Przynieś radykalne - Bring radical

W algebrze The przywiezc radykalny lub ultraradical z liczby rzeczywistej  a jest unikalny prawdziwy pierwiastek z wielomianu

${\ Displaystyle x ^ {5} + x + a.}$

Rodnik Bringu liczby zespolonej a jest albo jednym z pięciu pierwiastków powyższego wielomianu (jest zatem wielowartościowy ), albo konkretnym pierwiastkiem, który jest zwykle wybierany tak, że rodnik Bringa ma wartość rzeczywistą dla rzeczywistego a i jest funkcją analityczną w sąsiedztwie linii rzeczywistej. Ze względu na istnienie czterech punktów rozgałęzień , rodnik Bringa nie może być zdefiniowany jako funkcja ciągła na całej płaszczyźnie zespolonej , a jego domena ciągłości musi wykluczać cztery cięcia rozgałęzień .

George Jerrard wykazał, że niektóre równania kwintyczne można rozwiązać w formie zamkniętej za pomocą rodników i rodników Bringa , które zostały wprowadzone przez Erlanda Bringa .

W tym artykule radykał Bring a jest oznaczony. Dla prawdziwego argumentu jest on dziwny, monotonicznie malejący i nieograniczony, z asymptotycznym zachowaniem dla dużego . ${\ Displaystyle \ Operatorname {BR} (a).}$${\ Displaystyle \ operatorname {BR} (a) \ SIM -a ^ {1/5}}$${\displaystyle a}$

Normalne formy

Równanie kwintyczne jest raczej trudne do uzyskania dla bezpośredniego rozwiązania, z pięcioma niezależnymi współczynnikami w jego najbardziej ogólnej postaci:

${\ Displaystyle x ^ {5} + a_ {4} x ^ {4} + a_ {3} x ^ {3} + a_ {2} x ^ {2} + a_ {1} x + a_ {0} = 0.\,}$

Różne metody rozwiązywania kwintyki, które zostały opracowane, generalnie próbują uprościć kwintykę za pomocą transformacji Tschirnhausa w celu zmniejszenia liczby niezależnych współczynników.

Główna forma kwintyczna

Ogólna kwintyka może zostać zredukowana do tak zwanej głównej formy kwintycznej , z usuniętymi terminami kwartycznymi i sześciennymi:

${\ Displaystyle r ^ {5} + c_ {2} r ^ {2} + c_ {1} r + c_ {0} = 0 \,}$

Jeśli korzenie kwintyki ogólnej i kwintyki głównej są powiązane kwadratową transformacją Tschirnhausa

${\ Displaystyle y_ {k} = x_ {k} ^ {2} + \ alfa x_ {k} + \ beta \ ,,}$

współczynniki α i β można wyznaczyć za pomocą wypadkowej , lub za pomocą sum potęgowych pierwiastków i tożsamości Newtona . Prowadzi to do układu równań w α i β składającego się z równania kwadratowego i liniowego, a każdy z dwóch zestawów rozwiązań może być użyty do uzyskania odpowiednich trzech współczynników głównej postaci kwintycznej.

Ta forma jest używana przez rozwiązanie problemu kwintyki Felixa Kleina .

Bring-Jerrard normalna forma

Możliwe jest dalsze uproszczenie kwintyki i wyeliminowanie wyrażenia kwadratowego, tworząc normalną postać Bringa-Jerrarda :

${\ Displaystyle v ^ {5} + d_ {1} v + d_ {0} = 0. \,}$

Ponowne użycie formuł na sumę potęgową z transformacją sześcienną, jak próbował Tschirnhaus , nie działa, ponieważ wynikowy układ równań daje w wyniku równanie szóstego stopnia. Ale w 1796 r. Bring znalazł sposób na obejście tego, używając kwartycznej transformacji Tschirnhausa, aby powiązać korzenie głównej kwintyki z kwintyką Bringa-Jerrarda:

${\ Displaystyle v_ {k} = y_ {k} ^ {4} + \ alfa y_ {k} ^ {3} + \ beta y_ {k} ^ {2} + \ gamma y_ {k} + \ delta \, .}$

Dodatkowy parametr, który zapewnia ta transformacja czwartego rzędu, pozwolił Bringowi zmniejszyć stopnie innych parametrów. Prowadzi to do układu pięciu równań w sześciu niewiadomych, który następnie wymaga rozwiązania równania sześciennego i kwadratowego. Ta metoda została również odkryta przez Jerrarda w 1852 roku, ale prawdopodobnie nie był świadomy wcześniejszych prac Bringa w tej dziedzinie. Pełne przekształcenie można łatwo przeprowadzić przy użyciu pakietu algebry komputerowej , takiego jak Mathematica lub Maple . Jak można się spodziewać po złożoności tych przekształceń, wynikowe wyrażenia mogą być ogromne, szczególnie w porównaniu z rozwiązaniami pierwiastków dla równań niższego stopnia, które zajmują wiele megabajtów pamięci dla ogólnej kwintyki ze współczynnikami symbolicznymi.

Postrzegane jako funkcja algebraiczna, rozwiązania do

${\ Displaystyle v ^ {5} + d_ {1} v + d_ {0} = 0 \,}$

obejmować dwie zmienne, d ₁ i d ₀ ; jednak redukcja jest w rzeczywistości funkcją algebraiczną jednej zmiennej, bardzo analogiczną do rozwiązania w rodnikach, ponieważ możemy dalej redukować formę Bringa-Jerrarda. Jeśli na przykład ustawimy

${\ Displaystyle Z = {v \ ponad {\ sqrt [{4}] {- {\ Frac {d_ {1}} {5}}}} \}$

następnie sprowadzamy równanie do postaci

${\ Displaystyle z ^ {5}-5z-4t = 0 \,,}$

która obejmuje z jako funkcję algebraiczną pojedynczej zmiennej  t , gdzie . Podobna transformacja wystarczy, aby zredukować równanie do ${\ Displaystyle t = - (d_ {0}/4) (-d_ {1}/5) ^ {-5/4}}$

${\ Displaystyle u ^ {5} -u + a = 0 \ ,,}$

która jest formą wymaganą przez metodę Hermite'a-Kroneckera-Brioschiego, metodę Glassera i metodę Cockle-Harley dla rezolwentów różnicowych opisanych poniżej.

Postać normalna Brioschi

Istnieje jeszcze jedna jednoparametrowa postać normalna równania kwintycznego, znana jako postać normalna Brioschiego

${\ Displaystyle w ^ {5} -10 Cw ^ {3} + 45 C ^ {2} wC ^ {2} = 0,}$

co można wyprowadzić za pomocą racjonalnej transformacji Tschirnhausa

${\ Displaystyle w_ {k} = {\ Frac {\ lambda + \ mu x_ {k}} {{\ Frac {x_ {k} ^ {2}} {C}}-3}}}$

odnieść korzenie ogólnej kwintyki do kwintyki Brioschi. Wartości parametrów i mogą być wyprowadzone przy użyciu funkcji wielościennych na sferze Riemanna i są związane z podziałem obiektu o symetrii dwudziestościennej na pięć obiektów o symetrii czworościennej . ${\ Displaystyle \ lambda \,}$${\ Displaystyle \ mu \,}$

Ta transformacja Tschirnhausa jest raczej prostsza niż trudna do przekształcenia głównej kwintyki w formę Bringa-Jerrarda. Ta normalna postać jest używana przez metodę iteracyjną Doyle'a-McMullena i metodę Kieperta.

Reprezentacja serii

Szereg Taylora dla rodników Bring, a także reprezentację w kategoriach funkcji hipergeometrycznych można wyprowadzić w następujący sposób. Równanie można przepisać jako Ustawiając żądane rozwiązanie to${\ Displaystyle x ^ {5} + x + a = 0}$${\ Displaystyle x ^ {5} + x = -a.}$${\ Displaystyle f (x) = x ^ {5} + x}$${\ Displaystyle x = f ^ {-1} (-a).}$

Seria do można następnie otrzymać przez rewersji w szeregu Taylora dla (która jest po prostu ), dając ${\ Displaystyle f ^ {-1}}$${\displaystyle f(x)}$${\ Displaystyle x + x ^ {5}}$

${\ Displaystyle f ^ {-1} (a) = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ binom {5 k} {k}} {\ Frac {(-1) ^ {k} a ^ {4k+1}}{4k+1}}=aa^{5}+5a^{9}-35a^{13}+\cdots ,}$

gdzie wartości bezwzględne współczynników tworzą w OEIS ciąg A002294 . Seria potwierdza, że to dziwne, ponieważ ${\ Displaystyle f ^ {-1} (a)}$

${\ Displaystyle \ Operatorname {BR} (-a) = f ^ {-1} (a) = -a + a ^ {5} -5a ^ {9} + 35a ^ {13} + \ cdots = - f ^ {-1}(-a).}$

Promień zbieżności w szeregu${\ Displaystyle 4 / (5 \ cdot {\ sqrt [{4}] {5}}) \ około 0.53499.}$

W postaci hipergeometrycznej można zapisać rodnik Bring

${\ Displaystyle \ Operatorname {BR} (a) = -a \, \, _{4}F_ {3} \ lewo ({\ Frac {1} {5}}, {\ Frac {2} {5}} ,{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5 }{4}};-5\lewo({\frac {5a}{4}}\prawo)^{4}\prawo)}$

Interesujące może być porównanie z funkcjami hipergeometrycznymi, które pojawiają się poniżej w wyprowadzeniu Glassera i metodzie różnicowych rezolentów.

Rozwiązanie ogólnej kwintyki

Korzenie wielomianu

${\ Displaystyle x ^ {5} + px + q \,}$

można wyrazić w postaci radykalnej Bring jako

${\ Displaystyle {\ sqrt [{4}] {- {\ Frac {p} {5}}}} \ \ operatorname {BR} \ lewo (- {\ Frac {1} {4}} \ lewo (- {\frac {5}{p}}\po prawej)^{\frac {5}{4}}q\po prawej)}$

i jego cztery koniugaty . Problem sprowadza się teraz do postaci Bringa-Jerrarda w zakresie rozwiązywalnych równań wielomianowych, a przy użyciu przekształceń zawierających wyrażenia wielomianowe w pierwiastkach tylko do czwartego stopnia, co oznacza, że ​​odwrócenie przekształcenia można wykonać, znajdując pierwiastki rozwiązywalnego wielomianu u radykałów. Ta procedura daje nieistotne rozwiązania, ale gdy poprawne zostały znalezione za pomocą liczb, pierwiastki kwintyki można zapisać w postaci pierwiastków kwadratowych, pierwiastków sześciennych i pierwiastka Bringa, który jest zatem rozwiązaniem algebraicznym w kategoriach algebraicznych funkcje (szeroko definiowane jako obejmujące rodniki Bring) pojedynczej zmiennej — rozwiązanie algebraiczne kwintyki ogólnej.

Inne charakterystyki

Wiele innych charakteryzacje od bring radykalny zostały opracowane, z których pierwszy jest w kategoriach eliptycznych funkcji modułowych przez Charles Hermite w 1858 roku, a później kolejne metody opracowane przez innych matematyków.

Charakterystyka Hermite'a-Kroneckera-Brioschiego

W 1858 roku Charles Hermite opublikował pierwsze znane rozwiązanie ogólnego równania kwintycznego w terminach transcendentów eliptycznych, a mniej więcej w tym samym czasie Francesco Brioschi i Leopold Kronecker doszli do równoważnych rozwiązań. Hermite doszedł do tego rozwiązania, uogólniając dobrze znane rozwiązanie równania sześciennego pod względem funkcji trygonometrycznych i znajduje rozwiązanie kwintyki w postaci Bringa-Jerrarda:

${\ Displaystyle x ^ {5} -x + a = 0 \}$

do którego dowolne równanie kwintyczne można sprowadzić za pomocą przekształceń Tschirnhausa, jak pokazano. Zauważył, że funkcje eliptyczne miały do ​​odegrania analogiczną rolę w rozwiązaniu kwintyki Bringa-Jerrarda, jak funkcje trygonometryczne dla sześciennej. Jeśli i są okresami całki eliptycznej pierwszego rodzaju: ${\displaystyle K\,}$${\displaystyle K'\,}$

${\ Displaystyle K = \ int _ {0} ^ {\ Frac {\ pi } {2}} \ Frac {d \ varphi} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ varphi }}}}$

${\ Displaystyle K '= \ int _ {0} ^ {\ Frac {\ pi} {2}} {\ Frac {d \ varphi} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ grzech ^ {2} \varphi }}}}$

eliptyczny nom określa wzór:

${\ Displaystyle q = e ^ {- {\ Frac {\ pi K '}{K}}} \,}$

oraz

${\ Displaystyle k ^ {2} + k ^ {2} = 1 \,}$

Z

${\ Displaystyle q = e ^ {- {\ Frac {\ pi K '}{K}}} = e ^ {{\ operatorname {i}} \ pi \ tau} \,}$

zdefiniuj dwie eliptyczne funkcje modułowe :

${\ Displaystyle {\ sqrt [{4}] {k}} = \ varphi (\ tau ) = {\ sqrt {\ frac {\ vartheta _ {10} (0; \ tau )} {\ vartheta _ {00} (0;\tau )}}}}$

${\ Displaystyle {\ sqrt [{4}] {k'}} = \ psi (\ tau) = {\ sqrt {\ frac {\ vartheta _ {01} (0; \ tau )} {\ vartheta _ {00 }(0;\tau)}}}}$

gdzie i podobne są funkcje teta Jacobiego . ${\ Displaystyle \ vartheta _ {00} (0; \ tau)}$

Jeśli n jest liczbą pierwszą , możemy zdefiniować dwie wartości u i v w następujący sposób:

${\displaystyle v=\varphi (n\tau)\,}$

oraz

${\displaystyle u=\varphi (\tau)\,}$

Parametry i są połączone równaniem stopnia n  + 1 znanym jako równanie modularne , którego n  + 1 pierwiastków jest podane przez: ${\displaystyle u\,}$${\displaystyle v\,}$

${\ Displaystyle \ epsilon \ varphi (n \ tau) \,}$

oraz

${\ Displaystyle \ varphi \ lewo ({\ Frac {\ tau + 16 m} {n}} \ po prawej) \}$

gdzie ε wynosi 1 lub -1 w zależności od tego, czy 2 jest kwadratową resztą względem n czy nie, a m jest liczbą całkowitą modulo  n . Dla n  = 5 mamy równanie modularne szóstego stopnia:

${\ Displaystyle u ^ {6} -v ^ {6} + 5u ^ {2} v ^ {2} (u ^ {2} - v ^ {2}) + 4 uv (1-u ^ {4} v ^ {4})=0\,}$

z sześcioma korzeniami, jak pokazano powyżej.

Równanie modularne szóstego stopnia może być powiązane z kwintyką Bringa-Jerrarda przez następującą funkcję sześciu pierwiastków równania modularnego:

${\ Displaystyle \ Phi (\ tau) = \ lewo [\ varphi (5 \ tau) + \ varphi \ lewo ({\ Frac {\ tau} {5}} \ po prawej) \ po prawej] \ po lewej [\ varphi \ po lewej ({\frac {\tau +16}{5}}\right)-\varphi \left({\frac {\tau +64}{5}}\right)\right]\left[\varphi \left( {\frac {\tau +32}{5}}\po prawej)-\varphi \po lewej({\frac {\tau +48}{5}}\po prawej)\po prawej]\,}$

Pięć wielkości , , , , są pierwiastkami równania kwintycznego ze współczynnikami wymiernymi w : ${\ Displaystyle \ Phi (\ tau) \,}$${\ Displaystyle \ Phi (\ tau +16) \,}$${\ Displaystyle \ Phi (\ tau + 32) \,}$${\displaystyle \Phi (\tau +48)\,}$${\ Displaystyle \ Phi (\ tau + 64) \,}$${\displaystyle \varphi (\tau)\,}$

${\ Displaystyle \ Phi ^ {5}-2000 \ Varphi ^ {4}(\ tau) \ psi ^ {16} (\ tau) \ Phi +1600 {\ sqrt {5}} \ varphi ^ {3} (\ tau )\psi ^{16}(\tau )\left[1+\varphi ^{8}(\tau )\right]=0\,}$

które można łatwo przekształcić w formę Bring-Jerrarda przez podstawienie:

${\ Displaystyle \ Phi = 2 {\ sqrt [{4}] {125}} \ varphi (\ tau) \ psi ^ {4} (\ tau) x \,}$

prowadzące do kwintyki Bring-Jerrard:

${\ Displaystyle x ^ {5} -x + a = 0 \}$

gdzie

${\ Displaystyle a = {\ Frac {2 [1+ \ Varphi ^ {8} (\ tau)]} {{\ sqrt [{4}] {5 ^ {5}}} \ Varphi ^ {2} (\ tau )\psi ^{4}(\tau )}}\,}$

Metoda Hermite'a-Kroneckera-Brioschiego sprowadza się zatem do znalezienia wartości τ, która odpowiada wartości a , a następnie wykorzystania tej wartości τ do uzyskania pierwiastków odpowiedniego równania modularnego. Aby to zrobić, pozwól

${\ Displaystyle A = {\ Frac {a {\ sqrt [{4}] {5 ^ {5}}}} {2}}}$

i obliczyć wymagany moduł eliptyczny , rozwiązując równanie kwarcowe: ${\displaystyle k}$

${\ Displaystyle k ^ {4} + A ^ {2} k ^ {3} +2 k ^ {2} - A ^ {2} k + 1 = 0 \,}$

Korzenie tego równania to:

${\displaystyle k=\tan {\frac {\alfa}{4}},\tan {\frac {\alfa+2\pi}{4}},\tan {\frac {\pi -\alfa} 4}},\tan {\frac {3\pi -\alpha }{4}}\,}$

gdzie (zauważ, że niektóre ważne odniesienia błędnie podają go jako ). Każdy z tych pierwiastków może być użyty jako moduł eliptyczny do celów metody. Wartość o można łatwo uzyskać z modułu eliptycznego na podstawie podanych powyżej relacji. Korzenie kwintyki Bring-Jerrard są następnie podane przez: ${\ Displaystyle \ sin \ alfa = {\ Frac {4}{A ^ {2}}} \}$${\ Displaystyle \ sin \ alfa = {\ Frac {1} {4A ^ {2}}} \}$${\ Displaystyle \ tau}$${\displaystyle k\,}$

${\ Displaystyle X_ {i} = {\ Frac {\ Phi (\ tau + 16i) {2 {\ sqrt [{4}] {125}} \ varphi (\ tau) \ psi ^ {4} (\ tau )}}}$

dla . ${\displaystyle i=0,\ldots,4}$

Można zauważyć, że proces ten wykorzystuje uogólnienie n-tego pierwiastka , które można wyrazić jako:

${\ Displaystyle {\ sqrt [{n}] {x}} = \ exp \ lewo ({{\ Frac {1} {n}} \ ln x} \ prawej)}$

lub bardziej do rzeczy, jak

${\ Displaystyle {\ sqrt [{n}] {x}} = \ exp \ lewo ({\ Frac {1} {n}} \ int _ ^ {x} {\ Frac {dt} {t} }\Prawidłowy).}$

Metoda Hermite'a-Kroneckera-Brioschi zasadniczo zastępuje wykładniczy przez eliptyczną funkcję modularną, a całkę przez całkę eliptyczną. Kronecker uważał, że to uogólnienie jest szczególnym przypadkiem jeszcze bardziej ogólnego twierdzenia, które można zastosować do równań o arbitralnie wysokim stopniu. Twierdzenie to, znane jako formuła Thomae , zostało w pełni wyrażone przez Hiroshi Umemura w 1984 roku, który użył modularnych form Siegela w miejsce wykładniczej/eliptycznej funkcji modularnej oraz całki przez całkę hipereliptyczną . ${\ Displaystyle \ int _ {1} ^ {x} {\ Frac {dt} {t}}}$

Wyprowadzenie Glassera

To wyprowadzenie dzięki ML Glasserowi uogólnia metodę szeregową przedstawioną wcześniej w tym artykule, aby znaleźć rozwiązanie dowolnego równania trójmianowego postaci:

${\ Displaystyle x ^ {N} -x + t = 0 \ \!}$

W szczególności równanie kwintyczne można zredukować do tej postaci za pomocą przekształceń Tschirnhausa, jak pokazano powyżej. Niech , ogólna postać staje się: ${\ Displaystyle x = \ zeta ^ {- {\ Frac {1} {N-1}}} \,}$

${\ Displaystyle \ zeta = e ^ {2 \ pi i} + t \ phi (\ zeta) \ \!}$

gdzie

${\ Displaystyle \ phi (\ zeta ) = \ zeta ^ {\ Frac {N} {N-1}} \ \!}$

Formuła Lagrange'a stwierdza, że ​​dla dowolnej funkcji analitycznej , w sąsiedztwie pierwiastka przekształconego równania ogólnego w kategoriach , powyżej może być wyrażona jako szereg nieskończony : ${\displaystyle f\,}$${\ Displaystyle \ zeta \,}$

${\ Displaystyle f (\ zeta ) = f (e ^ {2 \ pi {\ operatorname {i}}}) + \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {t ^ {n}} {n!}}{\frac {d^{n-1}}{da^{n-1}}}[f'(a)|\phi (a)|^{n}]_{a=e ^{2\pi {\mathrm {i} }}}}$

Jeśli wpuścimy tę formułę, możemy wymyślić korzeń: ${\ Displaystyle f (\ zeta ) = \ zeta ^ {- {\ Frac {1} {N-1}}} \,}$

${\ Displaystyle x_ {k} = e ^ {- {\ Frac {2 k \ pi {\ rm {i}}} {N-1}}} - {\ Frac {t} {N-1}} \ suma _ {n=0}^{\infty }{\frac {(te^{\frac {2k\pi {\rm {i}}}{N-1}})^{n}}{\Gamma (n+ 2)}}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {Nn}{N-1}}+1\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{N-1} }+1\prawo)}}}$

${\displaystyle k=1,2,3,\kropki,N-1\,}$

Używając twierdzenia o mnożeniu Gaussa, nieskończony szereg powyżej może zostać rozbity na skończoną serię funkcji hipergeometrycznych :

${\ Displaystyle \ psi _ {n} (q) = \ lewo ({\ Frac {e ^ {\ Frac {2n \ pi {\ rm {i}}} {N-1}}} {N-1} }\right)^{q}N^{\frac {qN}{N-1}}{\frac {\prod _{k=0}^{N-1}\Gamma \left({\frac {q }{N-1}}+{\frac {1+k}{N}}\right)}{\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+1\right)\prod _ {k=0}^{N-2}\Gamma \left({\frac {q+k+2}{N-1}}\right)}}=\left({\frac {te^{\frac {2n\pi {\rm {i}}}{N-1}}}{N-1}}\right)^{q}N^{\frac {qN}{N-1}}\prod _{ k=2}^{N}{\frac {\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+{\frac {k-1}{N}}\right)}{\Gamma \ w lewo({\frac {q+k}{N-1}}\w prawo)}}}$

${\ Displaystyle x_ {n} = e ^ {- {\ Frac {2n \ pi {\ rm {i}}} {N-1}}} - {\ Frac {t} {(N-1) ^ {2 }}}{\sqrt {\frac {N}{2\pi (N-1)}}}\sum _{q=0}^{N-2}\psi _{n}(q)_{( N+1)}F_{N}{\begin{bmacierz}{\frac {qN+N-1}{N(N-1)}},\ldots ,{\frac {q+N-1}{N -1}},1;\\[8pt]{\frac {q+2}{N-1}},\ldots ,{\frac {q+N}{N-1}},{\frac {q +N-1}{N-1}};\\[8pt]\lewo({\frac {te^{\frac {2n\pi {\rm {i}}}{N-1}}}{N -1}}\right)^{N-1}N^{N}\end{bmatryca}},\quad n=1,2,3,\dots ,N-1}$

${\ Displaystyle x_ {N} = \ suma _ {m = 1} ^ {N-1} {\ Frac {t} {(N-1) ^ {2}}} {\ sqrt {\ Frac {N} 2\pi (N-1)}}}\sum _{q=0}^{N-2}\psi _{m}(q)_{(N+1)}F_{N}{\begin{ bmatrix}{\frac {qN+N-1}{N(N-1)}},\ldots ,{\frac {q+N-1}{N-1}},1;\\[8pt]{ \frac {q+2}{N-1}},\ldots ,{\frac {q+N}{N-1}},{\frac {q+N-1}{N-1}};\ \[8pt]\left({\frac {te^{\frac {2m\pi {\rm {i}}}{N-1}}}{N-1}}\right)^{N-1} N^{N}\koniec{bmatrycy}}}$

a trójmian formy ma korzenie

${\ Displaystyle {} _ {ax ^ {N} + bx ^ {2} + c = 0, N \ równoważne 1 {\ pmod {2}}} \ \!}$

${\ Displaystyle {} _ {x_ {N} = - {\ Frac {a} {2b}} {\ sqrt {\ lewo ({\ Frac {c} {b}} \ prawej) ^ {N-1}} }{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmacierz}{\frac {N+1}{2N}},{\frac {N+3}{2N}},\cdots , {\frac {N-2}{N}},{\frac {N-1}{N}},{\frac {N+1}{N}},{\frac {N+2}{N} },\cdots ,{\frac {3N-3}{2N}},{\frac {3N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {N+1}{2N-4}} ,{\frac {N+3}{2N-4}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{ \frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {3N-5}{2N-4}},{\frac {3 }{2}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2} }}\end{bmacierz}}+{\sqrt {\frac {c}{b}}}{\rm {i}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmacierz} {\frac {1}{2N}},{\frac {3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-4}{2N}},{\frac {N-2}{2N}} ,{\frac {N+2}{2N}},{\frac {N+4}{2N}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N}},{\frac {2N-1 }{2N}};\\[8pt]{\frac {3}{2N-4}},{\frac {5}{2N-4}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N -4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}} }\end{bmatryca}}}}$

${\ Displaystyle {} _ {x_ {N-1} = - {\ Frac {a} {2b}} {\ sqrt {\ lewo ({\ Frac {c} {b}} \ prawej) ^ {N-1 }}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {N+1}{2N}},{\frac {N+3}{2N}},\ cdots ,{\frac {N-2}{N}},{\frac {N-1}{N}},{\frac {N+1}{N}},{\frac {N+2}{ N}},\cdots ,{\frac {3N-3}{2N}},{\frac {3N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {N+1}{2N-4 }},{\frac {N+3}{2N-4}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}} ,{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {3N-5}{2N-4}},{\frac {3}{2}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N- 2}}}\end{bmatrix}}-{\sqrt {\frac {c}{b}}}{\rm {i}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{ bmatrix}{\frac {1}{2N}},{\frac {3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-4}{2N}},{\frac {N-2}{2N }},{\frac {N+2}{2N}},{\frac {N+4}{2N}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N}},{\frac {2N -1}{2N}};\\[8pt]{\frac {3}{2N-4}},{\frac {5}{2N-4}},\cdots ,{\frac {2N-3} {2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2 }}}\koniec{bmatrycy}}}}$

${\ Displaystyle {} _ {x_ {n} = - e ^ {\ Frac {2n \ pi {\ rm {i}}} {N-2}} {\ sqrt [{N-2}] {\ Frac { b}{a}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmacierz}-{\frac {1}{N\lewo(N-2\prawo)}},-{ \frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}} +{\frac {2}{N}},\cdots ,-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},{\frac {N-5}{2N}},-{\frac {1}{N\lewo(N-2\prawo)}}+{\frac {N-3}{2N}},-{\frac {1 }{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+1}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{ \frac {N+3}{2N}},\cdots ,-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-1}{N}},; \\[8pt]{\frac {1}{N-2}},{\frac {2}{N-2}},\cdots ,{\frac {2N-5}{2N-4}},; \\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatryca }}+}}$

${\ Displaystyle {} _ {+ {\ sqrt [{N-2}] {\ Frac {b} {a}}} \ suma _ {q = 1} ^ {N-3} {\ Frac {\ Gamma \ left({\frac {2q-1}{N-2}}+q\right)}{\Gamma \left({\frac {2q-1}{N-2}}+1\right)}}\ cdot \left(-{\frac {c}{b}}{\sqrt[{N-2}]{\frac {a^{2}}{b^{2}}}}\right)^{q }\cdot {\frac {e^{{\frac {2n\left(1-2q\right)}{N-2}}\pi {\rm {i}}}}{q!}}{}_ {N-1}F_{N-2}{\begin{bmacierz}{\frac {Nq-1}{N\lewo(N-2\prawo)}},{\frac {Nq-1}{N\ left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {2} {N}},\cdots ,{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-3}{2N}},{\frac {Nq-1 }{N\lewo(N-2\prawo)}}+{\frac {N+1}{2N}},\cdots ,{\frac {Nq-1}{N\lewo(N-2\prawo) }}+{\frac {N-1}{N}};\\[8pt]{\frac {q+1}{N-2}},{\frac {q+2}{N-2}} ,\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{ \frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {q+N-2}{N-2}},{\frac {2q+2N-5}{2N-4}};\ \[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmacierz} },n=1,2,\cdots ,N-2}}$

Pierwiastek równania można zatem wyrazić jako sumę co najwyżej N  -1 funkcji hipergeometrycznych. Stosując tę ​​metodę do zredukowanej kwintyki Bring-Jerrard, zdefiniuj następujące funkcje:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} F_ {1} (t) i = \ _ {4} F_ {3} \ lewo (- {\ Frac {1} {20}} {\ Frac {3} { 20}},{\frac {7}{20}},{\frac {11}{20}};{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}},{\ frac {3}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{2}(t)&=\,_{4}F_{3} \left({\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[ 6pt]F_{3}(t)&=\,_{4}F_{3}\lewo({\frac {9}{20}},{\frac {13}{20}},{\frac { 17}{20}},{\frac {21}{20}};{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}} ;{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{4}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {7 }{10}},{\frac {9}{10}},{\frac {11}{10}},{\frac {13}{10}};{\frac {5}{4}}, {\frac {3}{2}},{\frac {7}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\prawo)\end{wyrównany}}}$

które są funkcjami hipergeometrycznymi, które pojawiają się w powyższym wzorze na szereg. Korzenie kwintyki to:

${\ Displaystyle {\ zacząć {tablica} {rcrccccccc} x_ {1}& = i {}-tF_ {2} (t) \ \ [8 pkt] x_ {2} & = i {}-F_ {1} (t )&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&+&{\frac {5}{32}}t^{2}F_{3}(t)&+&{ \frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\[8pt]x_{3}&=&F_{1}(t)&+&{\frac {1}{4 }}tF_{2}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{2}F_{3}(t)&+&{\frac {5}{32}}t^{ 3}F_{4}(t)\\[8pt]x_{4}&=&{}-iF_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t )&-&{\frac {5}{32}}to^{2}F_{3}(t)&-&-&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t )\\[8pt]x_{5}&=&iF_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&+&{\frac {5}{32 }}to^{2}F_{3}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\end{array}}}$

Jest to zasadniczo taki sam wynik, jak ten uzyskany następującą metodą.

Metoda rezolwentów różnicowych

James Cockle i Robert Harley opracowali w 1860 roku metodę rozwiązywania kwintyki za pomocą równań różniczkowych. Rozważają pierwiastki jako funkcje współczynników i obliczają różnicową rezolwercję na podstawie tych równań. Kwintyka Bringa-Jerrarda jest wyrażona jako funkcja:

${\ Displaystyle f (x) = x ^ {5} -x + a \,}$

a funkcję należy wyznaczyć w taki sposób, że: ${\displaystyle \phi (a)\,}$

${\displaystyle f[\phi (a)]=0\,}$

Funkcja musi również spełniać następujące cztery równania różniczkowe: ${\displaystyle \phi \,}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ Frac {df [\ phi (a)]} {da}} = 0 \ \ [6pt] {\ Frac {d ^ {2} f [\ phi (a)]] }{da^{2}}}=0\\[6pt]{\frac {d^{3}f[\phi (a)]}{da^{3}}}=0\\[6pt]{ \frac {d^{4}f[\phi (a)]}{da^{4}}}=0\end{wyrównany}}}$

Rozszerzenie ich i połączenie ich razem daje rezolwentę różnicową:

${\ Displaystyle {\ Frac {(256-3125a ^ {4})} {1155}} {\ Frac {d ^ {4} \ phi} {da ^ {4}}} - {\ Frac {6250a ^ {3 }}{231}}{\frac {d^{3}\phi }{da^{3}}}-{\frac {4875a^{2}}{77}}{\frac {d^{2} \phi }{da^{2}}}-{\frac {2125a}{77}}{\frac {d\phi }{da}}+\phi =0}$

Rozwiązanie rezolwenty różniczkowego, będącego równaniem różniczkowym zwyczajnym czwartego rzędu, zależy od czterech stałych całkowania , które należy wybrać tak, aby spełniały pierwotną kwintykę. Jest to fuchsowskie równanie różniczkowe zwyczajne typu hipergeometrycznego, którego rozwiązanie okazuje się identyczne z szeregiem funkcji hipergeometrycznych, które powstały w powyższym wyprowadzeniu Glassera.

Metodę tę można również uogólnić na równania arbitralnie wysokiego stopnia, z rezolwentami różniczkowymi, które są równaniami różniczkowymi cząstkowymi , których rozwiązania obejmują funkcje hipergeometryczne kilku zmiennych. Ogólny wzór na różniczkowe rezolwenty dowolnych jednowymiarowych wielomianów jest podany przez wzór powersum Nahay'a.

iteracja Doyle'a-McMullena

W 1989 roku Peter Doyle i Curt McMullen opracowali metodę iteracyjną, która rozwiązuje kwintykę w postaci normalnej Brioschi:

${\ Displaystyle x ^ {5} -10 Cx ^ {3} + 45 C ^ {2} xC ^ {2} = 0. \,}$

Algorytm iteracji przebiega następująco:

1 zestaw ${\displaystyle Z=1-1728C\,}$

2. Oblicz funkcję wymierną

${\ Displaystyle T_ {Z} (w) = w-12 {\ Frac {g (Z, w)} {g '(Z, w)}} \,}$

gdzie to funkcja wielomianowa poniżej, i jest pochodną od względem${\displaystyle g(Z,w)\,}$${\displaystyle g'\,}$${\displaystyle g(Z,w)\,}$${\displaystyle w\,}$

3. Iteruj losowo, aż do zbieżności. Wywołaj punkt graniczny i pozwól . ${\ Displaystyle T_ {Z} [T_ {Z} (w)] \,}$ ${\displaystyle w_{1}\,}$${\displaystyle w_{2}=T_{Z}(w_{1})\,}$

4. Oblicz

${\ Displaystyle \ mu _ {i} = {\ Frac {100Z (Z-1) h (Z, w_ {i})} {g (Z, w_ {i})}} \,}$

gdzie jest funkcją wielomianową podaną poniżej. Zrób to dla obu i .${\displaystyle h(Z,w)\,}$${\displaystyle w_{1}\,}$${\displaystyle w_{2}=T_{Z}(w_{1})\,}$

5. Na koniec obliczyć

${\ Displaystyle X_ {i} = {\ Frac {(9 + {\ sqrt {15}}} {\ operatorname {i}}) \ mu _ {i} + (9-{\ sqrt {15}} {\ operatorname {i} })\mu _{3-i}}{90}}}$

dla i  = 1, 2. Są to dwa pierwiastki kwintyki Brioschi.

Te dwie funkcje wielomianowe i są następujące: ${\displaystyle g(Z,w)\,}$${\displaystyle h(Z,w)\,}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} g (Z, w) = {} i 91125Z ^ {6} \ \ i {} + (-133650 w ^ {2} + 61560 w 193536) Z ^ {5} \ \ i { }+(-66825w^{4}+142560w^{3}+133056w^{2}-61140w+102400)Z^{4}\\&{}+(5940w^{6}+4752w^{5}+ 63360w^{4}-140800w^{3})Z^{3}\\&{}+(-1485w^{8}+3168w^{7}-10560w^{6})Z^{2}\\ &{}+(-66w^{10}+440w^{9})Z\\&{}+w^{12}\\[8pt]h(Z,w)={}&(1215w-648) Z^{4}\\&{}+(-540w^{3}-216w^{2}-1152w+640)Z^{3}\\&{}+(378w^{5}-504w^{ 4}+960w^{3})Z^{2}\\&{}+(36w^{7}-168w^{6})Z\\&{}+w^{9}\end{wyrównane} }}$

Ta metoda iteracyjna daje dwa pierwiastki kwintyki. Pozostałe trzy pierwiastki można uzyskać za pomocą podziału syntetycznego, aby podzielić dwa pierwiastki, tworząc równanie sześcienne. Ze względu na sposób sformułowania iteracji wydaje się, że metoda ta zawsze znajduje dwa złożone sprzężone pierwiastki kwintyki, nawet jeśli wszystkie współczynniki kwintyki są prawdziwe, a początkowe domysły są prawdziwe. Ta metoda iteracji wywodzi się z symetrii dwudziestościanu i jest ściśle powiązana z metodą, którą Felix Klein opisuje w swojej książce.

Zobacz też

• Teoria równań

Uwagi