Frakcja - Fraction

Ciasto z usuniętą jedną czwartą (jedną czwartą). Pozostałe trzy czwarte są pokazane liniami kropkowanymi i oznaczone ułamkiem 1/4.

Frakcja (od łacińskiego Fractus „uszkodzony”) stanowi część całości lub, bardziej ogólnie, dowolnej liczby jednakowych elementów. Kiedy mówi się w codziennym angielskim, ułamek opisuje, ile jest części o określonej wielkości, na przykład połowa, osiem piąte, trzy czwarte. Powszechne , wulgarnych lub prostą część (przykłady: i ) składa się z licznikiem wyświetlane powyżej linii (albo przed cięciem, jak 1 / 2 ), a nie od zera mianownika , przedstawiono poniżej (lub później), który linii. Liczniki i mianowniki są również używane w ułamkach, które nie są powszechne , w tym ułamkach złożonych, ułamkach złożonych i liczbach mieszanych.

W dodatnich ułamkach wspólnych licznik i mianownik są liczbami naturalnymi . Licznik reprezentuje liczbę równych części, a mianownik wskazuje, ile z tych części składa się na jednostkę lub całość. Mianownik nie może być zerem, ponieważ zero części nigdy nie może stanowić całości. Na przykład we frakcji3/4, licznik 3 wskazuje, że ułamek reprezentuje 3 równe części, a mianownik 4 wskazuje, że 4 części tworzą całość. Zdjęcie po prawej ilustruje3/4 ciasta.

Ułamek wspólny to liczba reprezentująca liczbę wymierną . Ta sama liczba może być również reprezentowana jako ułamek dziesiętny , procent lub z ujemnym wykładnikiem. Na przykład 0,01, 1% i 10-2 są równe ułamkowi 1/100. Całkowita może być uważany jako posiadający ukryte mianownik jednego (na przykład 7 wynosi 7/1).

Inne zastosowania ułamków to reprezentowanie stosunków i dzielenia . Tak więc ułamek3/4może być również użyty do przedstawienia stosunku 3:4 (stosunek części do całości) i dzielenia 3 ÷ 4 (trzy podzielone przez cztery). Zasada niezerowego mianownika, która ma zastosowanie przy przedstawianiu dzielenia jako ułamka, jest przykładem zasady, że dzielenie przez zero jest niezdefiniowane.

Możemy również zapisać ułamki ujemne, które stanowią przeciwieństwo ułamka dodatniego. Na przykład, jeśli1/2 oznacza pół dolara zysku, wtedy −1/2oznacza stratę pół dolara. Ze względu na zasady dzielenia liczb ze znakiem (które częściowo stwierdzają, że liczba ujemna podzielona przez dodatni jest ujemna), −1/2, -1/2 oraz 1/-2wszystkie reprezentują ten sam ułamek — ujemną połowę. A ponieważ negatyw podzielony przez negatyw daje pozytyw,-1/-2 reprezentuje dodatnią połowę.

W matematyce zbiór wszystkich liczb, które można wyrazić w postaci a/b, gdzie a i b są liczbami całkowitymi, a b nie jest zerem, nazywamy zbiorem liczb wymiernych i jest reprezentowany przez symbol Q , który oznacza iloraz . Liczba jest liczbą wymierną dokładnie wtedy, gdy można ją zapisać w tej formie (tj. jako ułamek zwykły). Jednak słowo ułamek może być również używane do opisu wyrażeń matematycznych, które nie są liczbami wymiernymi. Przykłady tych zastosowań obejmują ułamki algebraiczne (iloraz wyrażeń algebraicznych) i wyrażenia zawierające liczby niewymierne , takie jak (patrz pierwiastek kwadratowy z 2 ) iπ/4(patrz dowód, że π jest nieracjonalne ).

Słownictwo

W ułamku, liczba równych części, które są opisane, jest licznikiem (od łacińskiego licznik , „licznik” lub „liczba”), a typ lub odmiana części jest mianownikiem (od łacińskiego dēnōminātor , „rzecz, która nazywa lub oznacza "). Na przykład ułamek8/5składa się z ośmiu części, z których każda jest typu „piąta”. Pod względem dzielenia licznik odpowiada dywidendzie , a mianownik odpowiada dzielnikowi .

Nieformalnie licznik i mianownik można odróżnić tylko na podstawie umieszczenia, ale w formalnych kontekstach są one zwykle oddzielone kreską ułamkową . Słupek ułamka może być poziomy (jak w1/3), ukośny (jak w 2/5) lub ukośny (jak w 49 ). Znaki te są odpowiednio znane jako poziomy pasek; virgule, ukośnik ( USA ) lub udar ( UK ); oraz kreskę ułamkową, solidus lub ukośnik ułamkowy . W typografii ułamki ułożone pionowo są również znane jako „ en ” lub „ ułamki orzechowe ”, a ułamki ukośne jako „ em ” lub „ułamki baranie”, w zależności od tego, czy ułamek z jednocyfrowym licznikiem i mianownikiem zajmuje proporcję zawężenia pl kwadratowy lub szerszym em placu. W tradycyjnym odlewaniu kroju czcionka nosząca pełny ułamek (np1/2) był znany jako „ułamek przypadku”, podczas gdy te reprezentujące tylko część ułamka nazywano „ułamkami jednostkowymi”.

Mianowniki ułamków angielskich są zazwyczaj wyrażane jako liczby porządkowe , w liczbie mnogiej, jeśli licznikiem nie jest 1. (Na przykład2/5 oraz 3/5oba są odczytywane jako liczba „piątych”.) Wyjątki obejmują mianownik 2, który jest zawsze czytany jako „połowa” lub „połówki”, mianownik 4, który może być alternatywnie wyrażany jako „ćwiartka”/„ćwiartki” lub jako „ czwarty"/"czwarte" i mianownik 100, który może być alternatywnie wyrażony jako "setne"/"setne" lub " procent ".

Gdy mianownik wynosi 1, może być wyrażony jako „całkowite”, ale częściej jest ignorowany, gdy licznik jest odczytywany jako liczba całkowita. Na przykład,3/1można opisać jako „trzy całości” lub po prostu jako „trzy”. Gdy licznik wynosi 1, można go pominąć (jak w „dziesiątej części” lub „każda ćwiartka”).

Cały ułamek może być wyrażony jako pojedynczy skład, w którym to przypadku jest dzielony, lub jako liczba ułamków z licznikiem jeden, w którym to przypadku nie są. (Na przykład „dwie piąte” to ułamek2/5 a „dwie piąte” to ten sam ułamek rozumiany jako 2 przypadki 1/5.) Ułamki powinny być zawsze dzielone, gdy są używane jako przymiotniki. Alternatywnie ułamek można opisać, odczytując go jako licznik „nad” mianownikiem, z mianownikiem wyrażonym w postaci liczby kardynalnej . (Na przykład,3/1może być również wyrażony jako „trzy nad jednym”.) Termin „nad” jest używany nawet w przypadku ułamków solidusowych, gdzie liczby są umieszczane po lewej i prawej stronie ukośnika . (Na przykład 1/2 można odczytać jako „połowa”, „jedna połowa” lub „jeden na dwa”). Ułamki z dużymi mianownikami, które nie są potęgami dziesięciu, są często przedstawiane w ten sposób (np.1/117 jako „jeden na sto siedemnaście”), podczas gdy te z mianownikami podzielnymi przez dziesięć są zwykle odczytywane w normalny sposób porządkowy (np. 6/1000000 jako „sześć milionowych”, „sześć milionowych” lub „sześć milionowych”).

Formy ułamków

Ułamki proste, pospolite lub wulgarne

Prosty frakcja (znany również jako ułamka zwykłego lub frakcji wulgarny , gdzie wulgarnych jest łacinie „wspólne”) jest liczbą wymierną zapisać jako a / b lub , gdzie i b są zarówno liczby całkowite . Podobnie jak w przypadku innych ułamków, mianownik ( b ) nie może wynosić zero. Przykłady obejmują , , i . Termin ten był pierwotnie używany do odróżnienia tego typu ułamka od ułamka sześćdziesiętnego używanego w astronomii.

Wspólne ułamki mogą być dodatnie lub ujemne i mogą być prawidłowe lub niewłaściwe (patrz poniżej). Ułamki złożone, ułamki złożone, liczby mieszane i ułamki dziesiętne (patrz poniżej) nie są zwykłymi ułamkami; chociaż, o ile nie są irracjonalne, można je oszacować do wspólnego ułamka.

  • Część jednostki jest wspólna część z licznika 1 (EG ). Ułamki jednostkowe mogą być również wyrażone za pomocą ujemnych wykładników, jak w 2 −1 , co reprezentuje 1/2 i 2 −2 , co reprezentuje 1/(2 2 ) lub 1/4.
  • Frakcja dwójkowym jest wspólna część, w której w mianowniku jest potęgą dwóch , np .

W Unicode wstępnie złożone znaki ułamkowe znajdują się w bloku Formy liczbowe .

Ułamki właściwe i niewłaściwe

Wspólne ułamki można sklasyfikować jako właściwe lub niewłaściwe. Gdy licznik i mianownik są dodatnie, ułamek nazywa się prawidłowym, jeśli licznik jest mniejszy od mianownika, a niewłaściwym w przeciwnym razie. Pojęcie „niewłaściwego ułamka” jest późnym rozwojem, a terminologia wywodzi się z faktu, że „ułamek” oznacza „kawałek”, więc właściwy ułamek musi być mniejszy niż 1. Zostało to wyjaśnione w XVII-wiecznym podręczniku The Ground Sztuki .

Ogólnie rzecz biorąc, ułamek zwykły jest uważany za ułamek właściwy , jeśli wartość bezwzględna ułamka jest ściśle mniejsza niż jeden — to znaczy, jeśli ułamek jest większy niż -1 i mniejszy niż 1. Mówi się, że jest niewłaściwa ułamek , a czasem ułamek ciężki , jeśli wartość bezwzględna ułamka jest większa lub równa 1. Przykładami ułamków właściwych są 2/3, −3/4 i 4/9, natomiast przykłady ułamków niewłaściwych to 9 /4, -4/3 i 3/3.

Odwrotności i „niewidzialny mianownik”

Wzajemny ułamka jest inna część w liczniku i mianowniku wymianie. Odwrotność , na przykład, jest . Iloczyn ułamka i jego odwrotności wynosi 1, stąd odwrotność jest odwrotnością mnożnika ułamka. Odwrotność ułamka właściwego jest niewłaściwa, a odwrotność ułamka niewłaściwego nie równego 1 (czyli licznik i mianownik nie są równe) jest ułamkiem właściwym.

Gdy licznik i mianownik ułamka są równe (na przykład ), jego wartość wynosi 1, a zatem ułamek jest niewłaściwy. Jej odwrotność jest identyczna, a więc również równa 1 i niewłaściwa.

Dowolną liczbę całkowitą można zapisać jako ułamek, a mianownikiem będzie liczba jeden. Na przykład 17 można zapisać jako , gdzie 1 jest czasami określane jako niewidzialny mianownik . Dlatego każdy ułamek lub liczba całkowita, z wyjątkiem zera, ma odwrotność. Na przykład. odwrotność 17 to .

Stosunki

Stosunek związek pomiędzy dwoma lub więcej kodów, które mogą czasami być wyrażona jako ułamek. Zazwyczaj szereg elementów jest grupowanych i porównywanych w proporcji, określając liczbowo relację między każdą grupą. Stosunki są wyrażone jako „grupa 1 do grupy 2… do grupy n ”. Na przykład, jeśli partia samochodów składała się z 12 pojazdów, z czego

  • 2 są białe,
  • 6 jest czerwonych i
  • 4 są żółte,

wtedy stosunek samochodów czerwonych do białych i żółtych wynosi 6 do 2 do 4. Stosunek samochodów żółtych do białych wynosi 4 do 2 i może być wyrażony jako 4:2 lub 2:1.

Stosunek jest często konwertowany na ułamek, gdy jest wyrażony jako stosunek do całości. W powyższym przykładzie stosunek żółtych samochodów do wszystkich samochodów na parceli wynosi 4:12 lub 1:3. Możemy przeliczyć te stosunki na ułamek i powiedzieć, że4/12 samochodów lub 1/3samochody na parkingu są żółte. Dlatego też, jeśli dana osoba losowo wybrała jeden samochód na parceli, to istnieje jedna na trzy szansa lub prawdopodobieństwo , że będzie on żółty.

Ułamki dziesiętne i procenty

Ułamek dziesiętny jest ułamkiem którego mianownik nie podano wyraźnie, ale rozumie się całkowitą moc dziesięć. Ułamki dziesiętne są powszechnie wyrażane za pomocą notacji dziesiętnej, w której implikowany mianownik jest określony przez liczbę cyfr po prawej stronie separatora dziesiętnego , których wygląd (np. kropka, kropka wypukła (•), przecinek) zależy od ustawienia regionalne (przykłady patrz separator dziesiętny ). Tak więc dla 0,75 licznik wynosi 75, a domniemany mianownik to 10 do drugiej potęgi, a mianowicie. 100, ponieważ po prawej stronie separatora dziesiętnego znajdują się dwie cyfry. W liczbach dziesiętnych większych niż 1 (takich jak 3,75) część ułamkowa liczby jest wyrażona cyframi po prawej stronie przecinka (w tym przypadku ma wartość 0,75). 3,75 można zapisać albo jako ułamek niewłaściwy, 375/100, albo jako liczbę mieszaną, .

Ułamki dziesiętne można również wyrazić za pomocą notacji naukowej z ujemnymi wykładnikami, takimi jak6,023 x 10 -7 , co oznacza 0.0000006023. ten10 -7 oznacza mianownik10 7 . Dzielenie przez10 7 przesuwa punkt dziesiętny o 7 miejsc w lewo.

Ułamki dziesiętne z nieskończenie wieloma cyframi po prawej stronie separatora dziesiętnego reprezentują serię nieskończoną . Na przykład,1/3 = 0,333... reprezentuje nieskończony szereg 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ... .

Innym rodzajem ułamka jest procent (łac. percentum oznacza „na sto”, reprezentowany przez symbol %), w którym domniemany mianownik to zawsze 100. Zatem 51% oznacza 51/100. Procenty większe niż 100 lub mniejsze od zera są traktowane w ten sam sposób, np. 311% równa się 311/100, a -27% równa się -27/100.

Pokrewne pojęcie promila lub części na tysiąc (ppt) ma domniemany mianownik 1000, podczas gdy bardziej ogólny zapis części na milion , np. 75 części na milion (ppm), oznacza, że ​​proporcja wynosi 75/1 000 000.

To, czy używane są zwykłe ułamki zwykłe, czy ułamki dziesiętne, jest często kwestią gustu i kontekstu. Wspólne ułamki są używane najczęściej, gdy mianownik jest stosunkowo mały. Przez obliczenia psychicznego , łatwiej jest pomnożyć 16 przez 3/16 niż robić te same obliczenia za pomocą odpowiednik dziesiętny frakcji'S (0,1875). I dokładniej jest na przykład pomnożyć 15 przez 1/3 niż pomnożyć 15 przez dowolne przybliżenie dziesiętne jednej trzeciej. Wartości pieniężne są zwykle wyrażane jako ułamki dziesiętne z mianownikiem 100, tj. z dwoma miejscami po przecinku, na przykład 3,75 USD. Jednakże, jak wspomniano powyżej, w brytyjskiej walucie przed przecinkiem szylingom i pensom często przypisywano formę (ale nie znaczenie) ułamka, jak na przykład 3/6 (czytaj „trzy i sześć”), co oznacza 3 szylingi i 6 pensów i nie ma związku z ułamkiem 3/6.

Liczby mieszane

Liczba mieszana (zwana także ułamkiem mieszanym lub ułamkiem mieszanym ) to tradycyjne oznaczenie sumy niezerowej liczby całkowitej i ułamka właściwego (o tym samym znaku). Jest używany głównie w pomiarach: na przykład w calach. Pomiary naukowe prawie zawsze używają notacji dziesiętnej zamiast liczb mieszanych. Suma jest dorozumiana bez użycia widocznego operatora, takiego jak odpowiedni „+”. Na przykład, odnosząc się do dwóch całych ciastek i trzech czwartych innego ciastka, liczby oznaczające część całkowitą i ułamkową ciastka są pisane obok siebie, ponieważ zamiast jednoznacznego zapisu. Ujemne liczby mieszane, jak w , są traktowane jak Każda taka suma całości plus część może być zamieniona na ułamek niewłaściwy , stosując zasady dodawania niepodobnych ilości .

Ta tradycja jest formalnie w konflikcie z notacją w algebrze, gdzie sąsiednie symbole, bez wyraźnego operatora wrostkowego , oznaczają iloczyn. W wyrażeniu „zrozumianą” operacją jest mnożenie. Jeśli zostanie zastąpiony przez, na przykład, ułamek , "rozumiane" mnożenie należy zastąpić jawnym mnożeniem, aby uniknąć pojawienia się liczby mieszanej.

Kiedy mnożenie jest zamierzone, można zapisać jako

lub lub

Niewłaściwy ułamek można przekształcić w liczbę mieszaną w następujący sposób:

  1. Używając dzielenia euklidesowego (dzielenie z resztą), podziel licznik przez mianownik. W przykładzie podziel 11 przez 4. 11 ÷ 4 = 2 reszta 3.
  2. Iloraz (bez reszty) staje się liczbę całkowitą część numeru mieszanej. Reszta staje się licznikiem części ułamkowej. W tym przykładzie 2 to część liczby całkowitej, a 3 to licznik części ułamkowej.
  3. Nowy mianownik jest taki sam jak mianownik ułamka niewłaściwego. W tym przykładzie jest to 4. Tak więc .

Pojęcia historyczne

frakcja egipska

Ułamek egipski stanowi sumę różnych ułamków dodatni, np . Definicja ta wywodzi się z faktu, że starożytni Egipcjanie wyrażali wszystkie ułamki z wyjątkiem , iw ten sposób. Każda dodatnia liczba wymierna może być rozszerzona jako ułamek egipski. Na przykład można zapisać jako Dowolna dodatnia liczba wymierna może być zapisana jako suma ułamków jednostkowych na nieskończenie wiele sposobów. Dwa sposoby pisania to i .

Frakcje złożone i złożone

W ułamku zespolonym , licznik lub mianownik, lub oba, to ułamek lub liczba mieszana odpowiadająca dzieleniu ułamków. Na przykład i są ułamkami złożonymi. Aby zredukować ułamek złożony do ułamka prostego, traktuj najdłuższą linię ułamka jako reprezentującą dzielenie. Na przykład:

Jeśli w ułamku zespolonym nie ma unikalnego sposobu określenia, które wiersze ułamka mają pierwszeństwo, to wyrażenie to jest nieprawidłowo utworzone z powodu niejednoznaczności. Zatem 5/10/20/40 nie jest prawidłowym wyrażeniem matematycznym, z powodu wielu możliwych interpretacji, np. as

lub jak

Frakcja związek jest ułamkiem frakcji lub dowolną liczbę frakcji połączonych ze słowem o , odpowiednio do namnażania frakcji. Aby zredukować ułamek złożony do ułamka prostego, po prostu wykonaj mnożenie (patrz rozdział o mnożeniu ). Na przykład, of jest frakcją złożoną, odpowiadającą . Terminy frakcja złożona i frakcja złożona są blisko spokrewnione i czasami jedno jest używane jako synonim drugiego. (Na przykład frakcja złożona jest równoważna frakcji złożonej .)

Niemniej jednak „frakcja złożona” i „frakcja złożona” mogą być zarówno uważane za przestarzałe, jak i obecnie używane w nieprecyzyjny sposób, częściowo nawet traktowane jako synonimy dla siebie nawzajem lub dla liczb mieszanych. Straciły one swoje znaczenie jako terminy techniczne, a atrybuty „złożony” i „złożony” są zwykle używane w ich codziennym znaczeniu „składający się z części”.

Arytmetyka z ułamkami

Podobnie jak liczby całkowite, ułamki są zgodne z prawami przemienności , asocjacji i rozdzielności oraz regułą przeciw dzieleniu przez zero .

Równoważne ułamki

Pomnożenie licznika i mianownika ułamka przez tę samą (niezerową) liczbę daje w wyniku ułamek, który jest odpowiednikiem oryginalnego ułamka. Jest to prawdą, ponieważ dla dowolnej liczby niezerowej ułamek równy jest . Dlatego mnożenie przez jest tym samym, co mnożenie przez jeden, a każda liczba pomnożona przez jeden ma taką samą wartość jak pierwotna liczba. Na przykład zacznij od ułamka . Gdy licznik i mianownik są pomnożone przez 2, wynikiem jest , który ma taką samą wartość (0,5) jak . Aby zobrazować to wizualnie, wyobraź sobie krojenie ciasta na cztery kawałki; dwa kawałki razem ( ) tworzą połowę ciasta ( ).

Upraszczanie (redukcja) ułamków

Dzielenie licznika i mianownika ułamka przez tę samą liczbę niezerową daje ułamek równoważny: jeśli licznik i mianownik ułamka są podzielne przez liczbę (zwaną współczynnikiem) większą niż 1, to ułamek można zmniejszyć do ułamka równoważnego z mniejszym licznikiem i mniejszym mianownikiem. Na przykład, jeśli licznik i mianownik ułamka są podzielne przez to można je zapisać jako i i ułamek staje się , który można zmniejszyć dzieląc licznik i mianownik przez, aby uzyskać ułamek zmniejszony

Jeżeli weźmie się za c o największy wspólny dzielnik licznika i mianownika, dostaje równoważną część której licznik, jak i mianownik mają najniższe wartości bezwzględne . Mówi się, że ułamek został zredukowany do najniższych wartości .

Jeśli licznik i mianownik nie mają wspólnego czynnika większego niż 1, ułamek jest już sprowadzony do najniższych wartości i mówi się, że jest nieredukowalny , zredukowany lub w najprostszy sposób . Na przykład nie jest w najniższych wartościach, ponieważ zarówno 3, jak i 9 można dokładnie podzielić przez 3. W przeciwieństwie do tego, jest w najniższych wartościach — jedyną dodatnią liczbą całkowitą, która równo daje 3 i 8 jest 1.

Korzystając z tych reguł możemy pokazać, że np.

Jako inny przykład, ponieważ największym wspólnym dzielnikiem 63 i 462 jest 21, ułamek można zredukować do najniższych wartości dzieląc licznik i mianownik przez 21:

Algorytm Euklidesa daje metodę znajdowania największy wspólny dzielnik dwóch dowolnych liczb całkowitych.

Porównywanie ułamków

Porównywanie ułamków o tym samym dodatnim mianowniku daje ten sam wynik, co porównywanie liczników:

ponieważ 3 > 2 , a równe mianowniki są dodatnie.

Jeśli równe mianowniki są ujemne, dla ułamków obowiązuje odwrotny wynik porównania liczników:

Jeśli dwa ułamki dodatnie mają ten sam licznik, większą liczbą jest ułamek z mniejszym mianownikiem. Kiedy całość jest podzielona na równe części, jeśli do utworzenia całości potrzeba mniej równych części, każdy kawałek musi być większy. Gdy dwa ułamki dodatnie mają ten sam licznik, reprezentują tę samą liczbę części, ale w ułamku o mniejszym mianowniku części są większe.

Jednym ze sposobów porównywania ułamków z różnymi licznikami i mianownikami jest znalezienie wspólnego mianownika. Aby porównać i , są one konwertowane na i (gdzie kropka oznacza mnożenie i jest symbolem alternatywnym do ×). Wtedy bd jest wspólnym mianownikiem, a liczniki ad i bc można porównać. Do porównywania ułamków nie trzeba określać wartości wspólnego mianownika – można po prostu porównać ad i bc , nie oceniając bd , np. porównując  ? daje .

Na bardziej pracochłonne pytanie  ? pomnóż górę i dół każdej frakcji przez mianownik drugiej frakcji, aby uzyskać wspólny mianownik, otrzymując  ? . Nie trzeba liczyć – wystarczy porównać liczniki. Ponieważ 5×17 (=85) jest większe niż 4×18 (=72), wynik porównania to .

Ponieważ każda liczba ujemna, w tym ułamki ujemne, jest mniejsza od zera, a każda liczba dodatnia, w tym ułamki dodatnie, jest większa od zera, wynika z tego, że każdy ułamek ujemny jest mniejszy niż dowolny ułamek dodatni. Pozwala to, wraz z powyższymi regułami, na porównanie wszystkich możliwych ułamków.

Dodatek

Pierwsza zasada dodawania jest taka, że ​​można dodawać tylko podobne ilości; na przykład różne ilości ćwiartek. W przeciwieństwie do ilości, takich jak dodawanie tercji do ćwiartek, należy je najpierw przekonwertować na podobne ilości, jak opisano poniżej: Wyobraź sobie kieszeń zawierającą dwie ćwiartki i inną kieszeń zawierającą trzy ćwiartki; w sumie jest pięć kwartałów. Ponieważ cztery ćwiartki są równoważne jednemu (dolarowi), można to przedstawić w następujący sposób:

.
Jeśli do ciasta ma być dodany placek, kawałki muszą zostać przeliczone na porównywalne ilości, takie jak ósemki lub ćwiartki ciasta.

Dodawanie niepodobnych ilości

Aby dodać ułamki zawierające różne ilości (np. ćwiartki i tercje), konieczne jest przeliczenie wszystkich ilości na podobne ilości. Łatwo jest wypracować wybrany typ ułamka do konwersji; po prostu pomnóż dwa mianowniki (liczba dolna) każdej frakcji. W przypadku liczby całkowitej należy zastosować niewidoczny mianownik

Przy dodawaniu ćwiartek do trzecich oba typy ułamków są przeliczane na dwunaste, a więc:

Rozważ dodanie następujących dwóch ilości:

Najpierw zamień na piętnaste, mnożąc licznik i mianownik przez trzy: . Ponieważ jest równe 1, mnożenie przez nie zmienia wartości ułamka.

Po drugie, zamień na piętnaste, mnożąc licznik i mianownik przez pięć: .

Teraz widać, że:

jest równa:

Metodę tę można wyrazić algebraicznie:

Ta metoda algebraiczna zawsze działa, gwarantując w ten sposób, że suma ułamków prostych jest zawsze ułamkiem prostym. Jeśli jednak pojedyncze mianowniki zawierają wspólny czynnik, można użyć mianownika mniejszego niż iloczyn ich. Na przykład, gdy dodawanie i pojedyncze mianowniki mają wspólny dzielnik, a zatem zamiast mianownika 24 (4 × 6) można użyć połówki mianownika 12, zmniejszając nie tylko mianownik w wyniku, ale także współczynniki w licznik ułamka.

Najmniejszy możliwy mianownik określa najmniejsza wspólna wielokrotność pojedynczych mianowników, co wynika z podzielenia wielokrotności rotacyjnej przez wszystkie wspólne czynniki poszczególnych mianowników. Nazywa się to najmniejszym wspólnym mianownikiem.

Odejmowanie

Proces odejmowania ułamków jest w zasadzie taki sam, jak proces ich dodawania: znajdź wspólny mianownik i zmień każdy ułamek na równoważny ułamek o wybranym wspólnym mianowniku. Otrzymany ułamek będzie miał ten mianownik, a jego licznik będzie wynikiem odjęcia liczników oryginalnych ułamków. Na przykład,

Mnożenie

Mnożenie ułamka przez inny ułamek

Aby pomnożyć ułamki, pomnóż liczniki i pomnóż mianowniki. Zatem:

Aby wyjaśnić ten proces, rozważ jedną trzecią jednej czwartej. Na przykładzie ciasta, jeśli trzy małe plasterki równej wielkości tworzą ćwiartkę, a cztery ćwiartki tworzą całość, dwanaście takich małych, równych plasterków tworzy całość. Dlatego jedna trzecia jednej czwartej to dwunasta. Rozważmy teraz liczniki. Pierwsza frakcja, dwie trzecie, jest dwa razy większa niż jedna trzecia. Ponieważ jedna trzecia jednej czwartej to jedna dwunasta, dwie trzecie jednej czwartej to dwie dwunaste. Druga część, trzy czwarte, jest trzy razy większa niż jedna czwarta, więc dwie trzecie trzech czwartych jest trzy razy większa niż dwie trzecie jednej czwartej. Zatem dwie trzecie razy trzy czwarte to sześć dwunastych.

Skrót do mnożenia ułamków nazywa się „anulowaniem”. Skutecznie odpowiedź jest sprowadzana do najniższych wyrazów podczas mnożenia. Na przykład:

Dwójka jest wspólnym czynnikiem zarówno w liczniku lewej frakcji, jak i mianowniku prawej i jest dzielona z obu. Trzy jest wspólnym dzielnikiem lewego mianownika i prawego licznika i jest dzielona z obu.

Mnożenie ułamka przez liczbę całkowitą

Ponieważ liczbę całkowitą można przepisać jako samą podzieloną przez 1, nadal mogą obowiązywać normalne zasady mnożenia ułamków.

Ta metoda działa, ponieważ ułamek 6/1 oznacza sześć równych części, z których każda jest całością.

Mnożenie liczb mieszanych

Przy mnożeniu liczb mieszanych uważa się za lepsze przekształcenie liczby mieszanej w ułamek niewłaściwy. Na przykład:

Innymi słowy, jest to samo , co , zrobienie łącznie 11 ćwiartek (ponieważ 2 ciastka, każdy podzielony na ćwiartki, daje w sumie 8 ćwiartek), a 33 ćwiartki to , ponieważ 8 ciastek, każdy z ćwiartek, to łącznie 32 ćwiartki.

Podział

Aby podzielić ułamek przez liczbę całkowitą, możesz albo podzielić licznik przez liczbę, jeśli idzie równo w liczniku, albo pomnożyć mianownik przez liczbę. Na przykład równa się, a także równa się , co zmniejsza się do . Aby podzielić liczbę przez ułamek, pomnóż tę liczbę przez odwrotność tego ułamka. Tak więc .

Konwersja między ułamkami dziesiętnymi i ułamkami zwykłymi

Aby zmienić zwykły ułamek na ułamek dziesiętny, wykonaj długie dzielenie reprezentacji dziesiętnych licznika przez mianownik (jest to również idiomatycznie sformułowane jako „podziel mianownik na licznik”) i zaokrąglij odpowiedź do pożądanej dokładności. Na przykład, aby zmienić1/4do ułamka dziesiętnego, podziel przez (" na "), aby uzyskać . Zmienić1/3do ułamka dziesiętnego, podziel przez (" na ") i zatrzymaj się, gdy zostanie osiągnięta żądana dokładność, np. w miejscach dziesiętnych z . Frakcja1/4 można zapisać dokładnie z dwiema cyframi dziesiętnymi, podczas gdy ułamek 1/3nie można zapisać dokładnie jako ułamka dziesiętnego ze skończoną liczbą cyfr. Aby zmienić ułamek dziesiętny na ułamek dziesiętny, napisz w mianowniku a, po którym następuje tyle zer, ile jest cyfr na prawo od przecinka dziesiętnego, i wpisz w liczniku wszystkie cyfry oryginalnego miejsca dziesiętnego, pomijając przecinek dziesiętny. Zatem

Zamiana powtarzanych ułamków dziesiętnych na ułamki zwykłe

Liczby dziesiętne, choć prawdopodobnie bardziej przydatne podczas wykonywania obliczeń, czasami nie mają precyzji, jaką mają zwykłe ułamki. Czasami, aby osiągnąć tę samą precyzję, wymagana jest nieskończona powtarzająca się liczba dziesiętna . Dlatego często przydatne jest przekształcenie ułamków dziesiętnych powtarzanych na ułamki zwykłe.

Preferowanym sposobem wskazują powtarzalne po przecinku jest umieszczenie paska (znany jako Vinculum ) W powtórzonych cyfr, na przykład 0. 789 = 0.789789789 ... Dla powtarzających się wzorców, gdzie powtarzając wzór rozpoczyna się natychmiast po przecinku, A wystarczy prosty podział wzoru przez taką samą liczbę dziewiątek, jaką ma. Na przykład:

0. 5 = 5/9
0. 62 = 62/99
0. 264 = 264/999
0. 6291 = 6291/9999

W przypadku , gdy początkowe zera poprzedzają wzorzec, dziewiątki są poprzedzone taką samą liczbą zer końcowych :

0,0 5 = 5/90
0,000 392 = 392/999000
0,00 12 = 12/9900

W przypadku, gdy wzór poprzedza niepowtarzający się zbiór miejsc dziesiętnych (np. 0.1523 987 ), możemy zapisać go jako sumę części niepowtarzalnych i powtarzających się odpowiednio:

0,1523 + 0,0000 987

Następnie przekonwertuj obie części na ułamki i dodaj je za pomocą metod opisanych powyżej:

1523 / 10000 + 987 / 9990000 = 1522464 / 9990000

Alternatywnie można użyć algebry, jak poniżej:

  1. Niech x = powtarzalny dziesiętny:
    x = 0,1523 987
  2. Pomnóż obie strony przez potęgę 10 wystarczająco dużo (w tym przypadku 10 4 ), aby przesunąć kropkę dziesiętną tuż przed powtarzającą się częścią liczby dziesiętnej:
    10 000 x = 1523. 987
  3. Pomnóż obie strony przez potęgę 10 (w tym przypadku 10 3 ), która jest równa liczbie powtarzających się miejsc:
    10 000 000 x = 1 523 987. 987
  4. Odejmij dwa równania od siebie (jeśli a = b i c = d , to ac = bd ):
    10 000 000 x − 10 000 x = 1 523 987. 987 - 1523. 987
  5. Kontynuuj operację odejmowania, aby usunąć powtarzalny dziesiętny:
    9 990 000 x = 1 523 987 - 1523
    9 990 000 x = 1 522 464
  6. Podziel obie strony przez 9 990 000, aby przedstawić x jako ułamek
    x = 1522464 / 9990000

Ułamki w matematyce abstrakcyjnej

Oprócz tego, że mają duże znaczenie praktyczne, ułamki są również badane przez matematyków, którzy sprawdzają, czy podane powyżej reguły dotyczące ułamków są spójne i wiarygodne . Matematyków określić frakcję i uporządkowanej pary z liczb całkowitych a , dla którego operacje dodawanie , odejmowanie , mnożenie i dzielenie są zdefiniowane w następujący sposób:

Definicje te są w każdym przypadku zgodne z definicjami podanymi powyżej; tylko notacja jest inna. Alternatywnie, zamiast definiowania odejmowania i dzielenia jako operacji, „odwrotne” ułamki w odniesieniu do dodawania i mnożenia można zdefiniować jako:

Ponadto relacja , określona jako

jest relacją równoważności ułamków. Każdy ułamek z jednej klasy równoważności może być uważany za reprezentatywny dla całej klasy, a każda cała klasa może być uważana za jeden abstrakcyjny ułamek. Ta równoważność jest utrzymywana przez wyżej zdefiniowane operacje, tj. wyniki operowania na ułamkach są niezależne od doboru reprezentantów z ich klasy równoważności. Formalnie do dodawania frakcji

i sugerować

i podobnie dla pozostałych operacji.

W przypadku ułamków liczb całkowitych ułamki a/bgdzie a i b względnie pierwsze i b > 0 są często traktowane jako jednoznacznie określone reprezentacje dla ich równoważnych ułamków, które są uważane za tę samą liczbę wymierną. W ten sposób ułamki liczb całkowitych tworzą ciało liczb wymiernych.

Bardziej ogólnie, i b mogą być elementy o dowolnym integralną domeny B , w którym to przypadku część jest elementem dziedzinie frakcji o R . Na przykład wielomiany w jednym nieokreślonym, ze współczynnikami z pewnej dziedziny całkowej D , same są domeną całkową, nazwijmy to P . Zatem dla elementów a i b P , wygenerowane ciało ułamków jest ciałem ułamków wymiernych (znanym również jako ciało funkcji wymiernych ).

Ułamki algebraiczne

Ułamek algebraiczny to wskazany iloraz dwóch wyrażeń algebraicznych . Podobnie jak w przypadku ułamków liczb całkowitych, mianownik ułamka algebraicznego nie może wynosić zero. Dwa przykłady ułamków algebraicznych to i . Ułamki algebraiczne podlegają tym samym właściwościom pola , co ułamki arytmetyczne.

Jeśli licznik i mianownik są wielomianami , tak jak w , ułamek algebraiczny nazywany jest ułamkiem wymiernym (lub wyrażeniem wymiernym ). Frakcja irracjonalna jest, że nie jest racjonalne, jak, na przykład, taki, który zawiera w zmiennej w wykładnik frakcyjnej lub korzeń, jak na .

Terminologia używana do opisu ułamków algebraicznych jest podobna do tej używanej dla zwykłych ułamków. Na przykład ułamek algebraiczny jest najniższy, jeśli jedynymi dzielnikami wspólnymi licznika i mianownika są 1 i -1. Ułamek algebraiczny, którego licznik lub mianownik albo oba zawierają ułamek, taki jak , jest nazywany ułamkiem złożonym .

Ciało liczb wymiernych jest ciałem ułamków liczb całkowitych, podczas gdy same liczby całkowite nie są ciałem, ale raczej dziedziną integralną . Podobnie ułamki wymierne ze współczynnikami w polu tworzą ciało ułamków wielomianów o współczynnikach w tym polu. Biorąc pod uwagę ułamki wymierne ze współczynnikami rzeczywistymi, wyrażenia rodnikowe reprezentujące liczby, takie jak również ułamki wymierne, jak również liczby przestępne, takie jak ponieważ wszystkie i są liczbami rzeczywistymi , a zatem uważane za współczynniki. Te same liczby nie są jednak ułamkami wymiernymi o współczynnikach całkowitych .

Termin ułamek częściowy jest używany podczas rozkładania ułamków wymiernych na sumy ułamków prostszych. Na przykład, racjonalne frakcja może być rozłożona w sumie dwie frakcje: Funkcja ta jest przydatna do obliczania funkcja pierwotna z racjonalnych funkcji (patrz ułamki proste do innych).

Radykalne wyrażenia

Ułamek może również zawierać rodniki w liczniku lub mianowniku. Jeśli mianownik zawiera pierwiastki, pomocne może być jego zracjonalizowanie (porównaj Uproszczona forma wyrażenia pierwiastkowego ), zwłaszcza jeśli mają być przeprowadzone dalsze operacje, takie jak dodanie lub porównanie tego ułamka z innym. Jest to również wygodniejsze, jeśli podział ma być dokonany ręcznie. Gdy mianownik jest jednomianowym pierwiastkiem kwadratowym, można go zracjonalizować, mnożąc górną i dolną część ułamka przez mianownik:

Proces racjonalizacji mianowników dwumianowych polega na pomnożeniu górnej i dolnej części ułamka przez sprzężenie mianownika, tak aby mianownik stał się liczbą wymierną. Na przykład:

Nawet jeśli w wyniku tego procesu licznik jest irracjonalny, jak w powyższych przykładach, proces ten może nadal ułatwiać późniejsze manipulacje poprzez zmniejszenie liczby irracjonalnych elementów, z którymi trzeba pracować w mianowniku.

Wariacje typograficzne

W wyświetlaczach komputerowych i typografii ułamki proste są czasami drukowane jako pojedynczy znak, np. ½ ( połowa ). Zobacz artykuł na temat formularzy liczbowych, aby uzyskać informacje na temat robienia tego w Unicode .

Publikacje naukowe wyróżniają cztery sposoby ustawiania frakcji wraz z wytycznymi dotyczącymi użycia:

  • ułamki specjalne: ułamki prezentowane jako pojedynczy znak z ukośną kreską, o mniej więcej tej samej wysokości i szerokości co inne znaki w tekście. Zwykle używany do prostych ułamków, takich jak: ½, ⅓, ⅔, ¼ i ¾. Ponieważ cyfry są mniejsze, czytelność może być problemem, zwłaszcza w przypadku małych czcionek. Nie są one używane we współczesnej notacji matematycznej, ale w innych kontekstach.
  • ułamki przypadku: podobnie jak ułamki specjalne, są one renderowane jako pojedynczy znak typograficzny, ale z poziomym paskiem, dzięki czemu są ustawione pionowo . Przykładem może być , ale renderowany z taką samą wysokością jak inne znaki. Niektóre źródła uwzględniają renderowanie ułamków jako ułamków wielkości liter, jeśli zajmują tylko jedną przestrzeń typograficzną, niezależnie od kierunku słupka.
  • ułamki szylingowe lub solidusowe: 1/2, tak zwane, ponieważ notacja ta była używana dla brytyjskiej waluty przed przecinkiem ( £sd ), tak jak w 2/6 dla pół korony , co oznacza dwa szylingi i sześć pensów. Podczas gdy zapis „dwa szylingi i sześć pensów” nie reprezentował ułamka, ukośnik jest teraz używany w ułamkach, zwłaszcza w przypadku ułamków w linii z prozą (zamiast wyświetlanych), aby uniknąć nierównych linii. Jest również używany do ułamków w ułamkach ( ułamki złożone ) lub w wykładnikach w celu zwiększenia czytelności. Ułamki zapisane w ten sposób, zwane również ułamkami kawałków , są zapisywane w jednej linii typograficznej, ale zajmują 3 lub więcej spacji typograficznych.
  • ułamki zabudowane: . Ten zapis wykorzystuje co najmniej dwa wiersze zwykłego tekstu i powoduje zmianę odstępów między wierszami, gdy jest zawarty w innym tekście. Chociaż duże i czytelne, mogą być uciążliwe, szczególnie w przypadku prostych ułamków lub w obrębie ułamków złożonych.

Historia

Najwcześniejsze frakcje odwrotności z liczb : starożytnych symboli reprezentujących jedną część dwa, jeden z trzech części, jedną część czterech, i tak dalej. W Egipcjanie stosowane egipskiej frakcji C.  1000  pne. Około 4000 lat temu Egipcjanie dzielili się frakcjami przy użyciu nieco innych metod. Użyli najmniej wspólnych wielokrotności z ułamkami jednostkowymi . Ich metody dały taką samą odpowiedź jak nowoczesne metody. Egipcjanie mieli również inną notację dla ułamków diadycznych w drewnianej tablicy achmimskiej i kilka problemów matematycznych z papirusem Rhinda .

W Grecy stosowane ułamków i (później) ułamkami . Następni z greckiego filozofa Pitagorasa ( c.  530  BC) odkryli, że pierwiastek z dwóch nie może być wyrażona jako ułamek liczby całkowite . (Jest to powszechnie choć prawdopodobnie błędnie przypisane do Hippazos z Metapontum , który powiedział, że został stracony za ujawnienie tego faktu). W 150 pne Jain matematyków w Indiach napisał „ Sthananga Sutra ”, która zawiera prace nad teorią liczb, arytmetycznej operacje i operacje na ułamkach.

Współczesna ekspresja ułamków znanych jako bhinnarasi wydaje się pochodzić z Indii w pracach Aryabhatty ( ok.  500 ne ), Brahmagupty ( ok.  628 ) i Bhaskary ( ok.  1150 ). Ich prace tworzą ułamki, umieszczając liczniki ( sanskryt : amsa ) nad mianownikami ( cheda ), ale bez kreski między nimi. W literaturze sanskryckiej ułamki były zawsze wyrażane jako dodawanie lub odejmowanie od liczby całkowitej. Liczba całkowita została zapisana w jednym wierszu, a ułamek w dwóch częściach w następnym wierszu. Jeśli ułamek został oznaczony małym kółkiem ⟨०⟩ lub krzyżykiem ⟨+⟩, jest odejmowany od liczby całkowitej; jeśli taki znak nie pojawia się, uważa się, że jest dodany. Na przykład Bhaskara I pisze:

१ १ १

co jest odpowiednikiem

6 1 2
1 1 −1
4 5 9

i byłby napisany we współczesnej notacji jako 61/4, 11/5, oraz 2 − 1/9 (tj. 18/9).

Pozioma kreska ułamkowa została po raz pierwszy poświadczona w pracy Al-Hassāra ( fl.  1200 ), muzułmańskiego matematyka z Fezu w Maroku , który specjalizował się w islamskim orzecznictwie dotyczącym dziedziczenia . W swojej dyskusji pisze: „… na przykład, jeśli każą ci napisać trzy piąte i jedną trzecią piątej, napisz tak: ”. Ten sam zapis ułamkowy — z ułamkiem podanym przed liczbą całkowitą — pojawia się wkrótce później w pracy Leonarda Fibonacciego w XIII wieku.

Omawiając genezę ułamków dziesiętnych , Dirk Jan Struik stwierdza:

„Wprowadzenie ułamków dziesiętnych jako powszechnej praktyki obliczeniowej można datować od flamandzkiej broszury De Thiende , opublikowanej w Leyden w 1585 roku, wraz z francuskim tłumaczeniem La Disme , autorstwa flamandzkiego matematyka Simona Stevina (1548–1620), a następnie osiedlił się w północnej Holandii.Prawdą jest, że Chińczycy używali ułamków dziesiętnych wiele wieków przed Stevinem i że perski astronom Al-Kāshī z wielką łatwością używał zarówno ułamków dziesiętnych, jak i sześćdziesiętnych w swoim Kluczu do arytmetyki ( Samarkanda , początek XV wieku) ”.

Choć perski matematyk Jamshid al-Kashi osiągając odkryli ułamki dziesiętne się w 15 wieku, J. Lennart Berggren zauważa, że był w błędzie, jak ułamki dziesiętne zostały po raz pierwszy użyte pięć wieków przed nim przez Bagdadi matematyk Abu al-Hasan al -Uqlidisi już w X wieku.

Nieformalna edukacja

Narzędzia pedagogiczne

W szkołach podstawowych , frakcje wykazano przez pręty Cuisenaire , bary Frakcję , pasków frakcji kół frakcji, papier (na składanie lub cięcie), bloki wzór , kołowy kształt części, prostokątów z tworzyw sztucznych, papieru, siatki, dot papieru , geoboards , liczniki oprogramowania komputerowego.

Dokumenty dla nauczycieli

Kilka stanów w Stanach Zjednoczonych przyjęło trajektorie uczenia się z wytycznych Common Core State Standards Initiative dla nauczania matematyki. Oprócz sekwencjonowania uczenia się ułamków i operacji na ułamkach, dokument zawiera następującą definicję ułamka: „Liczba wyrażalna w postaci/gdzie jest liczbą całkowitą i jest dodatnią liczbą całkowitą. (Słowo ułamek w tych normach zawsze odnosi się do liczby nieujemnej.)” Sam dokument również odnosi się do ułamków ujemnych.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Zewnętrzne linki