Twierdzenie Cherna–Gaussa–Bonneta - Chern–Gauss–Bonnet theorem

W matematyce , w Chern tw (lub Chem-Gaussa-Bonneta twierdzenie po Shiing-Shen Chern , Carl Friedrich Gauss i Pierre Osjan Bonneta ) stwierdza się, że charakterystyczne Eulera-Poincarégo (a topologiczna niezmienna zdefiniowano jako sumę przemiennego liczby bettiego przestrzeni topologicznej) zamkniętej parzystowymiarowej rozmaitości Riemanna jest równa całce pewnego wielomianu ( klasy Eulera ) jego krzywizny ( niezmiennik analityczny ).

Jest to wysoce nietrywialne uogólnienie klasycznego twierdzenia Gaussa–Bonneta (dla dwuwymiarowych rozmaitości / powierzchni ) na wyższe, parzystowymiarowe rozmaitości Riemanna. W 1943 Carl B. Allendoerfer i André Weil okazali szczególny przypadek dla zewnętrznych rozmaitości. W klasycznym artykule opublikowanym w 1944 roku Shiing-Shen Chern udowodnił w pełnej ogólności twierdzenie łączące globalną topologię z lokalną geometrią .

Riemann-Roch i Atiyah-Singer to inne uogólnienia twierdzenia Gaussa-Bonneta.

Oświadczenie

Jedną z użytecznych form twierdzenia Cherna jest to, że

{\ Displaystyle \ chi (M) = \ int _ {M} e (\ Omega)}

gdzie oznacza charakterystyczną Eulera z M. klasy Euler jest zdefiniowany jako ${\ Displaystyle \ chi (M)}$

{\ Displaystyle e (\ Omega ) = {\ Frac {1} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ nazwa operatora {Pf} (\ Omega).}

gdzie mamy Pfaffian . Tutaj M jest zwarty orientowany 2 n wymiarową Riemanna kolektora bez granicy i jest powiązany forma krzywizny w połączeniu Levi Civita . W rzeczywistości stwierdzenie to obowiązuje w przypadku krzywizny dowolnego połączenia metrycznego na wiązce stycznej, jak również w przypadku innych wiązek wektorowych powyżej . ${\ Displaystyle \ Operatorname {Pf} (\ Omega)}$ ${\ Displaystyle \ Omega}$ ${\ Displaystyle \ Omega}$ ${\ Displaystyle M}$

Ponieważ wymiar wynosi 2 n , mamy do czynienia z 2-wartościową formą różniczkową na M (patrz specjalna grupa ortogonalna ). Więc może być uważana za macierz skośno-symetryczną 2 n × 2 n , której wpisy są 2-postaciowe, więc jest to macierz nad pierścieniem przemiennym . Stąd Pfaffian jest 2- n -a-. Jest to również wielomian niezmienniczy . ${\ Displaystyle \ Omega}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {s}} {\ mathfrak {o}} (2n)}$ ${\ Displaystyle \ Omega}$ ${\textstyle {\bigwedge }^{\text{parzyste}}\,T^{*}M}$

Jednak twierdzenie Cherna ogólnie mówi, że dla dowolnego zamkniętego orientowalnego n- wymiarowego M , ${\ Displaystyle C ^ {\ infty}}$

{\ Displaystyle \ chi (M) = (e (TM), [M])}

gdzie powyższe parowania (,) oznacza produkt korek z klasy Eulera na styczna wiązki TM.

Dowody

W 1944 r. ogólne twierdzenie zostało po raz pierwszy udowodnione przez SS Cherna w klasycznym artykule opublikowanym przez wydział matematyki Uniwersytetu Princeton .

W 2013 r . znaleziono również dowód twierdzenia za pomocą supersymetrycznych teorii pola euklidesowego .

Aplikacje

Twierdzenie Cherna–Gaussa–Bonneta można uznać za szczególny przypadek w teorii klas charakterystycznych . Całką Cherna jest klasa Eulera . Ponieważ jest to wysokowymiarowa forma różniczkowa, jest zamknięta. Naturalność z Eulera klasy A oznacza, że przy zmianie Riemanna metrykę , jeden pozostaje w tej samej klasie kohomologii . Oznacza to, że całka klasy Eulera pozostaje stała, ponieważ metryka jest zróżnicowana, a zatem jest globalnym niezmiennikiem gładkiej struktury.

Twierdzenie to znalazło również liczne zastosowania w fizyce , w tym:

faza adiabatyczna lub faza Berry'ego ,
teoria strun ,
fizyka materii skondensowanej ,
Topologiczna kwantowa teoria pola ,
topologiczne fazy materii (patrz Nagroda Nobla w dziedzinie fizyki 2016 Duncan Haldane et al.).

Przypadki specjalne

Rozmaitości czterowymiarowe

W wymiarze , dla zwartej zorientowanej rozmaitości, otrzymujemy $2n=4$

{\ Displaystyle \ chi (M) = {\ Frac {1} {32 \ pi ^ {2}}} \ int _ {M} \ lewo (| {\ tekst {Riem}} | ^ {2}-4 | {\text{Ric}}|^{2}+R^{2}\prawo)\,d\mu }

gdzie jest pełny tensor krzywizny Riemanna , jest tensorem krzywizny Ricciego i jest krzywizną skalarną . Jest to szczególnie ważne w ogólnej teorii względności , gdzie czasoprzestrzeń postrzegana jest jako wielowymiarowa rozmaitość. ${\ Displaystyle {\ tekst {Riem}}}$ ${\ Displaystyle {\ tekst {Ric}}}$ ${\ Displaystyle R}$

Hiperpowierzchnie parzystowymiarowe

Gdy M jest zwartą, parzystowymiarową hiperpowierzchnią w R ⁿ⁺¹ otrzymujemy

{\ Displaystyle \ int _ {M} K \ dV = {\ Frac {1} {2}} \ gamma _ {n} \ \ chi (M)}

gdzie dV jest elementem objętość z hiperpowierzchni, jest jakobian determinanta na mapie Gaussa i jest powierzchnia jednostki hipersfera . ${\ Displaystyle K}$ ${\ Displaystyle \ gamma _ {n}}$

Twierdzenie Gaussa-Bonneta

Twierdzenie Gaussa-Bonneta jest szczególnym przypadkiem, gdy M jest rozmaitością dwuwymiarową. Powstaje jako szczególny przypadek, w którym indeks topologiczny jest definiowany za pomocą liczb Bettiego, a indeks analityczny jest definiowany za pomocą całki Gaussa–Bonneta.

Podobnie jak w przypadku dwuwymiarowego twierdzenia Gaussa-Bonneta, istnieją uogólnienia, gdy M jest rozmaitością z brzegiem .

Dalsze uogólnienia

Atiyah-Singer

Daleko idącym uogólnieniem twierdzenia Gaussa-Bonneta jest twierdzenie o indeksie Atiyaha-Singera .

Niech będzie słabo eliptycznym operatorem różniczkowym między wiązkami wektorowymi. Oznacza to, że głównym symbolem jest izomorfizm . Silna eliptyczność wymagałaby ponadto, aby symbol był dodatnio określony . ${\ Displaystyle D}$

Niech będzie jego operatorem sprzężonym . Wtedy wskaźnik analityczny definiuje się jako ${\ Displaystyle D ^ {*}}$

dim(ker( D )) − dim(ker( D *)),

Przez eliptyczność jest to zawsze skończone. Twierdzenie o indeksie mówi, że jest to stałe, ponieważ operator eliptyczny zmienia się płynnie. Jest on równy indeksowi topologicznemu , który można wyrazić w postaci klas charakterystycznych, takich jak klasa Eulera .

Twierdzenie Cherna-Gaussa-Bonneta wyprowadza się, biorąc pod uwagę operator Diraca

{\ Displaystyle D = d + d ^ {*}}

Dziwne wymiary

Wzór Chena jest zdefiniowany dla wymiarów parzystych, ponieważ charakterystyka Eulera znika dla wymiaru nieparzystego. Prowadzone są pewne badania nad „przekręcaniem” twierdzenia o indeksie w teorii K, aby uzyskać nietrywialne wyniki dla nieparzystego wymiaru.

Istnieje również wersja formuły Chena dla orbifoldów .

Historia

Shiing-Shen Chern opublikował swój dowód twierdzenia w 1944 roku podczas pobytu w Instytucie Studiów Zaawansowanych . Był to historycznie pierwszy raz, kiedy wzór został udowodniony bez założenia, że rozmaitość jest osadzona w przestrzeni euklidesowej, co oznacza „wewnętrzna”. Szczególny przypadek hiperpowierzchni (n-1-wymiarowych podrozmaitości w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej) udowodnił H. Hopf, w którym całką jest krzywizna Gaussa-Kroneckera (iloczyn wszystkich głównych krzywizn w punkcie hiperpowierzchni). Zostało to uogólnione niezależnie przez Allendoerfera w 1939 i Fenchela w 1940 na podrozmaitość Riemanna przestrzeni euklidesowej o dowolnym wymiarze, dla której użyli krzywizny Lipschitza-Killinga (średnia krzywizny Gaussa-Kroneckera wzdłuż każdej jednostki wektora normalnego nad jednostką). sfera w normalnej przestrzeni; dla parzystowymiarowej podrozmaitości jest to niezmiennik tylko w zależności od metryki Riemanna podrozmaitości). Ich wynik byłby ważny dla ogólnego przypadku, gdyby można było założyć twierdzenie Nasha o osadzeniu . Jednak twierdzenie to nie było wtedy dostępne, ponieważ John Nash opublikował swoje słynne twierdzenie o osadzeniu dla rozmaitości riemannowskich w 1956 roku. W 1943 roku Allendoerfer i Weil opublikowali dowód dla przypadku ogólnego, w którym po raz pierwszy użyli twierdzenia o aproksymacji H. Whitneya do redukcji przypadku analitycznych rozmaitości riemannowskich, następnie osadzili „małe” sąsiedztwa rozmaitości izometrycznie w przestrzeni euklidesowej za pomocą lokalnego twierdzenia Cartana-Janeta o osadzeniu, tak aby mogli połączyć te osadzone sąsiedztwa razem i zastosować powyższe twierdzenie Allendoerfera i Fenchel, aby ustalić globalny wynik. Jest to oczywiście niezadowalające, ponieważ twierdzenie obejmuje tylko wewnętrzne niezmienniki rozmaitości, zatem ważność twierdzenia nie powinna polegać na jego osadzeniu w przestrzeni euklidesowej. Weil poznał Cherna w Princeton po przybyciu Cherna w sierpniu 1943 roku. Powiedział Chernowi, że uważa, iż powinien istnieć nieodłączny dowód, który Chern był w stanie uzyskać w ciągu dwóch tygodni. Rezultatem jest klasyczna praca Cherna „Prosty wewnętrzny dowód wzoru Gaussa-Bonneta dla zamkniętych rozmaitości riemannowskich” opublikowana w Annals of Mathematics w następnym roku. Chern cytował wcześniejsze prace Allendoerfera, Fenchela, Allendoerfera i Weila. Praca Allendoerfera i Weila została również przytoczona przez Cherna w swoim drugim artykule dotyczącym tego samego tematu.

Languages

In other projects