Stabilny kolektor - Stable manifold

W matematyce , aw szczególności w badaniach układów dynamicznych , idea stabilnych i niestabilnych zbiorów lub stabilnych i niestabilnych rozmaitości nadaje formalną matematyczną definicję ogólnym pojęciom zawartym w idei atraktora lub repellora . W przypadku dynamiki hiperbolicznej odpowiednim pojęciem jest zbiór hiperboliczny .

Przykład fizyczny

Grawitacyjne siły pływowe działające na pierścienie Saturna stanowią łatwy do wizualizacji przykład fizyczny. Siły pływowe spłaszczają pierścień do płaszczyzny równikowej, nawet gdy rozciągają go w kierunku promieniowym. Wyobrażając sobie pierścienie jako cząstki piasku lub żwiru („pył”) na orbicie wokół Saturna, siły pływowe są takie, że wszelkie zaburzenia, które wypychają cząstki powyżej lub poniżej płaszczyzny równikowej, powodują, że cząstka odczuwa siłę przywracającą, wypychając ją z powrotem do samolot. Cząsteczki skutecznie oscylują w studni harmonicznej, tłumionej przez zderzenia. Stabilny kierunek jest prostopadły do pierścienia. Niestabilny kierunek przebiega wzdłuż dowolnego promienia, gdzie siły rozciągają się i odciągają cząstki. Dwie cząstki, które zaczynają się bardzo blisko siebie w przestrzeni fazowej , doświadczą sił promieniowych, powodujących ich rozchodzenie się promieniowo. Siły te mają dodatni wykładnik Lapunowa ; trajektorie leżą na rozmaitości hiperbolicznej, a ruch cząstek jest zasadniczo chaotyczny , wędrując przez pierścienie. Kolektora centrum jest styczna do pierścieni, a cząstki nie doświadcza ani kompresji rozciągania. Pozwala to na dominację sił grawitacyjnych drugiego rzędu, dzięki czemu cząstki mogą być porywane przez księżyce lub księżyca w pierścieniach, blokując ich fazę . Siły grawitacyjne księżyców skutecznie zapewniają regularnie powtarzające się małe kopnięcia, za każdym razem wokół orbity, podobne do kopniętego wirnika , takiego jak w pętli synchronizacji fazowej .

Ruch cząstek w pierścieniu w czasie dyskretnym można przybliżyć za pomocą mapy Poincarégo . Mapa skutecznie zapewnia macierz transferu systemu. Wektorem własnym związanym z największą wartością własną macierzy jest wektor własny Frobeniusa-Perrona , który jest również miarą niezmienną , czyli rzeczywistą gęstością cząstek w pierścieniu. Wszystkie inne wektory własne macierzy transferu mają mniejsze wartości własne i odpowiadają modom zaniku.

Definicja

Poniżej przedstawiono definicję przypadku systemu, który jest funkcją iterowaną lub ma dynamikę w czasie dyskretnym. Podobne pojęcia dotyczą systemów, których ewolucja w czasie jest nadawana przez przepływ .

Pozwolić być przestrzenią topologiczną , a homeomorfizm . Jeśli jest to stały punkt dla , stabilny zbiór jest definiowany przez ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f \ dwukropek X \ do X}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle p}$

{\ Displaystyle W ^ {s} (fa, p) = \ {q \ w X: f ^ {n} (q) \ do p {\ mbox {as}} n \ do \ infty \}}

a niestabilny zbiór ${\ displaystyle p}$ jest zdefiniowany przez

{\ Displaystyle W ^ {u} (fa, p) = \ {q \ w X: f ^ {- n} (q) \ do p {\ mbox {as}} n \ do \ infty \}.}

Tutaj oznacza odwrotność funkcji , tj. Gdzie znajduje się mapa tożsamości . ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f \ circ f ^ {- 1} = f ^ {- 1} \ circ f = id_ {X}}$ ${\ identyfikator displaystyle_ {X}}$ ${\ displaystyle X}$

Jeśli jest okresowym punktem najmniejszego okresu , to jest punktem stałym , a stabilne i niestabilne zbiory są zdefiniowane przez ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle f ^ {k}}$ ${\ displaystyle p}$

{\ Displaystyle W ^ {s} (fa, p) = W ^ {s} (f ^ {k}, p)}

i

{\ Displaystyle W ^ {u} (fa, p) = W ^ {u} (f ^ {k}, p).}

Biorąc pod uwagę sąsiedztwo z tego, lokalnym stabilne i niestabilne zestawy z są zdefiniowane przez ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle p}$

{\ Displaystyle W _ {\ mathrm {loc}} ^ {s} (f, p, U) = \ {q \ in U: f ^ {n} (q) \ in U {\ mbox {dla każdego}} n \ geq 0 \}}

i

{\ Displaystyle W _ {\ mathrm {loc}} ^ {u} (fa, p, U) = W _ {\ mathrm {loc}} ^ {s} (f ^ {- 1}, p, U).}

Jeśli jest metrizowalny , możemy zdefiniować stabilne i niestabilne zbiory dla dowolnego punktu za pomocą ${\ displaystyle X}$

{\ Displaystyle W ^ {s} (fa, p) = \ {q \ w X: d (f ^ {n} (q), f ^ {n} (p)) \ do 0 {\ mbox {dla} } n \ do \ infty \}}

i

{\ Displaystyle W ^ {u} (fa, p) = W ^ {s} (f ^ {- 1}, p),}

gdzie jest metryka dla . Ta definicja wyraźnie pokrywa się z poprzednią, gdy jest to punkt okresowy. ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle p}$

Załóżmy teraz, że jest zwarta gładka kolektor i jest dyfeomorfizmu , . Jeśli jest hiperboliczny punkt nadjodowego stabilny rozdzielacz twierdzenie zapewnia, że w pewnym otoczeniu o lokalna trwałe i nietrwałe zestawy są wbudowanych dysków, których przestrzeń styczna w to i (niezmiennych i zmiennych przestrzenie ), odpowiednio; ponadto zmieniają się one w sposób ciągły (w pewnym sensie) w sąsiedztwie w topologii (przestrzeni wszystkich dyfeomorfizmów od siebie). Wreszcie stabilne i niestabilne zestawy to dyski zanurzone iniekcyjnie. Dlatego powszechnie nazywa się je rozmaitościami stabilnymi i niestabilnymi . Ten wynik jest również ważny dla punktów nieokresowych, o ile leżą one w pewnym zbiorze hiperbolicznym (twierdzenie o rozmaitości stabilnej dla zbiorów hiperbolicznych). ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}$ ${\ displaystyle k \ geq 1}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle E ^ {s}}$ ${\ displaystyle E ^ {u}}$ ${\ Displaystyle Df (p)}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {różnic} ^ {k} (X)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}$

Uwaga

Jeśli jest przestrzenią wektorową (o skończonych wymiarach) i izomorfizmem, jej zbiory stabilne i niestabilne nazywane są odpowiednio przestrzenią stabilną i przestrzenią niestabilną. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f}$

Zobacz też

Bibliografia

Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Podstawy mechaniki . Czytanie Mszy: Benjamin / Cummings. ISBN 0-8053-0102-X .
Irwin, Michael C. (2001). „Stabilne kolektory” . Gładkie układy dynamiczne . World Scientific. pp. 143–160. ISBN 981-02-4599-8 .
Sritharan, SS (1990). Teoria niezmiennych rozmaitości dla przemian hydrodynamicznych . Nowy Jork: John Wiley & Sons. ISBN 0-582-06781-2 .

Ten artykuł zawiera materiał ze stabilnej rozmaitości w serwisie PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Attribution / Share-Alike License .

Languages

In other projects