Współmierność (matematyka) - Commensurability (mathematics)

W matematyce o dwóch niezerowych liczbach rzeczywistych a i b mówi się, że są współmierne, jeśli ich stosunek za / b jest liczbą wymierną ; w przeciwnym razie a i b nazywane są niewspółmiernymi . (Przypomnijmy, że liczba wymierna to taka, która jest równoważna stosunkowi dwóch liczb całkowitych ). W teorii grup istnieje bardziej ogólne pojęcie współmierności .

Na przykład liczby 3 i 2 są współmierne, ponieważ ich stosunek, 3 / 2 , to liczba wymierna. Liczby i są również współmierne, ponieważ ich stosunek jest liczbą wymierną. Jednak liczby i 2 są niewspółmierne, ponieważ ich stosunek jest liczbą niewymierną . ${\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$${\ displaystyle 2 {\ sqrt {3}}}$${\ textstyle {\ frac {\ sqrt {3}} {2 {\ sqrt {3}}}} = {\ frac {1} {2}}}$${\ textstyle {\ sqrt {3}}}$${\ textstyle {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}$

Mówiąc bardziej ogólnie, wynika to bezpośrednio z definicji, że jeśli a i b są dowolnymi dwoma niezerowymi liczbami wymiernymi, to a i b są współmierne; jest również natychmiastowe, że jeśli a jest liczbą niewymierną, a b jest dowolną liczbą wymierną niezerową, to a i b są niewspółmierne. Z drugiej strony, jeśli a i b są liczbami niewymiernymi, to a i b mogą być współmierne lub nie.

Historia koncepcji

W pitagorejczyków są zapisywane z dowodu istnienia liczb niewymiernych . Gdy stosunek długości dwóch odcinków linii jest nieracjonalny, same odcinki (nie tylko ich długości) są również opisywane jako niewspółmierne.

Odrębną, bardziej ogólne i okrężną starożytny grecki doktryna proporcjonalności geometryczne wielkości został opracowany w księdze V Euklidesa Elements w celu umożliwienia dowodów udziałem niewspółmierne długości, unikając w ten sposób argumentów, które stosowane jedynie w ograniczonym historycznie definicji liczby .

Pojęcie współmierności Euklidesa jest antycypowane w dyskusji pomiędzy Sokratesem a niewolnikiem w dialogu Platona zatytułowanym Meno , w którym Sokrates wykorzystuje własne wrodzone zdolności chłopca do rozwiązania złożonego problemu geometrycznego metodą sokratejską. Opracowuje dowód, który pod każdym względem jest bardzo euklidesowy z natury i mówi o koncepcji niewspółmierności.

Wykorzystanie pochodzi głównie z przekładów Euclid „s Elements , w której dwa odcinki i b nazywane są współmierne precyzyjnie, czy istnieje jakiś trzeci segment C , które mogą być układane end-to-end całą ilość razy w celu wytworzenia przystające segmentu do a , a także, z inną liczbą całkowitą, segment przystający do b . Euclid nie użył żadnego pojęcia liczby rzeczywistej, ale użył pojęcia kongruencji odcinków linii oraz tego, że jeden taki odcinek jest dłuższy lub krótszy od drugiego.

Że za / b jest wymierne jest warunkiem koniecznym i wystarczającym dla istnienia pewnej liczby rzeczywistej c oraz liczb całkowitych m i n , takich, że

a = mc i b = nc .

Zakładając dla uproszczenia, że a i b są dodatnie , można powiedzieć, że linijką , wyodrębnioną w jednostkach długości c , można by odmierzyć zarówno odcinek o długości a , jak i odcinek o długości b . Oznacza to, że istnieje wspólna jednostka długości, w odniesieniu do której można zmierzyć a i b ; to jest pochodzenie tego terminu. W przeciwnym razie pary a i b są niewspółmierne .

W teorii grup

W teorii grup o dwóch podgrupach Γ ₁ i Γ ₂ grupy G mówi się, że są współmierne, jeśli przecięcie Γ ₁ ∩ Γ ₂ ma skończony indeks zarówno w Γ _{1, jak} i Γ ₂ .

Przykład: Niech a i b będą niezerowymi liczbami rzeczywistymi. Wtedy podgrupa liczb rzeczywistych R wygenerowanych przez a jest współmierna z podgrupą wygenerowaną przez b wtedy i tylko wtedy, gdy liczby rzeczywiste a i b są współmierne, w tym sensie, że a / b jest wymierne. Zatem pojęcie współmierności oparte na teorii grup uogólnia pojęcie liczb rzeczywistych.

Istnieje podobne pojęcie dla dwóch grup, które nie są podane jako podgrupy tej samej grupy. Dwie grupy G ₁ i G ₂ są ( abstrakcyjnie ) współmierne, jeśli istnieją podgrupy H ₁ ⊂ G ₁ i H ₂ ⊂ G ₂ o skończonym indeksie, tak że H ₁ jest izomorficzny z H ₂ .

W topologii

Dwie ścieżki połączone przestrzenie topologiczne są czasami mówi się współmierne jeśli mają homeomorficzny skończone krytych przestrzeni obejmujących . W zależności od rodzaju rozważanej przestrzeni można w definicji zastosować równoważniki homotopii lub dyfeomorfizmy zamiast homeomorfizmów. Jeśli dwie przestrzenie są współmierne, to ich podstawowe grupy są współmierne.

Przykład: dowolne dwie zamknięte powierzchnie z rodzaju co najmniej 2 są ze sobą współmierne.

Bibliografia