Cevian - Cevian

W geometrii , A prosta cevy jest linia , która przecina zarówno jako trójkąt jest wierzchołek , a także po stronie, która jest przeciwna do tego wierzchołka. Mediany i dwusieczne kąta to szczególne przypadki cevian. Nazwa „cevian” pochodzi od włoskiego matematyka Giovanniego Cevy , który udowodnił znane twierdzenie o cewianach, które również nosi jego imię.

Długość

Twierdzenie Stewarta

Długość ceviana można określić za pomocą twierdzenia Stewarta : na wykresie długość cevian d jest określona wzorem

${\ Displaystyle \, b ^ {2} m + c ^ {2} n = a (d ^ {2} + mn).}$

Rzadziej jest to również reprezentowane przez mnemonik

${\ Displaystyle \, mężczyzna + tata = BMB + CNC.}$

Mediana

Jeśli cevian jest medianą (w ten sposób przecinającą bok ), jego długość można określić na podstawie wzoru

${\ Displaystyle \, m (b ^ {2} + c ^ {2}) = a (d ^ {2} + m ^ {2})}$

lub

${\ Displaystyle \, 2 (b ^ {2} + c ^ {2}) = 4d ^ {2} + a ^ {2}}$

od

${\ Displaystyle \, a = 2 m.}$

Stąd w tym przypadku

${\ Displaystyle d = {\ sqrt {\ Frac {2b ^ {2} + 2c ^ {2} -a ^ {2}} {4}}}.}$

Dwusieczna kąta

Jeśli cevian jest dwusieczną kąta , jego długość jest zgodna ze wzorami

${\ Displaystyle \, (b + c) ^ {2} = a ^ {2} \ lewo ({\ Frac {d ^ {2}} {mn}} + 1 \ prawo),}$

i

${\ Displaystyle d ^ {2} + mn = pne}$

i

${\ displaystyle d = {\ frac {2 {\ sqrt {bcs (sa)}}} {b + c}}}$

gdzie semiperymetr s = ( a + b + c ) / 2 .

Bok o długości a jest podzielony w proporcji b : c .

Wysokość

Jeśli cevian jest wysokością, a więc prostopadłą do boku, jego długość jest zgodna ze wzorami

${\ Displaystyle \, d ^ {2} = b ^ {2} -n ^ {2} = c ^ {2} -m ^ {2}}$

i

${\ Displaystyle d = {\ Frac {2 {\ sqrt {s (sa) (sb) (sc)}}} {a}},}$

gdzie semiperymetr s = ( a + b + c ) / 2.

Właściwości współczynnika

Istnieją różne właściwości stosunków długości utworzonych przez trzy ceviany, wszystkie przechodzące przez ten sam arbitralny punkt wewnętrzny: Odnosząc się do diagramu po prawej stronie,

${\ Displaystyle {\ Frac {AF} {FB}} \ cdot {\ Frac {BD} {DC}} \ cdot {\ Frac {CE} {EA}} = 1;}$( Twierdzenie Cevy )

${\ Displaystyle {\ Frac {AO} {OD}} = {\ Frac {AE} {EC}} + {\ Frac {AF} {FB}};}$

${\ Displaystyle {\ Frac {OD} {AD}} + {\ Frac {OE} {BE}} + {\ Frac {OF} {CF}} = 1;}$

${\ Displaystyle {\ Frac {AO} {AD}} + {\ Frac {BO} {BE}} + {\ Frac {CO} {CF}} = 2.}$

Te dwie ostatnie właściwości są równoważne, ponieważ zsumowanie dwóch równań daje tożsamość 1 + 1 + 1 = 3.

Rozdzielacz

Splitter trójkąta jest prosta cevy że przecina się obwód . Trzy rozdzielacze są zbieżne w punkcie Nagela trójkąta.

Dwusieczne obszaru

Trzy z dwusiecznych obszaru trójkąta to jego mediany, które łączą wierzchołki z punktami środkowymi po przeciwnych stronach. W ten sposób trójkąt o jednorodnej gęstości w zasadzie balansowałby na brzytwie podtrzymującej którąkolwiek z median.

Trójsektory kątowe

Jeśli z każdego wierzchołka trójkąta zostaną narysowane dwa ceviany, aby podzielić kąt na trzy części (podziel go na trzy równe kąty), wówczas sześć cevianów przecina się parami, tworząc trójkąt równoboczny , zwany trójkątem Morleya .

Obszar wewnętrznego trójkąta utworzonego przez ceviany

Twierdzenie Routha określa stosunek pola danego trójkąta do obszaru trójkąta utworzonego przez parami przecięcia trzech cewianów, po jednym z każdego wierzchołka.

Zobacz też

• Geometria punktu masy
• Twierdzenie Menelaosa

Uwagi

Bibliografia

• Eves, Howard (1963), A Survey of Geometry (Vol. One) , Allyn and Bacon
• Ross Honsberger (1995). Epizody w XIX i XX wieku Geometria euklidesowa , strony 13 i 137. Mathematical Association of America.
• Vladimir Karapetoff (1929). „Niektóre właściwości korelacyjnych linii wierzchołków w płaskim trójkącie”. American Mathematical Monthly 36: 476–479.
• Indika Shameera Amarasinghe (2011). „Nowe twierdzenie na temat dowolnego trójkąta prostokątnego Ceviana”. Journal of the World Federation of National Mathematics Competition , tom 24 (02) , s. 29–37.