Linie równoległe — Concurrent lines
Mówi się, że linie w płaszczyźnie lub przestrzeni o wyższym wymiarze są współbieżne, jeśli przecinają się w jednym punkcie . W przeciwieństwie do równoległych linii .
Przykłady
Trójkąty
W trójkącie cztery podstawowe typy zbiorów równoległych to wysokości , dwusieczne kąta , mediany i dwusieczne prostopadłe :
- Wysokości trójkąta biegną od każdego wierzchołka i spotykają się z przeciwległym bokiem pod kątem prostym . Punktem, w którym spotykają się trzy wysokości, jest ortocentrum .
- Dwusieczne kąta to promienie biegnące z każdego wierzchołka trójkąta i przecinające skojarzony kąt . Wszyscy spotykają się na incenter .
- Mediany łączą każdy wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwnej strony. Trzy mediany spotykają się w centroidzie .
- Dwusieczne prostopadłe to linie wychodzące ze środków każdego boku trójkąta pod kątem 90 stopni. Trzy prostopadłe dwusieczne spotykają się pośrodku .
Inne zestawy linii skojarzonych z trójkątem również są współbieżne. Na przykład:
- Dowolna mediana (która jest koniecznie dwusieczną obszaru trójkąta ) jest zbieżna z dwoma innymi dwusiecznymi obszaru, z których każda jest równoległa do boku.
- Tasak trójkąta to odcinek, który przecina obwód trójkąta i ma jeden punkt końcowy w punkcie środkowym jednej z trzech stron. Trzy tasaki zgodzić się na środku okręgu Spieker , który jest incircle z przyśrodkowej trójkąta .
- Rozdzielacz trójkąta jest odcinek końcowy posiadający jeden na jeden z trzech wierzchołków trójkąta i przecina obwód. Trzy rozdzielacze zbiegają się w punkcie Nagel trójkąta.
- Każdy wiersz poprzez trójkąta, który dzieli obszar zarówno trójkąt i jego obwód w połowie przechodzi trójkąta incenter , a każdy trójkąt ma jeden, dwa lub trzy z tych linii. Tak więc, jeśli jest ich trzech, zgadzają się w centrum.
- Punkt Tarry trójkąta jest punktem zbieżności linii przechodzących przez wierzchołki trójkąta prostopadłe do odpowiednich boków pierwszego trójkąta Brocarda .
- Punkt Schiffler trójkąta jest punktem zbiegu z liniami Eulera czterech trójkątów: trójkąta, o którym mowa, a trzech trójkątów że na każdą akcję dwa wierzchołki z nim i mieć swój incenter co innego wierzchołka.
- Te punkty Napoleon i uogólnienia nich są punkty współbieżności. Na przykład pierwszy punkt Napoleona jest punktem zbieżności trzech linii, z których każda biegnie od wierzchołka do środka ciężkości trójkąta równobocznego narysowanego na zewnętrznej stronie przeciwnej do wierzchołka. Uogólnieniem tego pojęcia jest punkt Jacobiego .
- Punkt de Longchamps jest punktem zbieżności kilku linii z linią Eulera .
- Trzy linie, każda utworzona przez narysowanie zewnętrznego trójkąta równobocznego na jednym z boków danego trójkąta i połączenie nowego wierzchołka z przeciwległym wierzchołkiem pierwotnego trójkąta, są zbieżne w punkcie zwanym pierwszym środkiem izogonalnym . W przypadku, gdy pierwotny trójkąt nie ma kąta większego niż 120°, ten punkt jest również punktem Fermata .
- Punkt Apoloniusza to punkt zbieżności trzech linii, z których każda łączy punkt styczności okręgu, do którego eksokręty trójkąta są wewnętrznie styczne, z przeciwległym wierzchołkiem trójkąta.
Czworoboki
- Dwa bimedians of a czworokątnych (segmentów łączących punkty środkowe obu stronach) oraz segmentu linii, łączącej punkty środkowe przekątnych są zbieżne i są przedzielone przez ich punkcie skrzyżowania.
- W stycznym czworoboku cztery dwusieczne kąta są zbieżne w środku kręgu .
- Podano tu inne współbieżności czworokąta stycznego .
- W cyklicznym czworoboku cztery odcinki linii, każdy prostopadły do jednej strony i przechodzący przez punkt środkowy przeciwnej strony , są zbieżne. Te odcinki są nazywane maltitudes , co jest skrótem od wysokości środkowego. Ich wspólny punkt nazywa się antycentrum .
- Wypukły czworokąt jest niestyczny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje sześć zbieżnych dwusiecznych kątów: wewnętrzne dwusieczne kąta przy dwóch przeciwległych kątach wierzchołkowych, zewnętrzne dwusieczne kąta przy pozostałych dwóch kątach wierzchołkowych i zewnętrzne dwusieczne kąta przy kątach utworzonych w miejscu przecinają się przedłużenia przeciwległych boków.
Sześciokąty
- Jeśli kolejne boki cyklicznego sześciokąta to a , b , c , d , e , f , to trzy główne przekątne są zbieżne w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy as = bdf .
- Jeśli sześciokąt ma wpisaną stożkę , to według twierdzenia Brianchona jego główne przekątne są zbieżne (jak na powyższym obrazku).
- Równoległe linie powstają w dualnym twierdzeniu Pappusa o sześciokątach .
- Dla każdego boku cyklicznego sześciokąta przedłuż sąsiednie boki do ich przecięcia, tworząc trójkąt na zewnątrz danego boku. Wtedy segmenty łączące okręgi opisane w przeciwległych trójkątach są zbieżne.
Wielokąty regularne
- Jeśli regularny wielokąt ma parzystą liczbę boków, przekątne łączące przeciwległe wierzchołki są zbieżne w środku wielokąta.
Kręgi
- W prostopadłe rzeczownik wszystkich akordów o kole są współbieżne w centrum okręgu.
- Linie prostopadłe do stycznych do okręgu w punktach styczności są zbieżne w środku.
- Wszystkie dwusieczne obszaru i dwusieczne obwodu okręgu są średnicami i są zbieżne w środku okręgu.
Elipsy
- Wszystkie dwusieczne obszaru i dwusieczne obwodu elipsy są zbieżne w środku elipsy.
Hiperbole
- W hiperboli współbieżne są: (1) okrąg przechodzący przez ogniska hiperboli i wyśrodkowany w środku hiperboli; (2) jedna z linii, które są styczne do hiperboli na wierzchołkach; oraz (3) jedną z asymptot hiperboli.
- Równoległe są również: (1) okrąg, który jest wyśrodkowany w środku hiperboli i przechodzi przez wierzchołki hiperboli; (2) albo kierownica; oraz (3) jedną z asymptot.
Czworościany
- W czworościanie wszystkie cztery mediany i trzy bimediany są zbieżne w punkcie zwanym środkiem ciężkości czworościanu.
- Isodynamic czworościanu jest taki, w którym cevians które łączą wierzchołki do incenters twarze przeciwnych są współbieżne, i isogonic czworościanu ma równoczesnych cevians które łączą wierzchołki na punktach styku z powierzchni przeciwnych z Kula wpisana czworościanu .
- W ortocentrycznym czworościanie te cztery wysokości są zbieżne.
Algebra
Zgodnie z twierdzeniem Rouche-Capelli , system równań jest zgodne , wtedy i tylko wtedy, gdy stopień o macierz współczynników jest równa rzędowi rozszerzonej matrycy (matryca współczynnik zwiększona z kolumny względem osią), oraz system ma unikalne rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, że wspólna pozycja jest równa liczbie zmiennych. Tak więc z dwiema zmiennymi k linii na płaszczyźnie, związanych ze zbiorem k równań, są zbieżne wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy współczynników k × 2 i rząd rozszerzonej macierzy k × 3 są równe 2. W tym przypadku tylko dwa z k równań są niezależne , a punkt współbieżności można znaleźć, rozwiązując dowolne dwa wzajemnie niezależne równania jednocześnie dla dwóch zmiennych.
Geometria rzutowa
W geometrii rzutowej , w dwóch wymiarach współbieżności jest podwójny z kolinearności ; w trzech wymiarach współbieżność jest dwojaką współpłaszczyznowości .
Bibliografia
Linki zewnętrzne
- Wolfram MathWorld współbieżne , 2010.