Specjalna transformacja konformalna - Special conformal transformation

Siatka współrzędnych przed specjalną transformacją konformalną

Ta sama siatka po specjalnej transformacji konformalnej

W geometrii rzutowej , wykorzystując specjalny transformacja konformalna jest liniowa transformacja ułamkowa to nie afiniczna transformacji . Zatem generowanie specjalnej transformacji konformalnej wymaga użycia inwersji multiplikatywnej , która jest generatorem liniowych przekształceń ułamkowych, które nie są afiniczne.

W fizyce matematycznej niektóre mapy konformalne znane jako transformacje fal sferycznych są specjalnymi przekształceniami konformalnymi .

Prezentacja wektorowa

Można napisać specjalną transformację konformalną

${\ Displaystyle x '^ {\ mu} = {\ Frac {x ^ {\ mu} -b ^ {\ mu} x ^ {2}} {1-2b \ cdot x + b ^ {2} x ^ { 2}}} = {\ frac {x ^ {2}} {| x-bx ^ {2} | ^ {2}}} (x ^ {\ mu} -b ^ {\ mu} x ^ {2} ) \ ,.}$

Jest to kompozycja inwersji ( x ^μ  →  x ^μ / x ² = y ^μ ), translacji ( y ^μ  →  y ^μ  -  b ^μ = z ^μ ) i innej inwersji ( z ^μ  →  z ^μ / z ² = x ′ ^μ ) takie, że:

${\ Displaystyle {\ Frac {x '^ {\ mu}} {x' ^ {2}}} = {\ Frac {x ^ {\ mu}} {x ^ {2}}} - b ^ {\ mu } \ ,.}$

Jego nieskończenie mały generator to

${\ Displaystyle K _ {\ mu} = - ja (2x _ {\ mu} x ^ {\ nu} \ częściowe _ {\ nu} -x ^ {2} \ częściowe _ {\ mu}) \ ,.}$

Alternatywna prezentacja

Inwersja mogą być podejmowane również być multyplikatywną inwersja biquaternions B . Złożoną algebrę B można rozszerzyć do P ( B ) poprzez linię rzutową na pierścieniu . Homografie na P (B) obejmują tłumaczenia:

${\ Displaystyle U (q, 1) {\ początek {pmatrix} 1 i 0 \\ t i 1 \ koniec {pmatrix}} = U (q + t, 1).}$

Grupa homografii G ( B ) obejmuje koniugaty translacji przez inwersję:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ t & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 0 i 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix} } = {\ begin {pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}.}$

Macierz opisuje działanie specjalnej transformacji konformalnej.

Bibliografia