Macierz grama - Gram matrix

W liniowym Algebra The matrycy gram (lub Macierz Grama , Gramian ) zbioru wektorów w sposób wewnętrznej powierzchni produktu jest hermitowskie matrycy z produktów wewnętrznych , których prace są podane . Jeśli wektory są kolumnami macierzy, to macierz Grama w ogólnym przypadku oznacza, że ​​współrzędne wektora są liczbami zespolonymi, co upraszcza się w przypadku, gdy współrzędne wektora są liczbami rzeczywistymi. ${\displaystyle v_{1},\kropki,v_{n}}$${\ Displaystyle G_ {ij} = \ lewo \ langle v_ {i}, v_ {j} \ prawo \ rangle}$${\displaystyle v_{1},\kropki,v_{n}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X ^ {\ sztylet} X}$${\ Displaystyle X ^ {\ Top} X}$

Ważnym zastosowaniem jest obliczenie liniowej niezależności : zbiór wektorów jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik Grama ( wyznacznik macierzy Grama) jest niezerowy.

Jego nazwa pochodzi od Jørgena Pedersena Grama .

Przykłady

Dla skończonych wymiarów rzeczywistych wektorów ze zwykłym euklidesowym iloczynem skalarnym , macierz grama to po prostu , gdzie jest macierzą, której kolumny są wektorami . Dla złożonych wektorów w , gdzie jest sprzężoną transpozycję z . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle G = V ^ {\ Top} V}$${\ Displaystyle V}$${\displaystyle v_{k}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ Displaystyle G = V ^ {\ sztylet} V}$${\ Displaystyle V ^ {\ sztylet}}$${\ Displaystyle V}$

Biorąc pod uwagę funkcje całkowalne z kwadratem na przedziale , macierz Grama to: ${\ Displaystyle \ {\ ell _ {i} (\ cdot), \, i = 1, \ kropki, n \}}$${\ Displaystyle \ lewo [t_ {0}, t_ {f} \ prawo]}$${\ Displaystyle G = \ lewo [G_ {ij} \ prawo]}$

${\ Displaystyle G_ {ij} = \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {f}} \ ell _ {i} ^ {*} (\ tau) \ ell _ {j} (\ tau) \, d\tau .}$

w którym jest sprzężone z . ${\ Displaystyle \ ell _ {i} ^ {*} (\ tau)}$${\ Displaystyle \ell _ {i} (\ tau)}$

Dla dowolnej formy dwuliniowej na skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej nad dowolnym polem możemy zdefiniować macierz Grama dołączoną do zbioru wektorów przez . Macierz będzie symetryczna, jeśli forma dwuliniowa jest symetryczna. ${\ Displaystyle B}$ ${\ Displaystyle G}$${\displaystyle v_{1},\kropki,v_{n}}$${\ Displaystyle G_ {ij} = B \ lewo (v_ {i}, v_ {j} \ po prawej)}$${\ Displaystyle B}$

Aplikacje

• W geometrii Riemanna , ponieważ osadzony wymiarową Riemanna kolektor i parametryzacji dla , w postaci objętości na indukowane przez osadzanie może być obliczany za pomocą Gramian współrzędnej wektorów stycznych:${\displaystyle k}$${\ Displaystyle M \ podzbiór \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ phi : U \ do M}$${\ Displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {k}) \ w U \ podzbiór \ mathbb {R} ^ {k}}$${\ Displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle M}$
  $${\ Displaystyle \ omega = {\ sqrt {\ DET G}} \ dx_ {1} \ cdots dx_ {k} \ quad G = \ lewo [\ lewo \ langle {\ Frac {\ częściowy \ phi} {\ częściowy x_{i}}},{\frac {\częściowy \phi }{\częściowy x_{j}}}\prawo\rangle \prawo].}$$

  
  Uogólnia to klasyczną całkę powierzchniową sparametryzowanej powierzchni dla :${\ Displaystyle \ phi : U \ do S \ podzbiór \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle (x, y) \ w U \ podzbiór \ mathbb {R} ^ {2}}$
  $${\ Displaystyle \ int _ {S} f \ dA = \ iint _ {U} f (\ phi (x, y)) \ \ lewo | {\ Frac {\ częściowy \ phi} {\ częściowy x}} \ ,{\times }\,{\frac {\częściowy \phi }{\częściowy y}}\right|\,dx\,dy.}$$

  
• Jeśli wektory są wyśrodkowanymi zmiennymi losowymi , Gramian jest w przybliżeniu proporcjonalny do macierzy kowariancji , ze skalowaniem określonym przez liczbę elementów w wektorze.
• W chemii kwantowej macierz Grama zbioru wektorów bazowych jest macierzą nakładania się .
• W teorii sterowania (lub ogólniej teorii systemów ), sterowalność Gramian i obserwowalność Gramian określają własności układu liniowego.
• Macierze Gramiana powstają podczas dopasowywania modelu struktury kowariancji (zob. np. Jamshidian i Bentler, 1993, Applied Psychological Measurement, tom 18, s. 79–94).
• W metodzie elementów skończonych macierz Grama powstaje z aproksymacji funkcji z przestrzeni o skończonych wymiarach; wpisy macierzy grama są więc iloczynami wewnętrznymi funkcji bazowych skończenie wymiarowej podprzestrzeni.
• W uczenia maszynowego , funkcje jądra są często przedstawiane jako matryce gram.
• Ponieważ macierz Grama nad liczbami rzeczywistymi jest macierzą symetryczną , jest ona diagonalizowalna, a jej wartości własne są nieujemne. Diagonalizacja macierzy Grama to dekompozycja na wartości osobliwe .

Nieruchomości

Pozytyw-półokreśloność

Macierz grama jest symetryczna w przypadku, gdy rzeczywisty produkt ma wartość rzeczywistą; jest to hermitowski w ogólnym, złożonym przypadku z definicji iloczynu skalarnego .

Macierz Grama jest dodatnia półokreślona , a każda dodatnia półokreślona macierz jest macierzą Gramiana dla pewnego zestawu wektorów. Fakt, że macierz Gramiana jest dodatnio-półokreślona, ​​można zobaczyć z następującego prostego wyprowadzenia:

${\ Displaystyle x ^ {\ sztylet} \ mathbf {G} x = \ suma _ {i, j} x_ {i} ^ {*} x_ {j} \ lewo \ langle v_ {i}, v_ {j} \ right\rangle =\sum _{i,j}\left\langle x_{i}v_{i},x_{j}v_{j}\right\rangle =\left\langle \sum _{i}x_{ i}v_{i},\sum _{j}x_{j}v_{j}\right\rangle =\left\|\sum _{i}x_{i}v_{i}\right\|^{ 2}\geq 0.}$

Pierwszy równość z definicji mnożenia macierzy, drugi i trzeci z bi-liniowości wewnętrznej produktem , a ostatni z dodatniego definiteness produktu wewnętrznej. Zauważ, że pokazuje to również, że macierz Gramiana jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy wektory są liniowo niezależne (to znaczy dla wszystkich ). ${\displaystyle v_{i}}$${\textstyle \sum _{i}x_{i}v_{i}\neq 0}$${\displaystyle x}$

Znajdowanie realizacji wektorowej

Mając dowolną dodatnią macierz półokreśloną , można ją rozłożyć jako: ${\ Displaystyle M}$

${\ Displaystyle M = B ^ {\ sztylet} B}$,

gdzie jest sprzężoną transpozycję z (a w rzeczywistym przypadku). ${\ Displaystyle B ^ {\ sztylet}}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle M = B ^ {\ textsf {T}} B}$

Tutaj jest matryca, gdzie jest ranga od . Różne sposoby uzyskania takiego rozkładu obejmują obliczenie rozkładu Choleskiego lub wzięcie nieujemnego pierwiastka kwadratowego z . ${\ Displaystyle B}$${\displaystyle k\razy n}$${\displaystyle k}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M}$

Kolumny z widać jak n wektorów w (a k wymiarową przestrzeń euklidesowa w rzeczywistym przypadku). Następnie ${\ Displaystyle b ^ {(1)}, \ kropki, b ^ {(n)}}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {k}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}}$

${\ Displaystyle M_ {ij} = b ^ {(i)} \ cdot b ^ {(j)}}$

gdzie iloczyn skalarny jest zwykłym iloczynem wewnętrznym na . ${\textstyle a\cdot b=\sum _{\ell =1}^{k}a_{\ell }^{*}b_{\ell }}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {k}}$

Zatem macierz hermitowska jest dodatnia półokreślona wtedy i tylko wtedy, gdy jest macierzą Grama niektórych wektorów . Takie wektory są nazywane realizacji wektor o . Nieskończenie wymiarowym odpowiednikiem tego stwierdzenia jest twierdzenie Mercera . ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle b ^ {(1)}, \ kropki, b ^ {(n)}}$${\ Displaystyle M}$

Wyjątkowość realizacji wektorowych

Jeśli jest macierzą Grama wektorów w , to zastosowanie dowolnej rotacji lub odbicia (dowolnej transformacji ortogonalnej , to znaczy dowolnej izometrii euklidesowej zachowującej 0) do sekwencji wektorów daje w wyniku tę samą macierz Grama. Oznacza to, że dla każdej macierzy ortogonalnej , macierz Grama jest również .${\ Displaystyle M}$${\displaystyle v_{1},\kropki,v_{n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}}$${\displaystyle k\razy k}$ ${\displaystyle Q}$${\displaystyle Qv_{1},\kropki,Qv_{n}}$${\ Displaystyle M}$

Jest to jedyny sposób, w jaki dwie realizacje wektorów rzeczywistych mogą się różnić: wektory są unikalne aż do przekształceń ortogonalnych . Innymi słowy, iloczyny skalarne i są równe wtedy i tylko wtedy, gdy jakaś sztywna transformacja transformuje wektory do i 0 do 0. ${\ Displaystyle M}$${\displaystyle v_{1},\kropki,v_{n}}$${\ Displaystyle v_ {i} \ cdot v_ {j}}$${\ Displaystyle w_ {i} \ cdot w_ {j}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}}$${\displaystyle v_{1},\kropki,v_{n}}$${\displaystyle w_{1},\kropki,w_{n}}$

To samo dotyczy przypadku złożonego, z przekształceniami unitarnymi w miejsce przekształceń ortogonalnych. Oznacza to, że jeśli macierz Grama wektorów jest równa macierzy Grama wektorów w , to istnieje macierz unitarna (znaczenie ) taka, że dla . ${\displaystyle v_{1},\kropki,v_{n}}$${\displaystyle w_{1},\kropki,w_{n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {k}}$ ${\displaystyle k\razy k}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle U ^ {\ sztylet} U = I}$${\ Displaystyle V_ {i} = Uw_ {i}}$${\displaystyle i=1,\kropki,n}$

Inne właściwości

• Rzeczywista macierz Grama jest również macierzą normalną , ponieważ${\ Displaystyle (X ^ {\ textsf {T}} X) ^ {\ textsf {T}} (X ^ {\ textsf {T}} X) = (X ^ {\ textsf {T}} X) (X) ^{\textsf {T}}X)^{\textsf {T}}}$
• Macierz Grama dowolnej bazy ortonormalnej jest macierzą jednostkową.
• Rząd macierzy Grama wektorów w lub równy wymiarowi przestrzeni rozpiętej przez te wektory.${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {k}}$

Wyznacznik grama

Determinantą gram lub Gramian jest wyznacznikiem macierzy Grama:

${\ Displaystyle G (x_ {1}, \ kropki, x_ {n}) = {\ zacząć {vmatrix} \ langle x_ {1}, x_ {1} \ rangle i \ langle x_ {1}, x_ {2} \rangle &\dots &\langle x_{1},x_{n}\rangle \\\langle x_{2},x_{1}\rangle &\langle x_{2},x_{2}\rangle &\ kropki &\langle x_{2},x_{n}\rangle \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\langle x_{n},x_{1}\rangle &\langle x_{n} ,x_{2}\rangle &\dots &\langle x_{n},x_{n}\rangle \end{vmatrix}}.}$

Jeśli są wektorami w , to jest to kwadrat n- wymiarowej objętości równoległoboku utworzonego przez wektory. W szczególności wektory są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy równoległobok ma niezerową n- wymiarową objętość, wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik grama jest niezerowy, wtedy i tylko wtedy, gdy macierz grama jest nieosobliwa . Kiedy m  =  n , sprowadza się to do standardowego twierdzenia, że ​​bezwzględną wartością wyznacznika n n- wymiarowych wektorów jest n- wymiarowa objętość. ${\displaystyle x_{1},\kropki,x_{n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$

Wyznacznik Grama można również wyrazić jako iloczyn zewnętrzny wektorów przez

${\ Displaystyle G (x_ {1}, \ kropki, x_ {n}) = \ | x_ {1} \ klin \ cdots \ klin x_ {n} \ | ^ {2}.}$

Zobacz też

• Kontrola Gramian
• Obserwowalność Gramian

Bibliografia

• Róg, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Analiza macierzy (wyd. 2). Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . Numer ISBN 978-0-521-54823-6.

Zewnętrzne linki

• „Macierz gramatyczna” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Tomy równoległoboków autorstwa Franka Jonesa