Jet (matematyka) - Jet (mathematics)

W matematyce The Jet jest operacja trwa różniczkowalnej funkcji f i wytwarza się wielomian , ściętego Taylor wielomian z F , w każdym punkcie jego zastosowania. Chociaż jest to definicja dżetu, teoria dżetów traktuje te wielomiany raczej jako abstrakcyjne wielomiany niż funkcje wielomianów.

W tym artykule najpierw omówiono pojęcie dżetu funkcji o wartościach rzeczywistych w jednej zmiennej rzeczywistej, a następnie omówiono uogólnienia na kilka zmiennych rzeczywistych. Następnie daje rygorystyczną konstrukcję strumieni i przestrzeni między strumieniami między przestrzeniami euklidesowymi . Kończy się opisem dżetów między kolektorami oraz ich wewnętrzną konstrukcją. W tym bardziej ogólnym kontekście podsumowuje niektóre zastosowania dżetów w geometrii różniczkowej i teorii równań różniczkowych .

Dżety funkcji między przestrzeniami euklidesowymi

Przed podaniem rygorystycznej definicji dżetu warto zbadać kilka specjalnych przypadków.

Jednowymiarowa obudowa

Załóżmy, że jest to funkcja o wartościach rzeczywistych, mająca co najmniej k  + 1 pochodnych w sąsiedztwie U punktu . Następnie, według twierdzenia Taylora, ${\ displaystyle f: {\ mathbb {R}} \ rightarrow {\ mathbb {R}}}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$

${\ Displaystyle f (x) = f (x_ {0}) + fa '(x_ {0}) (x-x_ {0}) + \ cdots + {\ Frac {f ^ {(k)} (x_ { 0})} {k!}} (X- x_ {0}) ^ {k} + {\ frac {R_ {k + 1} (x)} {(k + 1)!}} (X- x_ { 0}) ^ {k + 1}}$

gdzie

${\ Displaystyle | R_ {k + 1} (x) | \ równoważnik \ sup _ {x \ w U} | f ^ {(k + 1)} (x) |.}$

Następnie k- jet z f w punkcie jest definiowany jako wielomian ${\ displaystyle x_ {0}}$

${\ Displaystyle (J_ {x_ {0}} ^ {k} f) (z) = \ suma _ {i = 0} ^ {k} {\ Frac {f ^ {(i)} (x_ {0}) } {i!}} z ^ {i} = f (x_ {0}) + f '(x_ {0}) z + \ cdots + {\ frac {f ^ {(k)} (x_ {0})} {k!}} z ^ {k}.}$

Dżety są zwykle uważane za abstrakcyjne wielomiany w zmiennej z , a nie za rzeczywiste funkcje wielomianowe w tej zmiennej. Innymi słowy, z jest zmienną nieokreśloną, umożliwiającą wykonywanie różnych operacji algebraicznych między dżetami. W rzeczywistości jest to punkt bazowy, z którego dżety wywodzą swoją funkcjonalną zależność. Tak więc, zmieniając punkt bazowy, strumień daje wielomian rzędu co najwyżej k w każdym punkcie. Wskazuje to na ważne koncepcyjne rozróżnienie między dżetami a obciętymi szeregami Taylora: zwykle uważa się, że szereg Taylora zależy funkcjonalnie od swojej zmiennej, a nie od jej punktu bazowego. Z drugiej strony Jets oddziela algebraiczne własności szeregów Taylora od ich własności funkcjonalnych. Przyczynami i zastosowaniami tego oddzielenia zajmiemy się w dalszej części artykułu. ${\ displaystyle x_ {0}}$

Odwzorowania z jednej przestrzeni euklidesowej na inną

Załóżmy, że jest to funkcja od jednej przestrzeni euklidesowej do innej, mająca co najmniej ( k  + 1) pochodnych. W tym przypadku twierdzenie Taylora to potwierdza ${\ Displaystyle f: {\ mathbb {R}} ^ {n} \ rightarrow {\ mathbb {R}} ^ {m}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane} f (x) = f (x_ {0}) + (Df (x_ {0})) \ cdot (x-x_ {0}) + {} i {\ Frac {1 } {2}} (D ^ {2} f (x_ {0})) \ cdot (x-x_ {0}) ^ {\ otimes 2} + \ cdots \\ [4pt] & \ cdots + {\ frac {D ^ {k} f (x_ {0})} {k!}} \ Cdot (x-x_ {0}) ^ {\ otimes k} + {\ frac {R_ {k + 1} (x)} {(k + 1)!}} \ cdot (x-x_ {0}) ^ {\ otimes (k + 1)}. \ end {aligned}}}$

Następnie k- jet z f jest definiowany jako wielomian

${\ Displaystyle (J_ {x_ {0}} ^ {k} f) (z) = f (x_ {0}) + (Df (x_ {0})) \ cdot z + {\ Frac {1} {2} } (D ^ {2} f (x_ {0})) \ cdot z ^ {\ otimes 2} + \ cdots + {\ frac {D ^ {k} f (x_ {0})} {k!}} \ cdot z ^ {\ otimes k}}$

w , gdzie . ${\ displaystyle {\ mathbb {R}} [z]}$${\ displaystyle z = (z_ {1}, \ ldots, z_ {n})}$

Algebraiczne własności dżetów

Istnieją dwie podstawowe struktury algebraiczne, które mogą przenosić dżety. Pierwsza to struktura produktu, choć ostatecznie okazuje się ona najmniej ważna. Drugi to struktura składu dżetów.

Jeśli istnieje para funkcji o wartościach rzeczywistych, możemy zdefiniować iloczyn ich dżetów za pośrednictwem ${\ Displaystyle f, g: {\ mathbb {R}} ^ {n} \ rightarrow {\ mathbb {R}}}$

${\ Displaystyle J_ {x_ {0}} ^ {k} f \ cdot J_ {x_ {0}} ^ {k} g = J_ {x_ {0}} ^ {k} (f \ cdot g).}$

Tutaj usunęliśmy nieokreślone z , ponieważ rozumie się, że dżety są formalnymi wielomianami. Ten iloczyn jest po prostu iloczynem zwykłych wielomianów w z , modulo . Innymi słowy, jest to mnożenie w pierścieniu , gdzie jest ideałem generowanym przez wielomiany jednorodne rzędu ≥  k  + 1. ${\ displaystyle z ^ {k + 1}}$${\ Displaystyle {\ mathbb {R}} [z] / (z ^ {k + 1})}$${\ Displaystyle (z ^ {k + 1})}$

Przechodzimy teraz do składu dżetów. Aby uniknąć niepotrzebnych szczegółów technicznych, rozważamy strumienie funkcji, które odwzorowują początek na początek. Jeśli i gdy f (0) = 0 i g (0) = 0, to . Skład dysz jest określona jest łatwo sprawdzone, stosując zasadę łańcucha , że stanowi asocjacyjny nieprzemienna operację przestrzeni dysz na początku układu współrzędnych. ${\ Displaystyle f: {\ mathbb {R}} ^ {m} \ rightarrow {\ mathbb {R}} ^ {\ ell}}$${\ Displaystyle g: {\ mathbb {R}} ^ {n} \ rightarrow {\ mathbb {R}} ^ {m.}}$${\ displaystyle f \ circ g: {\ mathbb {R}} ^ {n} \ rightarrow {\ mathbb {R}} ^ {\ ell}}$${\ displaystyle J_ {0} ^ {k} f \ circ J_ {0} ^ {k} g = J_ {0} ^ {k} (f \ circ g).}$

W rzeczywistości skład k -jetów to nic innego jak skład wielomianów modulo ideał wielomianów jednorodnych rzędu . ${\ displaystyle> k}$

Przykłady:

• W jednym wymiarze niech i . Następnie${\ Displaystyle f (x) = \ log (1-x)}$${\ Displaystyle g (x) = \ sin \, x}$

${\ Displaystyle (J_ {0} ^ {3} f) (x) = - x - {\ Frac {x ^ {2}} {2}} - {\ Frac {x ^ {3}} {3}} }$

${\ Displaystyle (J_ {0} ^ {3} g) (x) = x - {\ Frac {x ^ {3}} {6}}}$

i

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane} i (J_ {0} ^ {3} f) \ Circ (J_ {0} ^ {3} g) = - \ lewo (x - {\ Frac {x ^ {3}) } {6}} \ right) - {\ frac {1} {2}} \ left (x - {\ frac {x ^ {3}} {6}} \ right) ^ {2} - {\ frac { 1} {3}} \ left (x - {\ frac {x ^ {3}} {6}} \ right) ^ {3} {\ pmod {x ^ {4}}} \\ [4pt] = { } & - x - {\ frac {x ^ {2}} {2}} - {\ frac {x ^ {3}} {6}} \ end {aligned}}}$

Dżety w punkcie w przestrzeni euklidesowej: rygorystyczne definicje

Definicja analityczna

Poniższa definicja wykorzystuje pomysły z analizy matematycznej do zdefiniowania dżetów i przestrzeni między strumieniami. Można go uogólnić, aby wygładzić funkcje między przestrzeniami Banacha , funkcje analityczne między domenami rzeczywistymi lub złożonymi , analizę p-adyczną i inne obszary analizy.

Pozwolić być przestrzeń wektor z gładkimi funkcjami . Niech k będzie nieujemną liczbą całkowitą i p będzie punktem . Definiujemy relację równoważności w tej przestrzeni, deklarując, że dwie funkcje f i g są równoważne rządowi k, jeśli f i g mają tę samą wartość w p , a wszystkie ich pochodne cząstkowe zgadzają się w p do (włącznie) ich k - pochodne rzędu. Krótko mówiąc, iff do k-tego rzędu. ${\ Displaystyle C ^ {\ infty} ({\ mathbb {R}} ^ {n}, {\ mathbb {R}} ^ {m})}$ ${\ Displaystyle f: {\ mathbb {R}} ^ {n} \ rightarrow {\ mathbb {R}} ^ {m}}$${\ displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle E_ {p} ^ {k}}$${\ displaystyle f \ sim g \, \!}$${\ displaystyle fg = 0}$

K -tego rzędu przestrzeni strumień o w p określa się zbiór grup równoważności i jest oznaczona . ${\ Displaystyle C ^ {\ infty} ({\ mathbb {R}} ^ {n}, {\ mathbb {R}} ^ {m})}$${\ Displaystyle E_ {p} ^ {k}}$${\ Displaystyle J_ {p} ^ {k} ({\ mathbb {R}} ^ {n}, {\ mathbb {R}} ^ {m})}$

K Jet-tego rzędu w p gładkiej funkcji określa się jako klasa równoważność f in . ${\ Displaystyle f \ w C ^ {\ infty} ({\ mathbb {R}} ^ {n}, {\ mathbb {R}} ^ {m})}$${\ Displaystyle J_ {p} ^ {k} ({\ mathbb {R}} ^ {n}, {\ mathbb {R}} ^ {m})}$

Definicja algebro-geometryczna

Poniższa definicja wykorzystuje idee z geometrii algebraicznej i algebry przemiennej w celu ustalenia pojęcia dżetu i przestrzeni dżetu. Chociaż definicja ta nie jest szczególnie odpowiednia do stosowania w geometrii algebraicznej jako takiej, ponieważ jest przypisana do kategorii gładkiej, można ją łatwo dostosować do takich zastosowań.

Pozwolić być przestrzeń wektor z zarazkami na gładkich funkcji w punkcie p w . Niech będzie ideałem składającym się z zarodków funkcji, które znikają na str . (Jest to maksymalny ideał dla lokalnego pierścienia .) W takim razie ideał składa się ze wszystkich zarazków funkcyjnych, które znikają, aby uporządkować k przy p . Możemy teraz zdefiniować przestrzeń dżetu w p o ${\ Displaystyle C_ {p} ^ {\ infty} ({\ mathbb {R}} ^ {n}, {\ mathbb {R}} ^ {m})}$ ${\ Displaystyle f: {\ mathbb {R}} ^ {n} \ rightarrow {\ mathbb {R}} ^ {m}}$${\ displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {n}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m.}} _ {p}}$ ${\ Displaystyle C_ {p} ^ {\ infty} ({\ mathbb {R}} ^ {n}, {\ mathbb {R}} ^ {m})}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {m.}} _ {p} ^ {k + 1}}$

${\ Displaystyle J_ {p} ^ {k} ({\ mathbb {R}} ^ {n}, {\ mathbb {R}} ^ {m}) = C_ {p} ^ {\ infty} ({\ mathbb {R}} ^ {n}, {\ mathbb {R}} ^ {m.}) / {\ Mathfrak {m.}} _ {P} ^ {k + 1}}$

Jeśli jest funkcją gładką, możemy zdefiniować k -jet f przy p jako element przez ustawienie ${\ Displaystyle f: {\ mathbb {R}} ^ {n} \ rightarrow {\ mathbb {R}} ^ {m}}$${\ Displaystyle J_ {p} ^ {k} ({\ mathbb {R}} ^ {n}, {\ mathbb {R}} ^ {m})}$

${\ Displaystyle J_ {p} ^ {k} f = f {\ pmod {{\ mathfrak {m.}} _ {p} ^ {k + 1}}}}$

To jest bardziej ogólna konstrukcja. Dla -kosmiczna , niech będzie łodygi w wiązce struktury w i niech będzie ilość idealny z lokalnym pierścienia . K-ta przestrzeń dżetowa w jest definiowana jako pierścień ( jest produktem ideałów ). ${\ displaystyle \ mathbb {F}}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {p}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m.}} _ {p}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {p}}$${\ displaystyle p}$${\ Displaystyle J_ {p} ^ {k} (M) = {\ mathcal {F}} _ {p} / {\ mathfrak {m.}} _ {p} ^ {k + 1}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {m.}} _ {p} ^ {k + 1}}$

Twierdzenie Taylora

Niezależnie od definicji, twierdzenie Taylora ustanawia izomorfizm kanoniczny przestrzeni wektorowych między a . Tak więc w kontekście euklidesowym dżety są zazwyczaj identyfikowane z ich wielomianowymi przedstawicielami w ramach tego izomorfizmu. ${\ Displaystyle J_ {p} ^ {k} ({\ mathbb {R}} ^ {n}, {\ mathbb {R}} ^ {m})}$${\ Displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {m} [z_ {1}, \ dotsc, z_ {n}] / (z_ {1}, \ dotsc, z_ {n}) ^ {k + 1}}$

Odrzutowe spacje z punktu do punktu

W punkcie zdefiniowaliśmy przestrzeń dżetów . Podprzestrzeń tego złożona z dżetów funkcji f takich, że f ( p ) =  q jest oznaczona przez ${\ Displaystyle J_ {p} ^ {k} ({\ mathbb {R}} ^ {n}, {\ mathbb {R}} ^ {m})}$${\ displaystyle p \ in {\ mathbb {R}} ^ {n}}$

${\ Displaystyle J_ {p} ^ {k} ({\ mathbb {R}} ^ {n}, {\ mathbb {R}} ^ {m}) _ {q} = \ lewo \ {J ^ {k} f \ in J_ {p} ^ {k} ({\ mathbb {R}} ^ {n}, {\ mathbb {R}} ^ {m}) \ mid f (p) = q \ right \}}$

Strumienie funkcji między dwoma rozmaitościami

Jeśli M i N są dwiema gładkimi rozmaitościami , jak zdefiniujemy strumień funkcji ? Mogliśmy może próbować określić taką dyszę za pomocą lokalnych współrzędnych na M i N . Wadą tego jest to, że dżetów nie można w ten sposób definiować w niezmienny sposób. Dżety nie przekształcają się w tensory . Zamiast tego strumienie funkcji między dwoma kolektorami należą do wiązki strumieni . ${\ displaystyle f: M \ rightarrow N}$

Strumienie funkcji od rzeczywistej prostej do rozmaitości

Załóżmy, że M jest gładką rozmaitością zawierającą punkt p . Zdefiniujemy strumienie krzywych przechodzących przez p , przez które odtąd mamy na myśli funkcje gładkie takie, że f (0) =  p . Zdefiniuj relację równoważności w następujący sposób. Niech f i g będą parą krzywych przechodzących przez p . Będziemy wtedy powiedzieć, że f i g są równoważne z rzędu k u p jeśli istnieje jakiś sąsiedztwo U od p , takich, że dla każdej gładkiej funkcji , . Zauważ, że te dżety są dobrze zdefiniowane, ponieważ funkcje złożone i są po prostu odwzorowaniami z rzeczywistej linii na siebie. Ta relacja równoważności jest czasami nazywana kontaktem k -tego rzędu między krzywymi na p . ${\ displaystyle f: {\ mathbb {R}} \ rightarrow M}$${\ Displaystyle E_ {p} ^ {k}}$ ${\ Displaystyle \ varphi: U \ rightarrow {\ mathbb {R}}}$${\ Displaystyle J_ {0} ^ {k} (\ varphi \ circ f) = J_ {0} ^ {k} (\ varphi \ circ g)}$${\ displaystyle \ varphi \ circ f}$${\ displaystyle \ varphi \ circ g}$

Teraz definiujemy k -jet krzywej od f do p jako klasę równoważności f pod , oznaczoną lub . Przestrzeń dżetowa k -tego rzędu jest zatem zbiorem k- dżetów w p . ${\ Displaystyle E_ {p} ^ {k}}$${\ Displaystyle J ^ {k} \! f \,}$${\ displaystyle J_ {0} ^ {k} f}$ ${\ Displaystyle J_ {0} ^ {k} ({\ mathbb {R}}, M) _ {p}}$

Ponieważ p różni się od M , tworzy wiązkę włókien nad M : wiązka styczna k -tego rzędu , często oznaczana w literaturze przez T ^k M (chociaż notacja ta czasami może prowadzić do nieporozumień). W przypadku, gdy k = 1, to wiązka styczna pierwszego rzędu jest zwykłą wiązką styczną: T ¹ M  =  TM . ${\ Displaystyle J_ {0} ^ {k} ({\ mathbb {R}}, M) _ {p}}$

Aby udowodnić, że T ^k M jest w rzeczywistości wiązką włókien, pouczające jest zbadanie właściwości we współrzędnych lokalnych. Niech ( x ⁱ ) = ( x ¹ , ..., x ⁿ ) będzie lokalnym układem współrzędnych dla M w sąsiedztwie U z p . Lekko nadużywając notacji , możemy uznać ( x ⁱ ) za lokalny dyfeomorfizm . ${\ Displaystyle J_ {0} ^ {k} ({\ mathbb {R}}, M) _ {p}}$ ${\ Displaystyle (x ^ {i}): M \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}}$

Roszczenie. Dwie krzywe C i g przez P odpowiadają modulo , wtedy i tylko wtedy, gdy . ${\ Displaystyle E_ {p} ^ {k}}$${\ Displaystyle J_ {0} ^ {k} \ lewo ((x ^ {i}) \ Circ f \ prawej) = J_ {0} ^ {k} \ lewo ((x ^ {i}) \ Circ g \ dobrze)}$

Rzeczywiście, tylko wtedy, gdy część jest jasna, ponieważ każda z n funkcji x ¹ , ..., x ⁿ jest funkcją gładką od M do . Zatem z definicji relacji równoważności muszą mieć dwie równoważne krzywe .${\ displaystyle {\ mathbb {R}}}$${\ Displaystyle E_ {p} ^ {k}}$${\ Displaystyle J_ {0} ^ {k} (x ^ {i} \ circ f) = J_ {0} ^ {k} (x ^ {i} \ circ g)}$

I odwrotnie, przypuśćmy, że ; jest gładką funkcją o wartościach rzeczywistych na M w sąsiedztwie p . Ponieważ każda gładka funkcja ma lokalne wyrażenie współrzędnych, możemy wyrazić ; jako funkcja we współrzędnych. W szczególności, jeśli q jest punktem M w pobliżu p , to${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi}$

${\ Displaystyle \ varphi (q) = \ psi (x ^ {1} (q), \ kropki, x ^ {n} (q))}$

dla jakiejś gładkiej funkcji ψ o wartościach rzeczywistych n zmiennych rzeczywistych. W związku z tym, dla dwóch krzywych f i g przez p mamy

${\ Displaystyle \ varphi \ circ f = \ psi (x ^ {1} \ circ f, \ dots, x ^ {n} \ circ f)}$

${\ Displaystyle \ varphi \ circ g = \ psi (x ^ {1} \ circ g, \ dots, x ^ {n} \ circ g)}$

Reguła łańcucha ustanawia teraz część if roszczenia. Na przykład, jeśli f i g są funkcjami zmiennej rzeczywistej t , to

${\ Displaystyle \ lewo. {\ Frac {d} {dt}} \ lewo (\ varphi \ Circ f \ prawo) (t) \ prawo | _ {t = 0} = \ suma _ {i = 1} ^ { n} \ left. {\ frac {d} {dt}} (x ^ {i} \ circ f) (t) \ right | _ {t = 0} \ (D_ {i} \ psi) \ circ f ( 0)}$

która jest równa w tym samym wyrażeniem, gdy oceniano przeciw g zamiast F , przypominając, że f (0) = g (0) = p i f oraz g są k kontakt-tego rzędu w układzie współrzędnych ( x ^ı ).

Stąd pozorne włókno wiązki T ^k M przyznaje lokalnego banalizacji w każdej dzielnicy współrzędnych. W tym miejscu, aby udowodnić, że ta pozorna wiązka włókien jest w rzeczywistości wiązką włókien, wystarczy ustalić, że ma ona niejednakowe funkcje przejścia przy zmianie współrzędnych. Niech będzie innym układem współrzędnych i niech będzie związana ze zmianą współrzędnych dyfeomorfizm przestrzeni euklidesowej. Za pomocą afinicznej transformacji z , możemy założyć, bez straty ogólności , że ρ (0) = 0. Przy takim założeniu wystarczy udowodnić, że jest to przemiana odwracalna pod wpływem składu strumieniowego. (Zobacz także grupy dżetów ). Ale ponieważ ρ jest dyfeomorfizmem, mapowanie jest również gładkie. W związku z tym, ${\ Displaystyle (y ^ {i}): M \ rightarrow {\ mathbb {R}} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ rho = (x ^ {i}) \ circ (y ^ {i}) ^ {- 1}: {\ mathbb {R}} ^ {n} \ rightarrow {\ mathbb {R}} ^ { n}}$${\ displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {n}}$${\ Displaystyle J_ {0} ^ {k} \ rho: J_ {0} ^ {k} ({\ mathbb {R}} ^ {n}, {\ mathbb {R}} ^ {n}) \ rightarrow J_ {0} ^ {k} ({\ mathbb {R}} ^ {n}, {\ mathbb {R}} ^ {n})}$${\ displaystyle \ rho ^ {- 1}}$

${\ Displaystyle I = J_ {0} ^ {k} I = J_ {0} ^ {k} (\ rho \ circ \ rho ^ {- 1}) = J_ {0} ^ {k} (\ rho) \ Circ J_ {0} ^ {k} (\ rho ^ {- 1})}$

co dowodzi, że nie jest to liczba pojedyncza. Co więcej, jest gładka, chociaż tutaj tego nie udowadniamy. ${\ displaystyle J_ {0} ^ {k} \ rho}$

Intuicyjnie, co oznacza, że można wyrazić strumienia łuku przez p pod względem jej szeregu Taylora w lokalnych współrzędnych na M .

Przykłady we współrzędnych lokalnych:

• Jak wskazano wcześniej, 1-strumień krzywej przechodzącej przez p jest wektorem stycznym. Wektor styczny w p jest operatorem różniczkowym pierwszego rzędu działającym na gładkie funkcje o wartościach rzeczywistych w p . We współrzędnych lokalnych każdy wektor styczny ma postać

${\ Displaystyle v = \ suma _ {i} v ^ {i} {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe x ^ {i}}}}$

Mając taki wektor styczny v , niech f będzie krzywą podaną w układzie współrzędnych x ⁱ przez . Jeśli φ jest funkcją gładką w sąsiedztwie p przy φ ( p ) = 0, to${\ Displaystyle x ^ {i} \ circ f (t) = tv ^ {i}}$

${\ Displaystyle \ varphi \ circ f: {\ mathbb {R}} \ rightarrow {\ mathbb {R}}}$

jest gładką funkcją o wartościach rzeczywistych jednej zmiennej, której jeden strumień jest dany przez

${\ Displaystyle J_ {0} ^ {1} (\ varphi \ circ f) (t) = \ suma _ {i} tv ^ {i} {\ Frac {\ częściowe \ phi} {\ częściowe x ^ {i} }} (p).}$

co dowodzi, że można naturalnie zidentyfikować wektory styczne w punkcie z 1-dżetami krzywych przechodzących przez ten punkt.

• Przestrzeń 2-strumieni krzywych przechodzących przez punkt.

W lokalnym układzie współrzędnych x ⁱ wyśrodkowanym w punkcie p , możemy wyrazić wielomian drugiego rzędu krzywej od f ( t ) do p przez

${\ Displaystyle J_ {0} ^ {2} (x ^ {i} (f)) (t) = t {\ Frac {dx ^ {i} (f)} {dt}} (0) + {\ Frac {t ^ {2}} {2}} {\ frac {d ^ {2} x ^ {i} (f)} {dt ^ {2}}} (0).}$

Zatem w układzie współrzędnych x strumień 2 krzywej przechodzącej przez p jest identyfikowany za pomocą listy liczb rzeczywistych . Podobnie jak w przypadku wektorów stycznych (1-dżety krzywych) w punkcie, 2-dżety krzywych podlegają prawu transformacji po zastosowaniu funkcji przejścia współrzędnych.${\ Displaystyle ({\ kropka {x}} ^ {i}, {\ ddot {x}} ^ {i})}$

Niech ( y ⁱ ) będzie innym układem współrzędnych. Zgodnie z zasadą łańcucha

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {d} {dt}} y ^ {i} (f (t)) & = \ suma _ {j} {\ Frac {\ częściowe y ^ {i}} {\ częściowe x ^ {j}}} (f (t)) {\ frac {d)} {dt}} x ^ {j} (f (t)) \\ [5pt] {\ frac {d ^ { 2}} {dt ^ {2}}} y ^ {i} (f (t)) & = \ sum _ {j, k} {\ frac {\ części ^ {2} y ^ {i}} {\ częściowe x ^ {j} \, \ częściowe x ^ {k}}} (f (t)) {\ frac {d} {dt}} x ^ {j} (f (t)) {\ frac {d} {dt}} x ^ {k} (f (t)) + \ sum _ {j} {\ frac {\ częściowe y ^ {i}} {\ częściowe x ^ {j}}} (f (t)) {\ frac {d ^ {2}} {dt ^ {2}}} x ^ {j} (f (t)) \ end {aligned}}}$

W związku z tym prawo transformacji uzyskuje się, oceniając te dwa wyrażenia przy t  = 0.

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i {\ kropka {y}} ^ {i} = \ suma _ {j} {\ Frac {\ częściowe y ^ {i}} {\ częściowe x ^ {j}}} (0) {\ dot {x}} ^ {j} \\ [5pt] & {\ ddot {y}} ^ {i} = \ sum _ {j, k} {\ frac {\ części ^ {2} y ^ {i}} {\ częściowe x ^ {j} \, \ częściowe x ^ {k}}} (0) {\ dot {x}} ^ {j} {\ dot {x}} ^ {k} + \ sum _ {j} {\ frac {\ częściowe y ^ {i}} {\ częściowe x ^ {j}}} (0) {\ ddot {x}} ^ {j}. \ end {aligned}} }$

Zauważ, że prawo transformacji dla 2-dżetów jest drugiego rzędu w funkcjach przejścia współrzędnych.

Strumienie funkcji z rozmaitości do rozmaitości

Jesteśmy teraz przygotowani do zdefiniowania strumienia funkcji z kolektora do kolektora.

Załóżmy, że M i N to dwie gładkie rozmaitości. Niech p będzie punktem M . Rozważmy przestrzeń składającą się z gładkich map określonych w pewnym sąsiedztwie p . Definiujemy relacją równoważności w sposób następujący. Mówi się, że dwie mapy f i g są równoważne, jeśli dla każdej krzywej od γ do p (przypomnijmy sobie, że zgodnie z naszymi konwencjami jest to takie odwzorowanie ), mamy w pewnym sąsiedztwie 0 . ${\ Displaystyle C_ {p} ^ {\ infty} (M, N)}$${\ displaystyle f: M \ rightarrow N}$${\ Displaystyle E_ {p} ^ {k}}$${\ Displaystyle C_ {p} ^ {\ infty} (M, N)}$${\ Displaystyle \ gamma: {\ mathbb {R}} \ rightarrow M}$${\ Displaystyle \ gamma (0) = p}$${\ Displaystyle J_ {0} ^ {k} (f \ circ \ gamma) = J_ {0} ^ {k} (g \ circ \ gamma)}$

Przestrzeń dżetu jest wtedy definiowana jako zbiór klas równoważności modulo relacji równoważności . Zauważ, że ponieważ przestrzeń docelowa N nie musi mieć żadnej struktury algebraicznej, również nie musi mieć takiej struktury. Faktycznie jest to ostry kontrast z przypadkiem przestrzeni euklidesowych. ${\ Displaystyle J_ {p} ^ {k} (M, N)}$${\ Displaystyle C_ {p} ^ {\ infty} (M, N)}$${\ Displaystyle E_ {p} ^ {k}}$${\ Displaystyle J_ {p} ^ {k} (M, N)}$

Jeśli jest funkcją gładką zdefiniowaną w pobliżu p , to definiujemy k -jet funkcji f przy p , jako klasę równoważności funkcji f modulo . ${\ displaystyle f: M \ rightarrow N}$${\ displaystyle J_ {p} ^ {k} f}$${\ Displaystyle E_ {p} ^ {k}}$

Multijets

John Mather wprowadził pojęcie multijet . Mówiąc najprościej, multijet to skończona lista strumieni w różnych punktach bazowych. Mather udowodnił twierdzenie o transwersalności wielu dżetów , którego użył w swoich badaniach stabilnych odwzorowań .

Strumienie sekcji

Załóżmy, że E jest skończeniowymiarowymi, gładkimi wiązkami wektorów na rozmaitości M z rzutem . Następnie przekroje E są gładkimi funkcjami tak, że jest tożsamość automorfizmem z M . Strumień sekcji s nad okolicą punktu p jest po prostu strumieniem tej gładkiej funkcji od M do E w punkcie p . ${\ displaystyle \ pi: E \ rightarrow M}$${\ Displaystyle s: M \ rightarrow E}$${\ displaystyle \ pi \ circ s}$

Przestrzeń dżetów sekcji w p jest oznaczona przez . Chociaż ten zapis może prowadzić do pomylenia z bardziej ogólnymi przestrzeniami dżetowymi funkcji między dwoma rozmaitościami, kontekst zazwyczaj eliminuje taką niejednoznaczność. ${\ Displaystyle J_ {p} ^ {k} (M, E)}$

W przeciwieństwie do dżetów funkcji z rozmaitości do innej rozmaitości, przestrzeń dżetów sekcji w punkcie p przenosi strukturę przestrzeni wektorowej odziedziczoną ze struktury przestrzeni wektorowej na samych przekrojach. A p waha się w M przestrzenie jet tworzą wiązkę Wektor nad M , w k -tego rzędu strumienia wiązki o E , oznaczoną J ^k ( e ). ${\ Displaystyle J_ {p} ^ {k} (M, E)}$

• Przykład: Wiązka odrzutowa pierwszego rzędu wiązki stycznej.

Pracujemy we współrzędnych lokalnych w punkcie i używamy notacji Einsteina . Rozważmy pole wektorowe

${\ Displaystyle v = v ^ {i} (x) \ częściowe / \ częściowe x ^ {i}}$

w sąsiedztwie P w M . Strumień 1 v uzyskuje się, biorąc wielomian Taylora pierwszego rzędu współczynników pola wektorowego:

${\ Displaystyle J_ {0} ^ {1} v ^ {i} (x) = v ^ {i} (0) + x ^ {j} {\ Frac {\ częściowe v ^ {i}} {\ częściowe x ^ {j}}} (0) = v ^ {i} + v_ {j} ^ {i} x ^ {j}.}$

We współrzędnych x strumień 1 w punkcie można zidentyfikować za pomocą listy liczb rzeczywistych . W ten sam sposób, w jaki wektor styczny w punkcie można zidentyfikować za pomocą listy ( v ⁱ ), podlegającej pewnemu prawu transformacji przy przejściach współrzędnych, musimy wiedzieć, jak przejście wpływa na listę .${\ Displaystyle (v ^ {i}, v_ {j} ^ {i})}$${\ Displaystyle (v ^ {i}, v_ {j} ^ {i})}$

Rozważmy więc prawo transformacji przechodząc do innego układu współrzędnych y ⁱ . Niech w ^k będzie współczynnikami pola wektorowego v we współrzędnych y . Następnie we współrzędnych y , 1-dżet v jest nową listą liczb rzeczywistych . Od${\ Displaystyle (w ^ {i}, w_ {j} ^ {i})}$

${\ Displaystyle v = w ^ {k} (r) \ częściowe / \ częściowe y ^ {k} = v ^ {i} (x) \ częściowe / \ częściowe x ^ {i},}$

wynika, że

${\ Displaystyle w ^ {k} (r) = v ^ {i} (x) {\ Frac {\ częściowe y ^ {k}} {\ częściowe x ^ {i}}} (x).}$

Więc

${\ Displaystyle w ^ {k} (0) + y ^ {j} {\ Frac {\ częściowe w ^ {k}} {\ częściowe y ^ {j}}} (0) = \ lewo (v ^ {i } (0) + x ^ {j} {\ frac {\ częściowy v ^ {i}} {\ częściowy x ^ {j}}} \ right) {\ frac {\ częściowy y ^ {k}} {\ częściowy x ^ {i}}} (x)}$

Rozszerzając o serię Taylora, mamy

${\ Displaystyle w ^ {k} = {\ Frac {\ częściowe y ^ {k}} {\ częściowe x ^ {i}}} (0) v ^ {i}}$

${\ Displaystyle w_ {j} ^ {k} = v ^ {i} {\ Frac {\ częściowe ^ {2} y ^ {k}} {\ częściowe x ^ {i} \, \ częściowe x ^ {j} }} + v_ {j} ^ {i} {\ frac {\ częściowe y ^ {k}} {\ częściowe x ^ {i}}}.}$

Zauważ, że prawo transformacji jest drugiego rzędu w funkcjach przejścia współrzędnych.

Operatory różniczkowe między wiązkami wektorów

Zobacz też

• Grupa Jet
• Pakiet Jet
• System Lagrange'a

Bibliografia

• Krasil'shchik, IS, Vinogradov, AM, [i wsp.], Symetrie i prawa zachowania dla równań różniczkowych fizyki matematycznej , American Mathematical Society , Providence, RI, 1999, ISBN  0-8218-0958-X .
• Kolář, I., Michor, P., Slovák, J., Naturalne operacje w geometrii różniczkowej. Springer-Verlag: Berlin Heidelberg, 1993. ISBN  3-540-56235-4 , ISBN  0-387-56235-4 .
• Saunders, DJ, The Geometry of Jet Bundles , Cambridge University Press, 1989, ISBN  0-521-36948-7
• Olver, PJ , Equivalence, Invariants and Symmetry , Cambridge University Press, 1995, ISBN  0-521-47811-1
• Sardanashvily, G. , Zaawansowana geometria różniczkowa dla teoretyków: wiązki włókien, rozmaitości strumieniowe i teoria Lagrangianu , Lambert Academic Publishing, 2013, ISBN  978-3-659-37815-7 ; arXiv : 0908.1886