Funkcja kwintyczna - Quintic function

Wykres wielomianu stopnia 5 z 3 zerami rzeczywistymi (pierwiastkami) i 4 punktami krytycznymi .

W Algebra , A Quintic funkcją jest działanie na formę

gdzie , b , c , d , e i f są członkami tej dziedzinie , zwykle liczby wymierne , z liczbami rzeczywistymi lub z liczbami zespolonymi i jest niezerowa. Innymi słowy, Quintic funkcja jest określona przez wielomian o stopniu piątym.

Ponieważ mają nieparzysty stopień, normalne funkcje kwintyczne na wykresie wyglądają podobnie do normalnych funkcji sześciennych , z wyjątkiem tego, że mogą posiadać dodatkowe lokalne maksimum i lokalne minimum. Pochodną o Quintic funkcji jest Quartic funkcji .

Ustawienie g ( x ) = 0 i założenie a ≠ 0 daje równanie kwintyczne postaci:

Rozwiązywanie równań kwintycznych w kategoriach pierwiastków było głównym problemem w algebrze od XVI wieku, kiedy rozwiązywano równania sześcienne i kwarcowe , aż do pierwszej połowy XIX wieku, kiedy niemożność takiego ogólnego rozwiązania została udowodniona za pomocą Abla-Ruffiniego. twierdzenie .

Znajdowanie pierwiastków równania kwintycznego

Znalezienie pierwiastków danego wielomianu było ważnym problemem matematycznym.

Rozwiązywanie równań liniowych , kwadratowych , sześciennych i kwarcowych przez faktoryzację na pierwiastki zawsze można wykonać, bez względu na to, czy pierwiastki są racjonalne czy irracjonalne, rzeczywiste czy złożone; istnieją formuły, które dają wymagane rozwiązania. Jednak nie ma wyrażenia algebraicznego (to znaczy w kategoriach pierwiastków) dla rozwiązań ogólnych równań kwintycznych nad wymiernymi; twierdzenie to znane jest jako twierdzenie Abela-Ruffiniego , po raz pierwszy stwierdzone w 1799 i całkowicie udowodnione w 1824. Wynik ten dotyczy również równań wyższych stopni. Przykładem kwintyki, której pierwiastków nie można wyrazić w postaci pierwiastków, jest x 5x + 1 = 0 .

Niektóre kwintyki można rozwiązać za pomocą rodników. Jednak rozwiązanie jest na ogół zbyt złożone, aby można je było zastosować w praktyce. Zamiast tego przybliżenia liczbowe są obliczane przy użyciu algorytmu wyszukiwania pierwiastków dla wielomianów .

Rozwiązywalne kwintyki

Niektóre równania kwintyczne można rozwiązać za pomocą rodników. Obejmują one równania kwintyczne zdefiniowane przez wielomian, który jest redukowalny , taki jak x 5x 4x + 1 = ( x 2 + 1)( x + 1)( x − 1) 2 . Wykazano na przykład, że

ma rozwiązania w rodnikach wtedy i tylko wtedy, gdy ma rozwiązanie całkowite lub r jest jednym z ±15, ±22440 lub ±2759640, w którym to przypadku wielomian jest redukowalny.

Ponieważ rozwiązywanie redukowalnych równań kwintycznych sprowadza się natychmiast do rozwiązywania wielomianów niższego stopnia, w pozostałej części tej sekcji rozważane są tylko nieredukowalne równania kwintyczne, a termin „kwintyka” będzie odnosić się tylko do nieredukowalnej kwintyki. Rozwiązalna kwintyka jest więc nieredukowalnym wielomianem kwintyki, którego pierwiastki mogą być wyrażone w postaci rodników.

Aby scharakteryzować rozwiązywalne kwintyki, a ogólniej rozwiązywalne wielomiany wyższego stopnia, Évariste Galois opracował techniki, które dały początek teorii grup i teorii Galois . Stosując te techniki, Arthur Cayley znalazł ogólne kryterium określające, czy dana kwintyka jest rozwiązywalna. To kryterium jest następujące.

Biorąc pod uwagę równanie

transformacji Tschirnhaus x = y - b/5, który obniża kwintyk (czyli usuwa człon stopnia czwartego), daje równanie

,

gdzie

Obie kwintyki są rozwiązywalne przez pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy albo są rozkładalne na czynniki w równaniach niższych stopni o współczynnikach wymiernych, albo wielomianu P 2 − 1024 z Δ , o nazwie Rezolwenta Cayleya ma pierwiastek wymierny wz, gdzie

oraz

Wynik Cayleya pozwala nam sprawdzić, czy kwintyka jest rozwiązywalna. Jeśli tak jest, znalezienie jego pierwiastków jest trudniejszym problemem, który polega na wyrażaniu pierwiastków w kategoriach rodników obejmujących współczynniki kwintyki i racjonalny pierwiastek rezolwenty Cayleya.

W 1888 roku George Paxton Young opisał, jak rozwiązać rozwiązywalne równanie kwintyczne, nie podając jednoznacznego wzoru; w 2004 roku Daniel Lazard napisał trzystronicową formułę.

Quintics w formie Bring-Jerrard

Istnieje kilka parametrycznych reprezentacji rozwiązywalnych kwintyki postaci x 5 + ax + b = 0 , zwanych formą Bringa-Jerrarda .

W drugiej połowie XIX wieku John Stuart Glashan, George Paxton Young i Carl Runge podali taką parametryzację: nieredukowalna kwintyka z racjonalnymi współczynnikami w formie Bringa-Jerrarda jest rozwiązana wtedy i tylko wtedy, gdy albo a = 0, albo może być pisemny

gdzie μ i ν są wymierne.

W 1994 roku Blair Spearman i Kenneth S. Williams podali alternatywę:

Związek między parametryzacjami z lat 1885 i 1994 można zobaczyć, definiując wyrażenie

gdzie a =5( 4v + 3)/ν 2 + 1. Używając ujemnego przypadku pierwiastka kwadratowego, po przeskalowaniu zmiennych, pierwsza parametryzacja, podczas gdy dodatni przypadek daje drugą.

Podstawienie c =m/l 5, e =1/jaw parametryzacji Spearmana-Williamsa można nie wykluczać szczególnego przypadku a = 0 , co daje następujący wynik:

Jeśli a i b są liczbami wymiernymi, równanie x 5 + ax + b = 0 można rozwiązać przez pierwiastki, jeśli albo jego lewa strona jest iloczynem wielomianów stopnia mniejszego niż 5 o współczynnikach wymiernych, albo istnieją dwie liczby wymierne l i jestem taki, że

Korzenie rozwiązywalnej kwintyki

Równanie wielomianowe jest rozwiązywalne przez pierwiastki, jeśli jego grupa Galois jest grupą rozwiązywalną . W przypadku kwintyki nieredukowalnej grupa Galois jest podgrupą symetrycznej grupy S 5 wszystkich permutacji zbioru pięcioelementowego, która jest rozwiązywalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest podgrupą grupy F 5 rzędu 20 , wygenerowaną przez permutacje cykliczne (1 2 3 4 5) i (1 2 4 3) .

Jeśli kwintyka jest rozwiązywalna, jedno z rozwiązań może być reprezentowane przez wyrażenie algebraiczne zawierające piąty pierwiastek i co najwyżej dwa pierwiastki kwadratowe, generalnie zagnieżdżone . Inne rozwiązania można następnie uzyskać albo zmieniając piąty pierwiastek, albo mnożąc wszystkie wystąpienia piątego pierwiastka przez tę samą potęgę prymitywnego piątego pierwiastka jedności , na przykład

W rzeczywistości wszystkie cztery prymitywne piąte pierwiastki jedności można uzyskać poprzez odpowiednią zmianę znaków pierwiastków kwadratowych; mianowicie wyrażenie

gdzie , daje cztery odrębne prymitywne piąte korzenie jedności.

Wynika z tego, że do zapisania wszystkich pierwiastków rozwiązywalnej kwintyki mogą być potrzebne cztery różne pierwiastki kwadratowe. Nawet dla pierwszego pierwiastka, który obejmuje co najwyżej dwa pierwiastki kwadratowe, wyrażenie rozwiązań w kategoriach pierwiastków jest zwykle bardzo skomplikowane. Jednak gdy pierwiastek kwadratowy nie jest potrzebny, postać pierwszego rozwiązania może być dość prosta, jak dla równania x 5 − 5 x 4 + 30 x 3 − 50 x 2 + 55 x − 21 = 0 , dla którego jedyne prawdziwe rozwiązanie to

Przykładem bardziej skomplikowanego (choć na tyle małego, że można go tutaj napisać) jest unikalny pierwiastek rzeczywisty x 5 − 5 x + 12 = 0 . Niech a = 2 φ -1 , b = 2 φ , oraz c = 45 , gdzie φ =1+ 5/2jest złotym podziałem . Wtedy jedyne rzeczywiste rozwiązanie x = −1,84208… jest dane przez

lub równoważnie przez

gdzie y i są czterema pierwiastkami równania kwarcowego

Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli równanie P ( x ) = 0 stopnia pierwszego p ze współczynnikami wymiernymi jest rozwiązywalne w pierwiastkach, to można zdefiniować równanie pomocnicze Q ( y ) = 0 stopnia p – 1 , również ze współczynnikami wymiernymi, tak że każdy pierwiastek z P jest sumą p -tych pierwiastków pierwiastków Q . Te p - te pierwiastki zostały wprowadzone przez Josepha-Louisa Lagrange'a , a ich produkty przez p są powszechnie nazywane rezolwentami Lagrange'a . Obliczenia Q i jego pierwiastków można wykorzystać do rozwiązania P ( x )=0 . Jednak te p -te pierwiastki nie mogą być obliczone niezależnie (dostarczyłoby to p p –1 pierwiastków zamiast p ). Stąd poprawne rozwiązanie musi wyrazić wszystkie te p -korzenie za pomocą jednego z nich. Teoria Galois pokazuje, że jest to zawsze teoretycznie możliwe, nawet jeśli wynikowa formuła może być zbyt duża, aby mogła być użyteczna.

Możliwe, że niektóre pierwiastki Q są wymierne (jak w pierwszym przykładzie tej sekcji) lub niektóre są zerowe. W takich przypadkach wzór na pierwiastki jest znacznie prostszy, jak w przypadku rozwiązania de Moivre quintic

gdzie równanie pomocnicze ma dwa pierwiastki zerowe i redukuje je przez rozłożenie do równania kwadratowego

tak, że pięć pierwiastków kwintyki de Moivre jest podanych przez

gdzie y i jest dowolnym pierwiastkiem pomocniczego równania kwadratowego, a ω jest dowolnym z czterech pierwotnych pierwiastków piątych jedności . Można to łatwo uogólnić, aby skonstruować rozwiązywalny septyk i inne dziwne stopnie, niekoniecznie pierwsze.

Inne rozwiązywalne kwintyki

Istnieje nieskończenie wiele rozwiązywalnych kwintyk w formie Bring-Jerrard, które zostały sparametryzowane w poprzedniej sekcji.

Aż do skalowania zmiennej istnieje dokładnie pięć rozwiązywalnych kwintyk kształtu , które są (gdzie s jest współczynnikiem skalowania):

Paxton Young (1888) podał kilka przykładów rozwiązywalnych kwintyk:

Źródło:

Można skonstruować nieskończony ciąg rozwiązywalnych kwintyk, których pierwiastki są sumami n -tych pierwiastków jedności , gdzie n = 10 k + 1 jest liczbą pierwszą:

Korzenie:
Źródło:
Źródło:
Źródło:
Źródło:

Istnieją również dwie sparametryzowane rodziny rozwiązywalnych kwintyk: kwintyka Kondo-Brumera,

i rodziny w zależności od parametrów

gdzie

Casus irreducibilis

Analogicznie do równań sześciennych , istnieją rozwiązywalne kwintyki, które mają pięć pierwiastków rzeczywistych, których rozwiązania w pierwiastkach obejmują pierwiastki liczb zespolonych. Jest to casus irreducibilis dla kwintyki, o którym mówi Dummit. Rzeczywiście, jeśli nieredukowalna kwintyka ma wszystkie pierwiastki rzeczywiste, żaden pierwiastek nie może być wyrażony wyłącznie w kategoriach rzeczywistych pierwiastków (tak jak w przypadku wszystkich stopni wielomianu, które nie są potęgami 2).

Poza radykałami

Około 1835 r. Jerrard wykazał, że kwintyka może być rozwiązana za pomocą ultrarodników (znanych również jako rodniki Bring), unikalnego pierwiastka rzeczywistego t 5 + ta = 0 dla liczb rzeczywistych a . W 1858 Charles Hermite wykazał , że rodnik Bringa można scharakteryzować za pomocą funkcji theta Jacobiego i związanych z nimi eliptycznych funkcji modularnych , stosując podejście podobne do bardziej znanego podejścia do rozwiązywania równań sześciennych za pomocą funkcji trygonometrycznych . Mniej więcej w tym samym czasie Leopold Kronecker , korzystając z teorii grup , opracował prostszy sposób wyprowadzenia wyników Hermite'a, podobnie jak Francesco Brioschi . Później Felix Klein wymyślił metodę, która łączy symetrie dwudziestościanu , teorii Galois i eliptycznych funkcji modularnych, które są przedstawione w rozwiązaniu Hermite'a, wyjaśniając, dlaczego w ogóle powinny się pojawiać, i opracował własne rozwiązanie w kategoriach od uogólnione funkcje hipergeometryczny . Podobne zjawiska występują w stopniu 7 ( równania septyczne ) i 11 , jak badał Klein i omówiono w Symetrii dwudziestościennej § Geometrie pokrewne .

Rozwiązywanie za pomocą sprowadzania rodników

Tschirnhaus transformacji , które mogą być obliczane poprzez rozwiązywanie Quartic równanie redukuje ogólne Quintic równanie postaci

do postaci normalnej Bringa-Jerrarda x 5x + t = 0 .

Korzeń tego równania nie można wyrazić za pomocą rodników. Jednak w 1858 roku Charles Hermite opublikował pierwsze znane rozwiązanie tego równania w kategoriach funkcji eliptycznych . Mniej więcej w tym samym czasie Francesco Brioschi i Leopold Kronecker doszli do równoważnych rozwiązań.

Zobacz Przynieś radykalne, aby uzyskać szczegółowe informacje na temat tych rozwiązań i niektórych powiązanych.

Zastosowanie do mechaniki niebieskiej

Ustalenie położenia punktów Lagrange'a na orbicie astronomicznej, w których masy obu obiektów są nie do pominięcia, obejmuje rozwiązanie kwintyki.

Dokładniej, lokalizacje L 2 i L 1 są rozwiązaniami następujących równań, w których siły grawitacyjne dwóch mas na trzecią (na przykład Słońce i Ziemia na satelitach takich jak Gaia w L 2 i SOHO w L 1 ) zapewnić siłę dośrodkową satelity niezbędną do bycia na orbicie synchronicznej z Ziemią wokół Słońca:

Szynach ± znak odpowiada L 2 i L 1 , odpowiednio; G to stała grawitacyjna , ω z prędkością kątową , r odległości od satelity do Ziemi, R odległość Sun do masy (to znaczy półoś na orbicie Ziemi), a m , M E i M S są odpowiednie masy satelity, Ziemi i Słońca .

Korzystanie z trzeciego prawa Keplera i przearanżowanie wszystkich terminów daje kwintesencję

z:

.

Rozwiązanie tych dwóch quintics wydajności R = 1,501 x 10 9 m dla L 2 i r = 1,491 x 10 9 m dla L 1 . Słońce-Ziemia wskazuje Lagrange'a L 2 i L 1 są zazwyczaj podaje się 1,5 mln km od Ziemi.


Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

  • Charles Hermite, „Sur la résolution de l'équation du cinquème degré”, Œuvres de Charles Hermite , 2 :5-21, Gauthier-Villars, 1908.
  • Felix Klein, Wykłady o dwudziestościanie i rozwiązywaniu równań piątego stopnia , przeł. George Gavin Morrice, Trübner & Co., 1888. ISBN  0-486-49528-0 .
  • Leopold Kronecker, „Sur la résolution de l'equation du cinquième degré, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite”, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 46 : 1:1150-1152 1858.
  • Blair Spearman i Kenneth S. Williams, „Charakterystyka rozwiązywalnych kwintyki x 5 + ax + b , American Mathematical Monthly , 101 :986-992 (1994).
  • Ian Stewart, Galois Theory 2nd Edition, Chapman and Hall, 1989. ISBN  0-412-34550-1 . Omawia teorię Galois ogólnie, w tym dowód nierozwiązywalności ogólnej kwintyki.
  • Jörg Bewersdorff , Teoria Galois dla początkujących: perspektywa historyczna , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, 2006. ISBN  0-8218-3817-2 . Rozdział 8 ( Rozwiązanie równań piątego stopnia w Wayback Machine (archiwum 31 marca 2010)) zawiera opis rozwiązania rozwiązywalnych kwintyk x 5 + cx + d .
  • Victor S. Adamchik i David J. Jeffrey, „Wielomianowe przekształcenia Tschirnhausa, Bring and Jerrard”, Biuletyn ACM SIGSAM , tom. 37, nr 3, wrzesień 2003, s. 90–94.
  • Ehrenfried Walter von Tschirnhaus, „Metoda usuwania wszystkich członów pośrednich z danego równania”, ACM SIGSAM Bulletin , tom. 37, nr 1, marzec 2003, s. 1–3.
  • Lazard, Daniel (2004). „Rozwiązywanie kwintyki w rodnikach”. W Olav Arnfinn Laudal ; Ragni Piene (red.). Dziedzictwo Nielsa Henrika Abla . Berlin. s. 207-225. Numer ISBN 3-540-43826-2. Zarchiwizowane z oryginału w dniu 6 stycznia 2005 r.
  • Tóth, Gábor (2002), skończone grupy Möbiusa, minimalne zanurzenia sfer i moduły

Zewnętrzne linki