Izotropowe współrzędne - Isotropic coordinates

W teorii rozmaitości lorentzowskiej , czasoprzestrzeni sferycznie symetryczne przyznać rodzinę zagnieżdżonych okrągłych kulek . Istnieje kilka różnych typów, które są wykres współrzędnych przystosowany do tej rodziny zagnieżdżonych kulek; najbardziej znane jest wykres Schwarzschilda , ale izotropowe wykres jest również często użyteczne. Cechą charakterystyczną izotropowego wykresie jest to, że koordynuje swoje promieniowe (który jest różny od promieniowego współrzędnych wykresu Schwarzschilda) jest określona tak, że stożki świetlne pojawiają okrągły . Oznacza to, że (z wyjątkiem trywialne przypadku lokalnie płaskiego kolektora), przy czym współrzędne kątowe izotropowe nie przedstawiają wiernie zasięgu, zagnieżdżone kulki, ani też w kierunku promieniowym współrzędnych dokładnie reprezentują odległości promieniowych. Z drugiej strony, kąty w ciągłym hyperslices czasowe są reprezentowane bez zniekształceń, stąd nazwa wykresu.

Izotropowe wykresy są najczęściej stosowane do statycznych czasoprzestrzeni sferycznie symetrycznych w metrycznych teorii grawitacji , takich jak ogólna teoria względności , ale mogą być również wykorzystywane w modelowaniu się sferycznie pulsujące piłkę płynów, na przykład. Dla pojedynczych sferycznie symetrycznych roztworach równania pola Einsteina , na dużych odległościach, izotropowy i wykresy Schwarzschilda stają się coraz bardziej podobny do zwykłego polarnego sferycznego wykresu na czasoprzestrzeni Minkowskiego .

Definicja

W tabeli (izotropowego na statycznym sferycznie symetrycznego czasoprzestrzeni), przy czym listwa elementów ma postać

${\ Displaystyle DS ^ {2} = - F (R) ^ {2} \ dt ^ {2} + G (R) ^ {2} \ \ lewo (dr ^ {2} + r ^ {2} \ \ lewo (d \ teta ^ {2} + \ sin (\ theta) ^ {2} \ d \ cp ^ {2} \ prawej) \ prawej)}$

${\ Displaystyle - \ infty <t <\ infty, \ r_ {0} <R <{1} R_, \ <\ teta <\ pi 0, \, - \ pi <\ cp <\ pi}$

W zależności od kontekstu, może on być odpowiedni do traktowania F, G, niezdeterminowane funkcji promieniowego współrzędnych (na przykład przy wyznaczaniu dokładnego statycznego sferycznie symetryczny rozwiązanie równania pola Einsteina ). Alternatywnie, można podłączyć w określonych funkcji (ewentualnie w zależności od pewnych parametrów) w celu otrzymania izotropowej współrzędnych wykresu na określonym lorentzowskiej czasoprzestrzeni.

Pole killinga

Algebra Lie z pole killinga o sferycznie symetryczną statycznych czasoprzestrzeni przyjmuje taką samą formę w izotropowej wykresie jak na wykresie Schwarzschilda. Mianowicie, algebra jest generowany przez timelike bezwirowy pole killinga

${\ Displaystyle \ _ częściowa {t}}$

i trzy spacelike pole killinga

${\ Displaystyle \ _ częściowa {\ cp}}$

${\ Displaystyle \ sin (\ fi) \ \ _ częściowa {\ theta} + \ łóżeczko (\ theta) \ \ cos (\ fi) \ _ częściowa {\ cp}}$

${\ \ Displaystyle cos (\ fi) \ \ _ częściowa {\ theta} - \ łóżeczko (\ theta) \ \ sin (\ fi) \ _ częściowa {\ cp}}$

Tutaj, mówiąc, że jest bezwirowy oznacza, że tensor wirowość odpowiedniego timelike przystawania znika; w ten sposób, to pole killinga jest hiperpowierzchni prostopadłe . Fakt, że czasoprzestrzeń przyznaje się bezwirowy timelike pole killinga w rzeczywistości jest cechą charakterystyczną jest statycznym czasoprzestrzeni . Bezpośrednim skutkiem jest to, że stała czasowa współrzędnych powierzchnie tworzą rodzinę (izometryczny) hyperslices przestrzennych (spacelike hiperpowierzchnie). ${\ Displaystyle {\ vec {X}} = \ _ częściowa {t}}$ ${\ Displaystyle t_ T = {0}}$

W przeciwieństwie do wykresu Schwarzschilda, izotropowy wykres nie jest dobrze nadaje się do budowy diagramów osadzanie tych hyperslices.

Rodzina statycznych zagnieżdżonych sfer

Powierzchnie pojawiają się okrągłe kule (kiedy wykreślić loci w polarnych sferycznej mody), a od postaci elementu linii, widzimy, że metryka ogranicza się do żadnej z tych powierzchni jest ${\ Displaystyle t_ T = {0}, \, R = R_ {0}}$

${\ Displaystyle d \ Sigma ^ {2} = g (R_ {0}) ^ {2} \, r_ {0} ^ {2} \ \ lewo (d \ teta ^ {2} + \ sin (\ theta ) ^ {2} \ d \ cp ^ {2} \ prawej) \; 0 <\ teta <\ pi - \ pi <\ cp <\ pi}$

Oznacza to, że te zagnieżdżone współrzędnych sfer w rzeczywistości reprezentują sfery geometrycznych, ale wygląd aniżeli wynika, że współrzędna promieniowa nie odpowiada powierzchni w taki sam sposób jak w przypadku sfer zwykłej przestrzeni euklidesowej . Porównaj Schwarzschilda współrzędne, gdzie współrzędna promieniowa ma swoją naturalną interpretację w kategoriach zagnieżdżonych sfer. ${\ Displaystyle g (R_ {0}) \ r}$${\ Displaystyle R}$

koordynować osobliwości

Loci oznaczyć granice izotropowego wykresie, i tak jak na wykresie Schwarzschilda, milcząco zakładamy, że te dwa loci są identyfikowane, tak że nasze przypuszczalne okrągłe kule są rzeczywiście kule topologiczne. ${\ Displaystyle \ cp = - \ pi \ \ pi}$

Podobnie jak na wykresie Schwarzschilda, zasięg promieniowy współrzędnych może być ograniczona, gdy metryki albo jego odwrotność dmucha się na pewnej wartości (a) z tym współrzędnych.

Metryka Ansatz

Element liniowy podane wyżej, f, g, uważany za niezdeterminowane funkcje izotropowy współrzędnych R, jest często stosowany jako metryki Ansatz przy wyprowadzaniu, statyczne sferycznie symetrycznych ogólnie wzgl (lub inne teorie metrycznych grawitacji ).

Jako ilustracja, będziemy szkicować jak obliczyć krzywiznę przy użyciu połączenia i zewnętrzną metodę nazębnego Cartan użytkownika. Po pierwsze, możemy odczytać element linia A pole coframe ,

${\ Displaystyle \ Sigma ^ {0} = - F (R) \ dt}$

${\ Displaystyle \ Sigma ^ {1} = g (R) \ dr}$

${\ Displaystyle \ Sigma ^ {2} = g (R) \ r \ d \} teta$

${\ Displaystyle \ Sigma ^ {3} = g (R) \ r \ \ sin (\ theta) \ d \ cp}$

gdzie uważa F, G jako nieokreślone gładkimi funkcjami r. (Fakt, że nasz czasoprzestrzeni przyznaje ramki zawierającej tę szczególną postać trygonometryczny jeszcze inny równoważny ekspresja pojęciem izotropowego wykresie w statycznym sferycznie symetrycznego lorentzowskiej kolektora). Biorąc pochodne zewnętrzne i za pomocą pierwszego wzoru strukturalnego Cartan znajdujemy nonvanishing połączenie jeden form

${\ Displaystyle {\ omega ^ {0}} _ {1} = {\ Frac {f '\, dt} {G}}}$

${\ Displaystyle {\ omega ^ {1}} _ {2} = - \ lewo (1 + {\ Frac {r \, G '} {G}} \ prawej) \ d \} teta$

${\ Displaystyle {\ omega ^ {1}} _ {3} = - \ lewo (1 + {\ Frac {r \, G '} {G}} \ prawej) \ \ sin (\ theta) \ d \ cp}$

${\ Displaystyle {\ omega ^ {2}, {3} _} = - \ cos (\ theta) \ d \ cp}$

Biorąc pochodne zewnętrzne ponownie podłączyć do drugiego wzoru strukturalnego Cartan znajdujemy krzywizny dwie formy .

Zobacz też

• czasoprzestrzeń statyczne ,
• sferycznie symetryczna czasoprzestrzeń ,
• sferycznie symetryczne statyczne płyn idealny ,
• Schwarzschilda współrzędne , kolejny popularny wykres dla statycznych czasoprzestrzeni sferycznie symetryczne,
• Pola rama w ogólnej teorii względności , więcej o polach ramowych i pól coframe.

Referencje

• Misner, Thorne, Wheeler (1973). Grawitacja . WH Freeman and Company. ISBN  0-7167-0344-0 .CS1 maint: Wiele nazw: lista autorów ( Link )