Lokalna funkcja zeta - Local zeta function

W teorii numer The lokalny funkcja zeta Z ( V ,  y ) (czasem zwana funkcja przystające zeta ) określa się jako

${\ Displaystyle Z (V, s) = \ exp \ lewo (\ suma _ {m = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {N_ {m}} {m}} (q ^ {-s}) ^ {m}\prawda)}$

gdzie V jest nie pojedyncza n wymiarową rzutowa algebraiczna odmiany nad polem F _Q o Q elementów i N _m jest liczbą punktów V zdefiniowane przez skończoną rozszerzenia pola F _{q ^m} o F _q . Dokonanie transformacji zmiennej u  =  q ^{− s} , daje

${\ Displaystyle {\ mathit {Z}} (V, U) = \ exp \ lewo (\ suma _ {m = 1} ^ {\ infty} N_ {m} {\ Frac {u ^ {m}} {m }}\Prawidłowy)}$

jako formalny szereg potęgowy w zmiennej . ${\ Displaystyle u}$

Równoważnie lokalna funkcja zeta jest czasami definiowana w następujący sposób:

${\ Displaystyle (1) \ \ {\ mathit {Z}} (V, 0 = 1 \,}$

${\ Displaystyle (2) \ \ {\ Frac {d} {du}} \ log {\ mathit {Z}} (V, U) = \ suma _ {m = 1} ^ {\ infty} N_ {m} u^{m-1}\ .}$

Innymi słowy, lokalną funkcję zeta Z ( V ,  u ) o współczynnikach w polu skończonym F _q definiuje się jako funkcję, której pochodna logarytmiczna generuje liczbę N _m rozwiązań równania określającego V w stopniu m rozszerzenie F _{q ^m} .

Sformułowanie

Przy danym skończonym ciele F , aż do izomorfizmu , tylko jedno ciało F _k z

${\ Displaystyle [F_ {k}: F] = k \,}$,

dla k = 1, 2, ... . Mając zestaw równań wielomianowych — lub rozmaitość algebraiczną V — zdefiniowaną przez F , możemy policzyć liczbę

${\ Displaystyle N_ {k} \}$

rozwiązań w F _k i stwórz funkcję tworzącą

${\ Displaystyle G (t) = N_ {1} t + N_ {2} t ^ {2}/2 + N_ {3} t ^ {3}/3 + \ cdots \,}$.

Poprawną definicją dla Z ( t ) jest ustawienie log Z równego G , więc

${\displaystyle Z=\exp(G(t))\,}$

i Z (0) = 1, jako G (0) = 0, a Z ( t ) jest a priori formalne szereg potęgowy .

Pochodną logarytmiczną

${\ Displaystyle Z'(t)/Z(t)\,}$

równa się funkcji generującej

${\ Displaystyle G '(t) = N_ {1} + N_ {2} t ^ {1} + N_ {3} t ^ {2} + \ cdots \,}$.

Przykłady

Na przykład załóżmy, że wszystkie N _k oznaczają 1; dzieje się tak na przykład, jeśli zaczynamy od równania takiego jak X = 0, więc geometrycznie bierzemy V za punkt. Następnie

${\ Displaystyle G (t) = - \ log (1-t)}$

jest rozwinięciem logarytmu (dla | t | < 1). W tym przypadku mamy

${\ Displaystyle Z (t) = {\ Frac {1} {(1-t)}} \.}$

Aby wziąć coś bardziej interesującego, niech V będzie linią rzutową nad F . Jeśli F ma q elementów, to ma q + 1 punkty, w tym jeden punkt w nieskończoności . Dlatego mamy

${\ Displaystyle N_ {k} = q ^ {k} + 1}$

oraz

${\ Displaystyle G (t) = - \ log (1-t) - \ log (1-qt)}$

dla | t | wystarczająco małe, a zatem

${\ Displaystyle Z (t) = {\ Frac {1} {(1-t) (1-qt)}} \.}$

Pierwszym badaniem tych funkcji była praca dyplomowa Emila Artina z 1923 roku . Uzyskał wyniki dla przypadku krzywej hipereliptycznej i domyślił się dalszych głównych punktów teorii w zastosowaniu do krzywych. Teoria ta została następnie rozwinięta przez FK Schmidta i Helmuta Hasse . Najwcześniejsze znane nietrywialne przypadki lokalnych funkcji zeta były ukryte w Carl Friedrich Gauss „s Disquisitiones Arithmeticae , artykuł 358. Istnieją pewne szczególne przykłady krzywych eliptycznych ponad skończonych dziedzinach mających złożoną mnożenie mają swoje punkty liczone za pomocą cyclotomy .

Aby zapoznać się z definicją i kilkoma przykładami, zobacz również.

Motywacje

Związek między definicjami G i Z można wyjaśnić na wiele sposobów. (Patrz, na przykład, produkt do nieskończoności wzorze Z poniżej). W praktyce pozwala ż do funkcji wymiernej z t , coś, co jest bardzo interesujące także w przypadku V krzywej eliptycznej na skończonego.

To funkcje Z są przeznaczone do mnożenia, aby uzyskać globalne funkcje zeta . Obejmują one różne ciała skończone (na przykład cała rodzina ciał Z / p Z, gdy p przebiega przez wszystkie liczby pierwsze ). W związku z tym zmienna t podlega podstawieniu przez p ^−s , gdzie s jest zmienną zespoloną tradycyjnie stosowaną w szeregach Dirichleta . (Szczegóły patrz funkcja zeta Hasse-Weila .)

Przy takim zrozumieniu iloczyny Z w dwóch przypadkach użytych jako przykłady wychodzą jako i . ${\ Displaystyle \ zeta (s)}$${\ Displaystyle \ zeta (s) \ zeta (s-1)}$

Hipoteza Riemanna dla krzywych nad ciałami skończonymi

Dla krzywych rzutowych C nad F, które są nieosobliwe , można wykazać, że

${\ Displaystyle Z (t) = {\ Frac {P (t)} {(1-t) (1-qt)}} \ ,}$

z P ( t ) jest wielomianem stopnia, 2 g , gdzie g jest rodzaju z C . Przepisanie

${\ Displaystyle P (t) = \ prod _ {i = 1} ^ {2 g} (1-\ omega _ {i} t) \}$

Hipoteza Riemanna dla krzywych nad polami skończonych stanów

${\ Displaystyle | \ omega _ {i} | = q ^ {1/2} \.}$

Na przykład w przypadku krzywej eliptycznej są dwa pierwiastki i łatwo jest pokazać, że bezwzględne wartości pierwiastków to q ^1/2 . Twierdzenie Hassego mówi, że mają tę samą wartość bezwzględną; a to ma bezpośrednie konsekwencje dla liczby punktów.

André Weil udowodnił to w ogólnym przypadku, około 1940 r. ( Notatka Comptes Rendus , kwiecień 1940 r.): w następnych latach spędził wiele czasu, pisząc związaną z tym geometrię algebraiczną . To doprowadziło go do ogólnych przypuszczeń Weila . Alexander Grothendieck opracował teorię schematów w celu ich rozwiązania. Pokolenie później Pierre Deligne zakończył dowód. (Patrz kohomologia étale dla podstawowych formuł ogólnej teorii).

Ogólne wzory na funkcję zeta

Jest to konsekwencja wzoru śladu Lefschetza dla morfizmu Frobeniusa, który

${\ Displaystyle Z (X, t) = \ prod _ {i = 0} ^ {2 \ dim X} \ det {\ duży (} 1 t {\ mbox {Frob}} _ {q} | H_ {c }^{i}({\overline {X}},{\mathbb {Q} }_{\ell }){\big )}^{(-1)^{i+1}}.}$

Oto wyodrębniony schemat typu skończonego nad ciałem skończonym F z elementami, a Frob _q jest geometrycznym Frobeniusem działającym na kohomologii -adycznej étale ze zwartymi podporami , podniesieniem do algebraicznego domknięcia ciała F . To pokazuje, że funkcja zeta jest funkcją wymierną . ${\ Displaystyle X}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle {\overline {X}}}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle t}$

Nieskończona formuła produktu dla is ${\displaystyle Z(X,t)}$

${\ Displaystyle Z (X, t) = \ prod \ (1-t ^ {\ stopni (x)}) ^ {-1}.}$

Tutaj iloczyn obejmuje wszystkie zamknięte punkty x od X, a deg( x ) jest stopniem x . Lokalna funkcja zeta Z(X, t) jest postrzegana jako funkcja zmiennej zespolonej s poprzez zmianę zmiennych q ^−s .

W przypadku, gdy X jest omawianą powyżej odmianą V , zamknięte punkty są klasami równoważności x=[P] punktów P on , gdzie dwa punkty są równoważne, jeśli są sprzężone nad F . Stopień x jest stopniem rozszerzenia pola F generowanego przez współrzędne P . Łatwo zauważyć, że pochodna logarytmiczna iloczynu nieskończonego Z(X, t) jest funkcją generującą omówioną powyżej, mianowicie ${\displaystyle {\overline {V}}}$

${\displaystyle N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots \,}$.

Zobacz też

• Lista funkcji zeta
• Przypuszczenia Weila
• Krzywa eliptyczna

Bibliografia