Bekenstein związany - Bekenstein bound

Według Bekenstein związana, entropia z czarnej dziury jest proporcjonalna do liczby obszarów Plancka że zajęłoby pokrycie czarnej dziury horyzont zdarzeń .

W fizyce The Bekenstein związany (nazwane Jacob Bekenstein ) jest górną granicą termodynamiczny entropię S lub Shannon entropia H , które mogą być zawarte w danym obszarze ograniczonym z przestrzeni, która ma ograniczoną ilość zużycia energii lub na odwrót, maksymalna ilość informacji potrzebnych do perfekcyjnego opisania danego układu fizycznego aż do poziomu kwantowego. Oznacza to, że informacje o systemie fizycznym lub informacje niezbędne do doskonałego opisania tego systemu muszą być skończone, jeśli obszar przestrzeni i energia są skończone. W informatyce oznacza to, że istnieje maksymalna szybkość przetwarzania informacji ( limit Bremermanna ) dla systemu fizycznego, który ma skończony rozmiar i energię, oraz że maszyna Turinga o skończonych wymiarach fizycznych i nieograniczonej pamięci nie jest fizycznie możliwa.

Równania

Uniwersalna forma wiązania została pierwotnie znaleziona przez Jacoba Bekensteina w 1981 roku jako nierówność

${\ Displaystyle S \ leq {\ Frac {2 \ pi kRE} {\ hbar c}}}$

gdzie S jest entropia , K jest stałą Boltzmanna , R jest promieniem z kuli , która może otoczyć danego systemu, E jest całkowita masa energii w tym wszelkich mas spoczynku , ħ jest zmniejszona stałą Plancka , a c jest prędkością światło . Zauważ, że chociaż grawitacja odgrywa znaczącą rolę w jej egzekwowaniu, wyrażenie na ograniczenie nie zawiera stałej grawitacyjnej  G .

W warunkach informacyjnych , zależność pomiędzy termodynamiczny entropii S i Shannon entropii H jest przez

${\ Displaystyle S = kH \ ln 2,}$

skąd

${\ Displaystyle H \ leq {\ Frac {2 \ pi RE} {\ hbar c \ ln 2}}}$

gdzie H jest entropią Shannona wyrażoną w liczbie bitów zawartych w stanach kwantowych w sferze. Współczynnik ln  2 pochodzi z określenia informacji jako logarytmu o podstawie 2 liczby stanów kwantowych. Wykorzystując równoważność masy i energii , granicę informacyjną można przeformułować jako

${\ Displaystyle H \ leq {\ Frac {2 \ pi cRM} {\ hbar \ ln 2}} \ około 2,5769082 \ razy 10 ^ {43} \ {\ Frac {\ tekst {bit}} {{\ tekst {kg }}\cdot {\text{m}}}}\cdot M\cdot R,}$

gdzie jest masą (w kg) i jest promieniem (w metrach) systemu. ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle R}$

Początki

Bekenstein wyprowadził granicę z heurystycznych argumentów dotyczących czarnych dziur . Jeśli istnieje system, który narusza granicę, tj. poprzez zbyt dużą entropię, Bekenstein argumentował, że możliwe byłoby naruszenie drugiej zasady termodynamiki poprzez obniżenie jej do czarnej dziury. W 1995 r. Ted Jacobson wykazał, że równania pola Einsteina (tj. ogólna teoria względności ) można wyprowadzić zakładając, że wiązanie Bekensteina i prawa termodynamiki są prawdziwe. Jednakże, chociaż opracowano szereg argumentów, które pokazują, że jakaś forma wiązania musi istnieć, aby prawa termodynamiki i ogólnej teorii względności były wzajemnie spójne, precyzyjne sformułowanie wiązania było przedmiotem debaty aż do pracy Casiniego w 2008 roku. .

Dowód w kwantowej teorii pola

Dowód na istnienie Bekensteina związanego w ramach kwantowej teorii pola dał w 2008 roku Casini. Jednym z kluczowych spostrzeżeń dowodu było znalezienie właściwej interpretacji wielkości pojawiających się po obu stronach granicy.

Naiwne definicje entropii i gęstości energii w Kwantowej Teorii Pola cierpią z powodu rozbieżności w ultrafiolecie . W przypadku wiązania Bekensteina rozbieżności w ultrafiolecie można uniknąć, biorąc różnice między wielkościami obliczonymi w stanie wzbudzonym i tymi samymi wielkościami obliczonymi w stanie próżni. Na przykład, biorąc pod uwagę region przestrzenny , Casini definiuje entropię po lewej stronie granicy Bekensteina jako ${\ Displaystyle V}$

${\ Displaystyle S_ {V} = S (\ rho _ {V}) - S (\ rho _ {V} ^ {0}) = - \ operatorname {tr} (\ rho _ {V} \ log \ rho _ {V})+\mathrm {tr} (\rho _{V}^{0}\log \rho _{V}^{0})}$

gdzie jest entropią von Neumanna macierzy o zredukowanej gęstości związanej w stanie wzbudzonym i odpowiadającą entropią von Neumanna dla stanu próżni . ${\ Displaystyle S (\ rho _ {V})}$ ${\ Displaystyle \ rho _ {V}}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle S (\ rho _ {V} ^ {0})}$${\ Displaystyle \ rho ^ {0}}$

Po prawej stronie granicy Bekensteina trudno jest podać rygorystyczną interpretację wielkości , gdzie jest charakterystyczną skalą długości układu i jest charakterystyczną energią. Ten iloczyn ma te same jednostki co generator podbicia Lorentza , a naturalnym analogiem podbicia w tej sytuacji jest modularny hamiltonian stanu próżni . Casini definiuje prawą stronę ograniczenia Bekensteina jako różnicę między wartością oczekiwaną modularnego hamiltonianu w stanie wzbudzonym i próżni, ${\displaystyle 2\pi RE}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle K = - \ log \ rho _ {V} ^ {0}}$

${\ Displaystyle K_ {V} = \ operatorname {tr} (K \ rho _ {V}) - \ operatorname {tr} (K \ rho _ {V} ^ {0}).}$

Z tymi definicjami, związanie brzmi:

${\ Displaystyle S_ {V} \ równoważnik K_ {V}}$

które można przearanżować, aby dać

${\ Displaystyle \ operatorname {tr} (\ rho _ {V} \ log \ rho _ {V}) - \ operatorname {tr} (\ rho _ {V} \ log \ rho _ {V} ^ {0}) \geq 0.}$

Jest to po prostu stwierdzenie o pozytywności względnej entropii , co dowodzi związania Bekensteina.

Przykłady

Czarne dziury

Zdarza się, że entropia graniczna Bekensteina–Hawkinga trójwymiarowych czarnych dziur dokładnie nasyca

${\ Displaystyle R_ {\ rm {s}} = {\ Frac {2GM} {c ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle A = 4 \ pi r_ {\ rm {s}} ^ {2} = {\ Frac {16 \ pi G ^ {2} M ^ {2}} {c ^ {4}}}}$

${\ Displaystyle l_ {\ rm {P}} ^ {2} = \ hbar G / c ^ {3},}$

${\ Displaystyle S = {\ Frac {kA} {4 \ l_ {\ rm {P}} ^ {2}}} = {\ Frac {4 \ pi kGM ^ {2}} {\ hbar c}}}$

gdzie jest stałą Boltzmanna , A jest dwuwymiarowym obszarem horyzontu zdarzeń czarnej dziury i jest długością Plancka . ${\displaystyle k}$${\displaystyle l_{\rm {P}}}$

Wiązanie jest ściśle związane z termodynamiką czarnej dziury , zasadą holograficzną i kowariancyjną entropią grawitacji kwantowej i może być wyprowadzone z przypuszczalnej silnej formy tej ostatniej.

Ludzki mózg

Przeciętny ludzki mózg ma masę 1,5 kg i objętość 1260 cm ³ . Jeśli mózg jest przybliżony przez kulę, promień wyniesie 6,7 cm.

Informacyjna granica Bekensteina będzie wynosić około 2,6 × 10 ⁴²  bitów i reprezentuje maksymalną informację potrzebną do doskonałego odtworzenia przeciętnego ludzkiego mózgu do poziomu kwantowego. Oznacza to, że liczba od stanów mózgu ludzkiego musi być mniejsza niż . ${\ Displaystyle O = 2 ^ {I}}$${\ Displaystyle \ około 10 ^ {7,8 \ razy 10 ^ {41}}}$

Zobacz też