A <B}$${\ displaystyle a <b}$

Niech M  =  Z  \ {-1}, przedział jednostkowy. M jest podłączony. Jeśli m ,  n  ∈  M i m  <-1 <  n , a , a oddzielna M sprzeczność. Zatem M  <{-1} lub {-1} <  M . Załóżmy bez utraty ogólności, że {-1} <  M . Ponieważ {-1} jest otwarte w Z , istnieje taki punkt p w M , że przedział (-1, p ) jest pusty. Ponieważ {-1} <  M wiemy, -1 jest jedynym elementem Z , która jest mniejsza niż P , więc P jest co najmniej M . Wtedy M  \ { p } = A  ∪  B , gdzie A i B są niepustymi otwartymi i rozłącznie połączonymi podzbiorami M (usunięcie punktu z otwartego przedziału daje dwa otwarte przedziały). Dzięki łączności żaden punkt Z \ B nie może leżeć między dwoma punktami B , ani żaden punkt Z \ A nie może leżeć między dwoma punktami A. Zatem albo A < B, albo B < A . Załóżmy bez utraty ogólności, że A < B . Jeśli jakikolwiek punkt A , to P < oraz ( s , ) A . Wtedy (-1, a ) = [ p , a ), więc [ p , a ) jest otwarte. { p } ∪ A = [ p , a ) ∪ A , więc { p } ∪ A jest podzbiorem otwartym M i stąd M = ({ p } ∪ A ) ∪ B jest sumą dwóch rozłącznych otwartych podzbiorów M tak M nie jest powiązany, jest sprzecznością. ${\ Displaystyle (- \ infty, -1)}$${\ Displaystyle (-1, \ infty)}$${\ displaystyle \ subseteq}$

Topologie kolejności lewej i prawej

Można podać kilka wariantów topologii kolejności:

• Prawo Topologia celu na X jest topologia którego otwarty zestawy składają się z przerwami w postaci ( , ∞) (włączając w to (-∞, ∞)).
• Topologia lewej celu na X jest topologia którego otwarty zestawy składają się z przerwami postaci (-∞, b ) (w tym (-∞, ∞)).

Topologie kolejności lewej i prawej mogą służyć do podania kontrprzykładów w topologii ogólnej. Na przykład topologia kolejności lewej lub prawej w ograniczonym zbiorze stanowi przykład zwartej przestrzeni innej niż Hausdorff.

Topologia kolejności od lewej jest standardową topologią używaną do wielu celów związanych z teorią zbiorów w algebrze Boole'a .

Przestrzeń porządkowa

Dla dowolnej liczby porządkowej λ można rozważyć przestrzenie liczb porządkowych

${\ Displaystyle [0, \ lambda) = \ {\ alpha \ mid \ alpha <\ lambda \}}$

${\ Displaystyle [0, \ lambda] = \ {\ alpha \ mid \ alpha \ leq \ lambda \}}$

wraz z topologią porządku naturalnego. Przestrzenie te nazywane są przestrzeniami porządkowymi . (Zauważ, że w zwykłej konstrukcji teorii mnogości liczb porządkowych mamy λ = [0, λ ) i λ + 1 = [0, λ ]). Oczywiście te przestrzenie są szczególnie interesujące, gdy λ jest nieskończoną liczbą porządkową; w przeciwnym razie (dla skończonych liczb porządkowych) topologia kolejności jest po prostu topologią dyskretną .

Gdy λ = ω (pierwszy nieskończona liczba porządkowa), przestrzeń [0, ω) jest tylko N ze zwykłymi (jeszcze) TOPOLOGIA dyskretnej, a [0, ω] oznacza jeden punkt zwartym z N .

Szczególnie interesujący jest przypadek, gdy λ = ω ₁ , zbiór wszystkich policzalnych liczb porządkowych i pierwsza niepoliczalna liczba porządkowa . Element ω ₁ jest punktem granicznym podzbioru [0, ω ₁ ), mimo że żadna sekwencja elementów w [0, ω ₁ ) nie ma elementu ω ₁ jako granicy. W szczególności [0, ω ₁ ] nie jest policzalne jako pierwsze . Jednak podprzestrzeń [0, ω ₁ ) jest policzalna jako pierwsza, ponieważ jedyny punkt w [0, ω ₁ ] bez policzalnej bazy lokalnej to ω ₁ . Niektóre dalsze właściwości obejmują

• ani [0, ω ₁ ) ani [0, ω ₁ ] nie jest rozdzielalny ani policzalny do drugiego
• [0, ω ₁ ] jest zwarty , natomiast [0, ω ₁ ) jest sekwencyjnie zwarty i policzalnie zwarty , ale nie jest zwarty ani paracompact

Topologia i liczby porządkowe

Liczby porządkowe jako przestrzenie topologiczne

Każdą liczbę porządkową można przekształcić w przestrzeń topologiczną , nadając jej topologię porządku (ponieważ porządek porządkowy jest w szczególności uporządkowany w szczególności ): w przypadku braku wskazania, że ​​jest inaczej, to zawsze topologia porządku rozumie się przez to, że liczba porządkowa jest traktowana jako przestrzeń topologiczna. (Zauważ, że jeśli jesteśmy skłonni zaakceptować odpowiednią klasę jako przestrzeń topologiczną, to klasa wszystkich liczb porządkowych jest również przestrzenią topologiczną dla topologii porządku).

Zbiór punktów granicznych porządkowej α jest dokładnie zbiorem granicznych liczb porządkowych mniejszych niż α . Następujące liczby porządkowe (i zero) mniejsze niż α są pojedynczymi punktami w α . W szczególności skończone liczby porządkowe i ω są dyskretnymi przestrzeniami topologicznymi, a żadna liczba porządkowa poza nią nie jest dyskretna. Porządkowa α jest zwarta jako przestrzeń topologiczna wtedy i tylko wtedy, gdy α jest następcą porządkową .

Zamknięte zbiory ograniczenia porządkowego α są po prostu zbiorami zamkniętymi w tym sensie, który już zdefiniowaliśmy , a mianowicie takimi, które zawierają liczbę porządkową graniczną, ilekroć zawierają wszystkie wystarczająco duże liczby porządkowe poniżej niego.

Każdy porządek porządkowy jest oczywiście otwartym podzbiorem wszelkich dalszych porządkowych. Można również określić topologię liczb porządkowych w następujący sposób indukcyjny: 0 to pusta przestrzeń topologicznych α +1 jest otrzymana poprzez punktowe zwarte z alfa , i hemibursztynianu liczbą graniczną, δ jest wyposażona w indukcyjnie ogranicz topologię. Zauważ, że jeśli α jest następcą liczby porządkowej, to α jest zwarty, w którym to przypadku jego jednopunktowe zagęszczenie α +1 jest rozłącznym połączeniem α i punktu.

Jako przestrzenie topologiczne, wszystkie liczby porządkowe są Hausdorffa, a nawet normalne . Są też całkowicie rozłączone (połączone elementy to punkty), rozproszone (każda niepusta podprzestrzeń ma wydzielony punkt; w tym przypadku wystarczy wziąć najmniejszy element), zerowymiarowe (topologia ma podstawę clopen : tutaj napisz przedział otwarty ( β , γ ) jako suma przedziałów clopen ( β , γ '+1) = [ β +1, γ '] dla γ '< γ ). Jednak na ogół nie są one skrajnie rozłączone (istnieją zbiory otwarte, na przykład liczby parzyste z ω, których domknięcie nie jest otwarte).

Przestrzenie topologiczne ω ₁ i ich następcy ω ₁ +1 są często używane jako podręcznikowe przykłady niepoliczalnych przestrzeni topologicznych. Na przykład w przestrzeni topologicznej ω ₁ + ₁ element ω ₁ znajduje się w zamknięciu podzbioru ω _1, mimo że żadna sekwencja elementów w ω ₁ nie ma elementu ω ₁ jako granicy: element w ω ₁ jest policzalny zestaw; dla dowolnej sekwencji takich zbiorów suma tych zbiorów jest sumą policzalnych zbiorów, a więc wciąż policzalnych; ta suma jest górną granicą elementów sekwencji, a zatem granicą sekwencji, jeśli taką ma.

Przestrzeń ω ₁ jest policzalna jako pierwsza , ale nie jest policzalna jako druga , a ω ₁ +1 nie ma żadnej z tych dwóch właściwości, mimo że jest zwarta . Warto również zauważyć, że każda funkcja ciągła od ω ₁ do R ( linia rzeczywista ) jest ostatecznie stała: tak więc zagęszczenie Stone – Čech ω ₁ wynosi ω ₁ + ₁ , podobnie jak jego jednopunktowe zagęszczenie (w ostrym kontraście do ω, którego zagęszczenie Stone – Čech jest znacznie większe niż ω).

Sekwencje indeksowane porządkowo

Jeśli α jest graniczną, a X jest ustawiona, α -indexed sekwencji elementów X oznacza jedynie funkcję z alfa do X . Pojęcie to, sekwencja pozaskończona lub sekwencja indeksowana porządkowo , jest uogólnieniem pojęcia sekwencji . Zwykły ciąg odpowiada przypadkowi α = ω.

Jeśli X jest przestrzenią topologiczną, to mówimy, że ciąg elementów X z indeksem α zbiega się do granicy x, gdy zbiega się jako sieć , innymi słowy, gdy dane sąsiedztwo U z x jest równe β < α takie że x _ι jest w U dla wszystkich ι ≥ β .

Sekwencje indeksowane porządkowo mają większe możliwości niż zwykłe (indeksowane ω) sekwencje do określania granic topologii: na przykład ω ₁ ( omega-jeden , zbiór wszystkich policzalnych liczb porządkowych i najmniejsza niepoliczalna liczba porządkowa) jest granicą punkt ω ₁ + ₁ (ponieważ jest to ograniczenie porządkowe) i rzeczywiście jest to granica sekwencji zindeksowanej ω ₁ , która odwzorowuje dowolną liczbę porządkową mniejszą niż ω ₁ do siebie samego: nie jest to jednak granica żadnego zwykła (indeksowana ω) sekwencja w ω ₁ , ponieważ każda taka granica jest mniejsza lub równa sumie jej elementów, która jest policzalną sumą policzalnych zbiorów, a zatem sama policzalna.

Jednak sekwencje indeksowane porządkowo nie są wystarczająco mocne, aby zastąpić sieci (lub filtry ) w ogóle: na przykład na desce Tychonoff (przestrzeń produktu ) punkt narożny jest punktem granicznym (znajduje się w zamknięciu) otwartego podzbiór , ale nie jest to granica sekwencji indeksowanej porządkowo. ${\ Displaystyle (\ omega _ {1} +1) \ razy (\ omega +1)}$${\ Displaystyle (\ omega _ {1}, \ omega)}$${\ displaystyle \ omega _ {1} \ times \ omega}$

Zobacz też

• Lista topologii
• Topologia dolnej granicy
• Długa linia (topologia)
• Liniowe kontinuum
• Zamów topologię (analiza funkcjonalna)
• Przestrzeń częściowo uporządkowana

Uwagi

Bibliografia

• Steen, Lynn A. i Seebach, J. Arthur Jr .; Przeciwprzykłady w Topology , Holt, Rinehart i Winston (1970). ISBN   0-03-079485-4 .
• Stephen Willard, General Topology , (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts.
• Ten artykuł zawiera materiał z topologii Order na PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Attribution / Share-Alike License .