Wahadło podwójne - Double pendulum

Wahadło podwójne składa się z dwóch wahadeł połączonych końcami .

W fizyce i matematyce , w dziedzinie układów dynamicznych , podwójne wahadło to wahadło z innym doczepionym na końcu wahadełkiem, jest prostym układem fizycznym, który wykazuje bogate zachowanie dynamiczne z dużą wrażliwością na warunki początkowe . Ruch wahadła podwójnego jest regulowany przez zestaw sprzężonych równań różniczkowych zwyczajnych i jest chaotyczny .

Analizy i interpretacji

Można rozważyć kilka wariantów podwójnego wahadła; dwa ramiona mogą mieć równe lub nierówne długości i masy, mogą to być wahadła proste lub złożone (zwane również wahadłami złożonymi), a ruch może być w trzech wymiarach lub ograniczony do płaszczyzny pionowej. W poniższej analizie przyjęto, że kończyny są identycznymi wahadłami złożonymi o długości l i masie m , a ruch jest ograniczony do dwóch wymiarów.

Podwójne wahadło złożone

Ruch wahadła podwójnego złożonego (z całkowania numerycznego równań ruchu)

Trajektorie podwójnego wahadła

W wahadle złożonym masa rozkłada się na całej jego długości. Jeśli masa jest równomiernie rozprowadzany, a następnie środek ciężkości każdego ramienia znajduje się w środku jej długości, a ramię ma moment bezwładności od I = 1/12ml ² o tym punkcie.

Wygodnie jest używać kątów między każdą kończyną a pionem jako uogólnionych współrzędnych określających konfigurację systemu. Kąty te oznaczono θ ₁ i θ ₂ . Pozycja środka masy każdego pręta może być zapisana w tych dwóch współrzędnych. Jeżeli przyjmiemy, że początek kartezjańskiego układu współrzędnych znajduje się w punkcie zawieszenia pierwszego wahadła, to środek masy tego wahadła znajduje się w:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} x_ {1} i = {\ Frac {l} {2}} \ sin \ theta _ {1} \ \ Y_ {1} & = {\ Frac {l} {2 }}\cos \theta _{1}\end{wyrównany}}}$

a środek masy drugiego wahadła znajduje się w

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} x_ {2} & = l \ lewo (\ sin \ theta _ {1} + {\ tfrac {1} {2}} \ sin \ theta _ {2} \ po prawej) \ \y_{2}&=-l\left(\cos \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\cos \theta _{2}\right)\end{aligned}}}$

To wystarczająca informacja, aby napisać Lagrange'a.

Lagrange'a

Lagrange'a jest

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} L i = {\ tekst {energia kinetyczna}} - {\ tekst {energia potencjalna}} \ \ & = {\ tfrac {1} {2}} m \ lewo (V_ {1} ^{2}+v_{2}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}Ja\w lewo({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+ {{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\&={\tfrac {1}{2 }}m\lewo({{\dot {x}}_{1}}^{2}+{{\dot {y}}_{1}}^{2}+{{\dot {x}} _{2}}^{2}+{{\dot {y}}_{2}}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}Ja\w lewo({{\dot { \theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\ z prawej)\end{wyrównany}}}$

Pierwszy człon jest liniowy energia kinetyczna w środku masy ciał, a drugi człon jest obrotowej energii kinetycznej wokół środka ciężkości każdego pręta. Ostatni termin to energia potencjalna ciał w jednorodnym polu grawitacyjnym. Kropka notacja oznacza pochodną czasową zmiennej mowa.

Podstawienie powyższych współrzędnych i przekształcenie równania daje

${\ Displaystyle L = {\ tfrac {1} {6}} ml ^ {2} \ lewo ({\ kropka {\ theta}} _ {2}} ^ {2} + 4 {{\ kropka {\ theta }}_{1}}^{2}+3{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1} -\theta _{2})\right)+{\tfrac {1}{2}}mgl\left(3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}\right).}$

Jest tylko jedna zachowana ilość (energia) i nie ma zachowanego pędu. Dwa uogólnione pędy można zapisać jako

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} p_ {\ theta _ {1}} i = {\ Frac {\ częściowy L} {\ częściowy {{\ kropka {\ theta}} _ {1}}}} = {\ tfrac {1}{6}}ml^{2}\left(8{\dot {\theta }}_{1}}+3{{\dot {\theta }}_{2}}\cos( \theta _{1}-\theta _{2})\right)\\p_{\theta _{2}}&={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }} _{2}}}}={\tfrac {1}{6}}ml^{2}\left(2{{\dot {\theta }}_{2}}+3{{\dot {\theta }}_{1}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right).\end{aligned}}}$

Wyrażenia te można odwrócić, aby uzyskać

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {{\ kropka {\ theta}} _ {1}} i = {\ Frac {6} {ml ^ {2}}} {\ Frac {2p_ {\ theta _ {1 }}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{2}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\ theta _{2})}}\\{{\dot {\theta }}_{2}}&={\frac {6}{ml^{2}}}{\frac {8p_{\theta _{ 2}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{1}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}- \theta _{2})}}.\end{wyrównany}}}$

Pozostałe równania ruchu są zapisane jako

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {{\ kropka {p}} _ {\ theta _ {1}}} i = {\ Frac {\ częściowy L} {\ częściowy \ theta _ {1}}} = - {\tfrac {1}{2}}ml^{2}\left({{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\ theta _{1}-\theta _{2})+3{\frac {g}{l}}\sin \theta _{1}\right)\\{{\dot {p}}_{\theta _{2}}}&={\frac {\partial L}{\partial \theta _{2}}}=-{\tfrac {1}{2}}ml^{2}\left(-{{ \dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+{\frac {g} {l}}\sin \theta _{2}\right).\end{aligned}}}$

Te ostatnie cztery równania są wyraźnymi wzorami na ewolucję systemu w czasie, biorąc pod uwagę jego obecny stan. Nie można iść dalej i całkować tych równań do wyrażenia w postaci zamkniętej, aby otrzymać wzory na θ ₁ i θ ₂ jako funkcje czasu. Możliwe jest jednak przeprowadzenie tej integracji numerycznie przy użyciu metody Runge Kutta lub podobnych technik.

Chaotyczny ruch

Wykres czasu przewrócenia się wahadła w funkcji warunków początkowych

Długa ekspozycja podwójnego wahadła wykazującego chaotyczny ruch (śledzony za pomocą diody LED )

Wahadło podwójne porusza się chaotycznie i wykazuje wrażliwą zależność od warunków początkowych . Obraz po prawej pokazuje czas, jaki upłynął przed odwróceniem się wahadła, jako funkcję pozycji początkowej po zwolnieniu w spoczynku. Tutaj początkowa wartość θ ₁ waha się wzdłuż kierunku x od -3,14 do 3,14. Wartość początkowa θ ₂ waha się wzdłuż kierunku y , od -3,14 do 3,14. Kolor każdego piksela wskazuje, czy wahadło obraca się w obrębie:

• ${\displaystyle {\sqrt {\frac {l}{g}}}}$ (czarny)
• ${\ Displaystyle 10 {\ sqrt {\ Frac {l} {g}}}}$ (czerwony)
• ${\ Displaystyle 100 {\ sqrt {\ Frac {l} {g}}}}$ (Zielony)
• ${\ Displaystyle 1000 {\ sqrt {\ Frac {l} {g}}}}$ (niebieski) lub
• ${\ Displaystyle 10000 {\ sqrt {\ Frac {l} {g}}}}$ (purpurowy).

Trzy podwójne wahadła o niemal identycznych warunkach początkowych rozchodzą się w czasie, pokazując chaotyczną naturę systemu.

Warunki początkowe, które nie prowadzą do odwrócenia, są zaznaczone na biało. ${\ Displaystyle 10000 {\ sqrt {\ Frac {l} {g}}}}$

Granica centralnego obszaru białego jest częściowo określona przez zachowanie energii z następującą krzywą:

${\ Displaystyle 3 \ cos \ theta _ {1} + \ cos \ theta _ {2} = 2.}$

W obszarze zdefiniowanym przez tę krzywą, czyli jeśli

${\ Displaystyle 3 \ cos \ theta _ {1} + \ cos \ theta _ {2}> 2,}$

wtedy energetycznie niemożliwe jest przewrócenie się wahadła. Poza tym obszarem wahadło może się odwrócić, ale ustalenie, kiedy się odwróci, jest złożonym pytaniem. Podobne zachowanie obserwuje się dla podwójnego wahadła złożonego z dwóch mas punktowych, a nie dwóch prętów o rozłożonej masie.

Brak naturalnej częstotliwości wzbudzenia doprowadził do zastosowania systemów podwójnego wahadła w projektach odporności na wstrząsy sejsmiczne w budynkach, w których sam budynek jest głównym wahadłem odwróconym, a masa wtórna jest połączona w celu uzupełnienia podwójnego wahadła.

Zobacz też

• Podwójnie odwrócone wahadło
• Wahadło (matematyka)
• W podręcznikach fizyki z połowy XX wieku termin „podwójne wahadło” oznacza pojedynczy bob zawieszony na sznurku, który z kolei jest zawieszony na sznurku w kształcie litery V. Ten rodzaj wahadła , który wytwarza krzywe Lissajous , jest obecnie określany jako wahadło Blackburn .

Uwagi

Bibliografia

• Meirowicz, Leonard (1986). Elementy analizy drgań (wyd. 2). McGraw-Hill Nauka/Inżynieria/Matematyka. Numer ISBN 0-07-041342-8.
• Eric W. Weisstein, Podwójne wahadło (2005), ScienceWorld (zawiera szczegóły dotyczące skomplikowanych równań) oraz „ Podwójne wahadło ” Roba Morrisa, Wolfram Demonstrations Project , 2007 (animacje tych równań).
• Peter Lynch , Podwójne wahadło , (2001). (Symulacja apletu Java).
• Northwestern University, Double Pendulum , (symulacja apletu Java.)
• Teoretyczna Grupa Astrofizyki Wysokich Energii w UBC, Podwójne wahadło , (2005).

Zewnętrzne linki

• Animacje i objaśnienia podwójnego wahadła i fizycznego podwójnego wahadła (dwie kwadratowe płyty) autorstwa Mike'a Wheatlanda (Univ. Sydney)

• Interaktywna symulacja JavaScript Fizyka Open Source ze szczegółowymi równaniami podwójne wahadło
• Interaktywna symulacja podwójnego wahadła w języku JavaScript
• Symulacja fizyki podwójnego wahadła ze strony www.myphysicslab.com przy użyciu kodu JavaScript o otwartym kodzie źródłowym
• Symulacja, równania i wyjaśnienie wahadła Rotta
• Filmy porównawcze podwójnego wahadła z tymi samymi początkowymi warunkami początkowymi na YouTube
• Symulator podwójnego wahadła — symulator open source napisany w C++ przy użyciu zestawu narzędzi Qt .
• Online symulator Java z Imaginary wystawy .