Ułamek jednostkowy - Unit fraction

Część jednostki jest liczbą wymierną zapisana jako ułamek w którym licznik jest jedno , a mianownik jest dodatnią liczbą całkowitą . Ułamek jednostkowy jest zatem odwrotnością dodatniej liczby całkowitej 1 / n . Przykłady to 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 itd.

Arytmetyka elementarna

Mnożenie dowolnych dwóch ułamków jednostkowych daje iloczyn, który jest kolejnym ułamkiem jednostkowym:

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {x}} \ times {\ Frac {1} {y}} = {\ Frac {1} {xy}}.}$

Jednak dodanie , odjęcie lub podzielenie dwóch ułamków jednostkowych daje wynik, który na ogół nie jest ułamkiem jednostkowym:

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {x}} + {\ Frac {1} {y}} = {\ Frac {x + y} {xy}}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {x}} - {\ Frac {1} {y}} = {\ Frac {yx} {xy}}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {x}} \ div {\ Frac {1} {y}} = {\ Frac {y} {x}}.}$

Arytmetyka modularna

Ułamki jednostkowe odgrywają ważną rolę w arytmetyce modularnej , ponieważ można je wykorzystać do zredukowania podziału modularnego do obliczenia największych wspólnych dzielników. W szczególności przypuśćmy, że chcemy dokonać dzielenia przez wartość x , modulo y . Aby dzielenie przez x było dobrze zdefiniowane modulo y , x i y muszą być względnie pierwsze . Następnie, używając rozszerzonego algorytmu euklidesowego dla największych wspólnych dzielników, możemy znaleźć a i b takie, że

${\ Displaystyle \ Displaystyle ax + by = 1,}$

z którego to wynika

${\ Displaystyle \ Displaystyle ax \ equiv 1 {\ pmod {y}},}$

lub równoważnie

${\ Displaystyle a \ equiv {\ Frac {1} {x}} {\ pmod {y}}.}$

Tak więc, aby podzielić przez x (modulo y ), wystarczy zamiast tego pomnożyć przez a .

Skończone sumy ułamków jednostkowych

Dowolną dodatnią liczbę wymierną można zapisać jako sumę ułamków jednostkowych na wiele sposobów. Na przykład,

${\ Displaystyle {\ Frac {4} {5}} = {\ Frac {1} {2}} + {\ Frac {1} {4}} + {\ Frac {1} {20}} = {\ Frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {10}}.}$

Starożytne cywilizacje egipskie stosowały w notacji sumy różnych ułamków jednostek dla bardziej ogólnych liczb wymiernych , dlatego takie sumy często nazywane są ułamkami egipskimi . Wciąż istnieje zainteresowanie analizowaniem metod używanych przez starożytnych do wybierania spośród możliwych reprezentacji liczby ułamkowej i obliczania za pomocą takich reprezentacji. Temat ułamków egipskich również wzbudził zainteresowanie współczesną teorią liczb ; na przykład hipotezy Erdősa – Grahama i Erdősa – Strausa dotyczą sum ułamków jednostkowych, podobnie jak definicja liczb harmonicznych Rudy .

W geometrycznej teorii grup , grupy trójkątów są klasyfikowane jako przypadki euklidesowe, sferyczne i hiperboliczne w zależności od tego, czy skojarzona suma ułamków jednostkowych jest odpowiednio równa jeden, większa niż jeden lub mniejsza niż jeden.

Szeregi ułamków jednostkowych

Wiele znanych nieskończonych szeregów ma wyrażenia, które są ułamkami jednostkowymi. Obejmują one:

• Szereg harmoniczny , suma wszystkich frakcji jednostek dodatnich. Suma ta jest rozbieżna i jej częściowe sumy

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {1}} + {\ Frac {1} {2}} + {\ Frac {1} {3}} + \ cdots + {\ Frac {1} {n}}}$

blisko przybliżone ln   n  +  γ wraz ze wzrostem n .

• Problemem Bazylea dotyczy sumy frakcji kwadratowych produktu, która zbiega się do gatunku ² /6
• Stała Apéry'ego jest sumą ułamków sześciennych jednostek.
• Binarny szereg geometryczny , który dodaje się do 2, i odwrotność stałej Fibonacciego są dodatkowymi przykładami szeregu złożonego z ułamków jednostkowych.

Macierze ułamków jednostkowych

Matrycy Hilberta jest matryca z elementami

${\ Displaystyle B_ {i, j} = {\ Frac {1} {i + j-1}}.}$

Ma niezwykłą właściwość, że wszystkie elementy w jego odwrotnej macierzy są liczbami całkowitymi. Podobnie Richardson (2001) zdefiniował macierz z elementami

${\ Displaystyle C_ {i, j} = {\ Frac {1} {F_ {i + j-1}}},}$

gdzie F _i oznacza i- tą liczbę Fibonacciego . Nazywa tę macierz macierzą Filberta i ma tę samą właściwość posiadania liczby całkowitej odwrotnej.

Sąsiadujące frakcje

Dwa ułamki nazywane są sąsiadującymi, jeśli ich różnica jest ułamkiem jednostkowym.

Ułamki jednostkowe prawdopodobieństwa i statystyki

W równomiernym rozkładzie na dyskretnej przestrzeni wszystkie prawdopodobieństwa są równymi ułamkami jednostkowymi. Ze względu na zasadę obojętności prawdopodobieństwa tej postaci często pojawiają się w obliczeniach statystycznych. Ponadto prawo Zipfa stwierdza, że ​​dla wielu obserwowanych zjawisk polegających na doborze elementów z uporządkowanego ciągu prawdopodobieństwo, że zostanie wybrany n- ty element, jest proporcjonalne do ułamka jednostkowego 1 / n .

Ułamki jednostkowe w fizyce

Poziomy energii fotonów, które mogą zostać zaabsorbowane lub wyemitowane przez atom wodoru, są, zgodnie ze wzorem Rydberga , proporcjonalne do różnic dwóch ułamków jednostkowych. Wyjaśnienie tego zjawiska dostarcza model Bohra , zgodnie z którym poziomy energii orbitali elektronowych w atomie wodoru są odwrotnie proporcjonalne do ułamków kwadratowych, a energia fotonu jest kwantowana do różnicy między dwoma poziomami.

Arthur Eddington argumentował, że stała struktury drobnoziarnistej to ułamek jednostkowy, najpierw 1/136, a następnie 1/137. Twierdzenie to zostało sfałszowane, biorąc pod uwagę, że obecne szacunki stałej struktury drobnoziarnistej wynoszą (do 6 cyfr znaczących) 1 / 137,036.

Zobacz też

• Submultiple

Bibliografia

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Ułamek jednostkowy” . MathWorld .