Pochodna - Subderivative

Funkcja wypukła (niebieski) i „linie podstyczne” przy x ₀ (czerwony).

W matematyce , w subróżniczka , subgradient i subdifferential uogólnienia pochodna do wypukłych funkcji, które nie są koniecznie różniczkowalną . Subpochodne powstają w analizie wypukłej , badaniu funkcji wypukłych , często w połączeniu z optymalizacją wypukłą .

Niech będzie rzeczywistą funkcją wypukłą określoną na otwartym przedziale prostej rzeczywistej. Taka funkcja nie musi być różniczkowalna we wszystkich punktach: Na przykład funkcja wartości bezwzględnej f ( x )=| x | jest nieróżnicowalna, gdy x =0. Jednak, jak widać na wykresie po prawej (gdzie f(x) na niebiesko ma nieróżnicowalne załamania podobne do funkcji wartości bezwzględnej), dla dowolnego x ₀ w dziedzinie funkcji można narysować linię, która przechodzi przez punkt ( x ₀ , f ( x ₀ ) ) i który wszędzie albo styka się z wykresem f , albo znajduje się pod nim . Nachylenie takiej linii jest nazywany subróżniczka (ponieważ jest to, na podstawie wykresu f ). ${\ Displaystyle f: ja \ do \ mathbb {R} }$

Definicja

Ściśle , pochodna funkcji wypukłej w punkcie x ₀ w przedziale otwartym I jest liczbą rzeczywistą c taką, że ${\ Displaystyle f: ja \ do \ mathbb {R} }$

${\ Displaystyle f (x)-f (x_ {0}) \ geq c (x-x_ {0})}$

dla wszystkich x w I . Można pokazać, że zbiór pochodnych przy x ₀ dla funkcji wypukłej jest niepustym przedziałem domkniętym [ a , b ], gdzie a i b są granicami jednostronnymi

${\ Displaystyle a = \ lim _ {x \ do x_ {0} ^ {-}} {\ Frac {f (x)-f (x_ {0})} {x-x_ {0}}}}$

${\ Displaystyle b = \ lim _ {x \ do x_ {0} ^ {+}} {\ Frac {f (x)-f (x_ {0})} {x-x_ {0}}}}$

które gwarantują istnienie i spełniają a ≤ b .

Zbiór [ a , b ] wszystkich pochodnych nazywamy podróżniczką funkcji f przy x ₀ . Ponieważ f jest wypukłe, jeśli jego podróżniczka w zawiera dokładnie jedną pochodną, ​​to f jest różniczkowalna w . ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$

Przykład

Rozważ funkcję f ( x )=| x | który jest wypukły. Wtedy podróżniczką na początku jest przedział [−1, 1]. Podróżniczka w dowolnym punkcie x ₀ <0 to zbiór singletonów {−1}, natomiast podróżniczka w dowolnym punkcie x ₀ >0 to zbiór singletonów {1}. Jest to podobne do funkcji znaku , ale nie jest funkcją jednowartościową w 0, zamiast tego obejmuje wszystkie możliwe pochodne.

Nieruchomości

• Funkcja wypukła f : I → R jest różniczkowalna w x ₀ wtedy i tylko wtedy, gdy podróżniczkowa składa się tylko z jednego punktu, który jest pochodną w x ₀ .
• Punkt x ₀ jest globalnym minimum funkcji wypukłej f wtedy i tylko wtedy, gdy w podróżniczce zawarte jest zero, to znaczy na powyższym rysunku można narysować poziomą „podstyczną” do wykresu f w ( x ₀ , f ( x ₀ )). Ta ostatnia własność jest uogólnieniem faktu, że pochodna funkcji różniczkowalnej na minimum lokalnym wynosi zero.
• Jeżeli i są wypukłe funkcje z subdifferentials i z czym wnętrze punkt jednej z funkcji, w którym subdifferential w to (jeśli operator dodawania oznacza sumę Minkowski ). Brzmi to jako „podróżniczkowa suma jest sumą podróżniczkowych”.${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\ Displaystyle \ częściowe f (x)}$${\ Displaystyle \ częściowe g (x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f+g}$${\ Displaystyle \ częściowy (f + g) (x) = \ częściowy f (x) + \ częściowy g (x)}$

Subgradient

Pojęcia subderywna i subdyferencjalna mogą być uogólnione na funkcje kilku zmiennych. Jeśli f : U → R jest funkcją wypukłą o wartościach rzeczywistych zdefiniowaną na wypukłym zbiorze otwartym w przestrzeni euklidesowej R ⁿ , wektor w tej przestrzeni nazywany jest podgradientem w punkcie x ₀ w U jeśli dla dowolnego x w U istnieje ${\displaystyle v}$

${\ Displaystyle f (x)-f (x_ {0}) \ geq v \ cdot (x-x_ {0})}$

gdzie kropka oznacza iloczyn skalarny . Zbiór wszystkich podgradientów w x ₀ nazywany jest podróżniczką w x ₀ i jest oznaczony ∂ f ( x ₀ ). Różniczka podrzędna jest zawsze niepustym wypukłym zbiorem zwartym .

Pojęcia te uogólniają dalej do funkcji wypukłych f : U → R na zbiorze wypukłym w przestrzeni lokalnie wypukłej V . Funkcjonal ^∗ w przestrzeni dualnej V ^∗ nazywamy podgradientem w x ₀ w U jeśli dla wszystkich x w U${\displaystyle v}$

${\ Displaystyle f (x)-f (x_ {0}) \ geq v ^ {*} (x-x_ {0}).}$

Zbiór wszystkich podgradientów w x ₀ nazywany jest podróżniczką w x ₀ i jest ponownie oznaczony ∂ f ( x ₀ ). Różnica podrzędna jest zawsze wypukłym zbiorem domkniętym . Może to być zestaw pusty; rozważmy na przykład operator nieograniczony , który jest wypukły, ale nie ma podgradientu. Jeśli f jest ciągłe, podróżniczkowa nie jest pusta.

Historia

Poddyferencjał funkcji wypukłych został wprowadzony przez Jeana Jacquesa Moreau i R. Tyrrella Rockafellara na początku lat sześćdziesiątych. Uogólnione subdifferential dla funkcji nonconvex został wprowadzony przez FH Clarke i RT Rockafellar w 1980 roku.

Zobacz też

• Słaba pochodna
• Metoda subgradientowa

Bibliografia

• Borwein, Jonathan; Lewis, Adrian S. (2010). Analiza wypukła i optymalizacja nieliniowa: teoria i przykłady (2nd ed.). Nowy Jork: Springer. Numer ISBN 978-0-387-31256-9.
• Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Lemaréchal, Claude (2001). Podstawy analizy wypukłej . Skoczek. Numer ISBN 3-540-42205-6.
• Zălinescu, C. (2002). Analiza wypukła w ogólnych przestrzeniach wektorowych . World Scientific Publishing Co., Inc. s. xx+367. Numer ISBN 981-238-067-1. MR  1921556 .

Zewnętrzne linki

• „Zastosowania ”${\ Displaystyle \ lim \ limity _ {h \ do 0} {\ Frac {f (x+h)-f (xh)} {2h}}}$ . Wymiana stosu . 15 lipca 2002 r.