Kolektor Whitehead - Whitehead manifold

Pierwsze trzy tori konstrukcji kolektora Whitehead

W matematyce The kolektora Whitehead jest otwarty 3-kolektor to kurczliwe , ale nie homeomorficzny się . JHC Whitehead  ( 1935 ) odkrył ten zagadkowy obiekt, gdy próbował udowodnić hipotezę Poincarégo , poprawiając błąd we wcześniejszej pracy Whitehead (1934 , twierdzenie 3), w której błędnie twierdził, że taka rozmaitość nie istnieje. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Rozmaitość kurczliwa to taka, która może być stale zmniejszana do punktu wewnątrz samej rozmaitości. Na przykład otwarta kula jest rozmaitością kurczliwą. Wszystkie rozmaitości homeomorficzne względem kuli również ulegają skurczeniu. Można zapytać, czy wszystkie rozmaitości kurczliwe są homeomorficzne w stosunku do kuli. Dla wymiarów 1 i 2 odpowiedź jest klasyczna i brzmi „tak”. W wymiarze 2 wynika to na przykład z twierdzenia Riemanna o odwzorowaniu . Wymiar 3 przedstawia pierwszy kontrprzykład : kolektor Whitehead.

Budowa

Zrób kopię , w sferze trójwymiarowej . Teraz znajdź zwarty, nierozwiązany, solidny torus wewnątrz kuli. (Stały torus jest zwykłym trójwymiarowym pączek , to znaczy wypełnionego torusa , który jest topologicznie a koło razy dysków ). Określenie zamknięty dopełniacza stałego środka torusa jest inny stały torusa. ${\ Displaystyle S ^ {3}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\ Displaystyle S ^ {3}}$

Pogrubiony link Whiteheada. W konstrukcji rozmaitości Whiteheada niebieski (nieskręcony) torus jest rurowym sąsiedztwem południka krzywej , a pomarańczowy torus to . Wszystko musi być zawarte w .${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle T_{2}}$${\displaystyle T_{1}}$

Teraz weźmy drugi torus do środka tak, że i cylindryczne sąsiedztwo krzywej południka jest pogrubionym połączeniem Whiteheada . ${\displaystyle T_{2}}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle T_{2}}$${\displaystyle T_{1}}$

Zauważ, że w uzupełnieniu południka , jest to zerowa homotopia . Można to zobaczyć, biorąc pod uwagę jako i krzywą południkową jako oś z wraz z . Torus ma zerową liczbę uzwojeń wokół osi z . W ten sposób następuje niezbędna zerowa homotopia. Ponieważ łącze Whiteheada jest symetryczne, tj. jest homeomorfizmem składowych 3-sferowych przełączników, prawdą jest również, że południk jest również zerowo-homotopiczny w dopełnieniu . ${\displaystyle T_{2}}$${\displaystyle T_{1}}$${\ Displaystyle S ^ {3}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3} \ filiżanka \ {\ infty \}}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle T_{2}}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle T_{2}}$

Teraz osadź w środku w taki sam sposób, jak leży w środku i tak dalej; do nieskończoności. Zdefiniuj W , kontinuum Whiteheada , które ma być , a dokładniej przecięciem wszystkich for . ${\displaystyle T_{3}}$${\displaystyle T_{2}}$${\displaystyle T_{2}}$${\displaystyle T_{1}}$${\ Displaystyle W = T_ {\ Infty}}$${\displaystyle T_{k}}$${\displaystyle k=1,2,3,\kropki}$

Rozdzielacz Whiteheada jest zdefiniowany jako , który jest rozmaitością niezwartą bez granic. Jak wynika z naszych wcześniejszych obserwacji, z twierdzenia Hurewicz , a twierdzenie Whiteheada na homotopii równoważności, że X jest kurczliwe. W rzeczywistości bliższa analiza wyników Mortona Browna pokazuje, że . Jednak X nie jest homeomorficzny z . Powodem jest to, że nie jest on po prostu połączony w nieskończoność . ${\ Displaystyle X = S ^ {3} \ setminus W}$${\ Displaystyle X \ razy \ mathbb {R} \ cong \ mathbb {R} ^ {4}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Jednopunktowe zagęszczenie X to przestrzeń (z W zgniecionym do punktu). To nie jest rozmaitość. Jest jednak homeomorficzny z . ${\ Displaystyle S ^ {3}/W}$${\ Displaystyle \ lewo (\ mathbb {R} ^ {3}/W \ prawo) \ razy \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$

David Gabai wykazał, że X jest połączeniem dwóch kopii, których przecięcie jest również homeomorficzne z . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Powiązane przestrzenie

Więcej przykładów otwartych, kurczliwych trójdzielników można skonstruować, postępując w podobny sposób i wybierając różne osadzenia w procesie iteracyjnym. Każde osadzenie powinno być nierozwiązanym stałym torusem w 3-sferze. Istotnymi właściwościami jest to, że południk nie powinien być homotopiczny w dopełnieniu , a ponadto długość geograficzna nie powinna być homotopiczna w . ${\displaystyle T_{i+1}}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle T_{i+1}}$${\displaystyle T_{i+1}}$${\ Displaystyle T_ {i} \ setminus T_ {i + 1}}$

Inną wariacją jest wybranie kilku podtori na każdym etapie zamiast tylko jednego. Stożki nad niektórymi z tych kontinuów pojawiają się jako uzupełnienie uchwytów Cassona w 4-kulce.

Przestrzeń psich kości nie jest rozmaitością, ale jej produkt jest homeomorficzny dla . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {1}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$

Zobacz też

• Lista topologii

Bibliografia

Dalsza lektura

• Kirby, Robion (1989). Topologia 4-rozmaitości . Notatki z matematyki, nr. 1374, Springer-Verlag. Numer ISBN 978-0-387-51148-1.
• Rolfsen, Dale (2003), „Sekcja 3.I.8.”, Węzły i linki , AMS Chelsea Publishing, s. 82, ISBN 978-0821834367
• Whitehead, JHC (1934), „Niektóre twierdzenia o trójwymiarowych rozmaitościach (I)”, Quarterly Journal of Mathematics , 5 (1): 308-320, Bibcode : 1934QJMat...5..308W , doi : 10.1093/qmath /os-5.1.308
• Whitehead, JHC (1935), „Pewna otwarta rozmaitość, której grupą jest jedność”, Quarterly Journal of Mathematics , 6 (1): 268-279, Bibcode : 1935QJMat...6..268W , doi : 10.1093/qmath/os -6.1.268