Czworościan ortocentryczny - Orthocentric tetrahedron

W geometrii An orthocentric Tetrahedron jest Tetrahedron , gdzie wszystkie trzy pary przeciwległych krawędziach są prostopadłe . Jest również znany jako czworościan ortogonalny, ponieważ ortogonalny oznacza prostopadły. Po raz pierwszy został zbadany przez Simona Lhuiliera w 1782 roku i otrzymał nazwę ortocentryczny czworościan przez G. de Longchampsa w 1890 roku.

W czworościanie ortocentrycznym cztery wysokości są zbieżne . Ten wspólny punkt nazywany jest ortocentrum i ma tę właściwość, że jest symetrycznym punktem środka opisanej kuli w stosunku do środka ciężkości . Stąd ortocentrum pokrywa się z punktem Monge czworościanu.

Charakteryzacje

Wszystkie czworościany można wpisać w równoległościan . Czworościan jest ortocentryczny wtedy i tylko wtedy, gdy jego określony równoległościan jest romboedrem . Rzeczywiście, w każdym czworościanie para przeciwległych krawędzi jest prostopadła wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające im ściany opisanego równoległościanu są rombami. Jeśli cztery ściany równoległościanu są rombami, wówczas wszystkie krawędzie mają równe długości i wszystkie sześć ścian są rombami; Wynika z tego, że jeśli dwie pary przeciwległych krawędzi w czworościanie są prostopadłe, to tak samo jest z trzecią parą, a czworościan jest ortocentryczny.

Czworościan ABCD jest ortocentryczny wtedy i tylko wtedy, gdy suma kwadratów przeciwległych krawędzi jest taka sama dla trzech par przeciwległych krawędzi:

${\ Displaystyle \ Displaystyle AB ^ {2} + CD ^ {2} = AC ^ {2} + BD ^ {2} = AD ^ {2} + BC ^ {2}.}$

W rzeczywistości wystarczy tylko dwie pary przeciwległych krawędzi, aby spełnić ten warunek, aby czworościan był ortocentryczny.

Innym warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby czworościan był ortocentryczny, jest to, że jego trzy bimediany mają równą długość.

Tom

Charakterystyka dotycząca krawędzi oznacza, że ​​jeśli znane są tylko cztery z sześciu krawędzi czworościanu ortocentrycznego, pozostałe dwie można obliczyć, o ile nie są one przeciwne. Dlatego objętość ortocentrycznego czworościanu można wyrazić za pomocą czterech krawędzi a , b , c , d . Formuła jest taka

${\ Displaystyle V = {\ Frac {1} {6}} {\ sqrt {4 (c ^ {2} + d ^ {2}) s (sa) (sb) (sc) -a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2}}}}$

gdzie c i d są przeciwległymi krawędziami i . ${\ displaystyle s = {\ tfrac {1} {2}} (a + b + c)}$

Zobacz też

• Disphenoid
• Trójkątny czworościan

Bibliografia