Okres (geometria algebraiczna) - Period (algebraic geometry)

W geometrii algebraicznej , A okres to ilość , która może być wyrażona jako integralny o funkcji algebraicznej na domenie algebraicznych. Sumy i iloczyny okresów pozostają okresami, więc okresy tworzą pierścień .

Maksym Kontsevich i Don Zagier dokonali przeglądu okresów i przedstawili kilka przypuszczeń na ich temat.

Definicja

Liczba rzeczywista to kropka, jeśli ma postać

${\ Displaystyle \ int _ {P (x, y, z, \ ldots) \ geq 0} Q (x, y, z, \ ldots) \ operatorname {d} x \ operatorname {d} r \ operatorname {d} z\ldots }$

gdzie jest wielomianem i funkcja wymierna na współczynnikach wymiernych. Liczba zespolona to kropka, jeśli jej części rzeczywiste i urojone są kropkami. ${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Alternatywna definicja dopuszcza i może być funkcjami algebraicznymi ; wygląda to bardziej ogólnie, ale jest równoważne. Współczynniki funkcji wymiernych i wielomianów można również uogólnić na liczby algebraiczne, ponieważ niewymierne liczby algebraiczne można wyrazić w kategoriach obszarów odpowiednich dziedzin. ${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

W drugim kierunku można ograniczyć do funkcji stałej lub , zastępując całkę całką z obszaru określonego przez wielomian w dodatkowych zmiennych. Innymi słowy, okres (nieujemny) to objętość regionu zdefiniowanego przez nierówność wielomianową. ${\displaystyle Q}$${\ Displaystyle 1}$${\ Displaystyle -1}$${\ Displaystyle \ pm 1}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Przykłady

Oprócz liczb algebraicznych, następujące liczby są znane jako okresy:

• Naturalny logarytm o dowolnej dodatniej liczby algebraicznej A , która jest${\ Displaystyle \ int _ {1} ^ {a} {\ Frac {1} {x}} \ \ operatorname {d} x}$
• π${\ Displaystyle = \ int _ {0} ^ {1} {\ Frac {4} {x ^ {2} +1}} \ \ operatorname {d} x}$
• Całki eliptyczne z argumentami wymiernymi
• Wszystkie stałe zeta ( funkcja zeta Riemanna liczby całkowitej) i wiele wartości zeta
• Specjalne wartości funkcji hipergeometrycznych na argumentach algebraicznych
• Γ ( p / q ) ^q dla liczb naturalnych p i q .

Przykładem liczby rzeczywistej, która nie jest okresem, jest stała Chaitina Ω . Każda inna liczba nieobliczalna również stanowi przykład liczby rzeczywistej, która nie jest kropką. Obecnie nie ma naturalnych przykładów liczb obliczalnych , które nie są kropkami, jednak możliwe jest konstruowanie sztucznych przykładów. Prawdopodobni kandydaci na liczby, które nie są okresami, obejmują e , 1/ π i stałą Eulera-Mascheroniego γ .

Właściwości i motywacja

Okresy mają na celu wypełnienie luki między liczbami algebraicznymi i liczbami transcendentalnymi . Klasa liczb algebraicznych jest zbyt wąska, aby objąć wiele powszechnych stałych matematycznych , podczas gdy zbiór liczb przestępnych jest niepoliczalny , a jego elementy generalnie nie są obliczalne .

Zbiór wszystkich okresów jest przeliczalny , a wszystkie okresy są obliczalne , aw szczególności definiowalne .

Przypuszczenia

Wiele stałych znanych jako okresy jest również podanych przez całki funkcji transcendentalnych . Kontsevich i Zagier zauważają, że „wydaje się nie istnieć uniwersalna reguła wyjaśniająca, dlaczego pewne nieskończone sumy lub całki funkcji transcendentalnych są okresami”.

Kontsevich i Zagier wywnioskowali, że jeśli okres dany jest przez dwie różne całki, to każda całka może zostać przekształcona w drugą tylko za pomocą liniowości całek (zarówno w całce, jak i w dziedzinie), zmian zmiennych oraz Newtona-Leibniza formuła

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f '(x) \ dx = f (b) - f (a)}$

(lub ogólniej formuła Stokesa ).

Przydatną właściwością liczb algebraicznych jest to, że równość między dwoma wyrażeniami algebraicznymi można określić algorytmicznie. Z przypuszczenia Kontsevicha i Zagiera wynikałoby, że równość okresów jest również rozstrzygalna: nierówność liczb rzeczywistych obliczalnych jest znana jako rekurencyjnie przeliczalna ; i odwrotnie, jeśli dwie całki się zgadzają, algorytm może to potwierdzić, próbując wszystkich możliwych sposobów przekształcenia jednej z nich w drugą.

Przypuszcza się, że liczba Eulera e i stała Eulera-Mascheroni γ nie są okresami.

Uogólnienia

Okresy można rozszerzyć do okresów wykładniczych , pozwalając, aby całka była iloczynem funkcji algebraicznej i funkcji wykładniczej funkcji algebraicznej. To rozszerzenie obejmuje wszystkie potęgi algebraiczne e , funkcję gamma argumentów wymiernych oraz wartości funkcji Bessela . ${\displaystyle Q}$

Kontsevich i Zagier sugerują, że istnieją „wskazania”, że okresy można naturalnie uogólnić jeszcze dalej, włączając stałą Eulera γ. Wraz z tym włączeniem „wszystkie klasyczne stałe są okresami w odpowiednim sensie”.

Zobacz też

• Odmiana jakobian
• Połączenie Gaussa-Manina
• Motywy mieszane (matematyka)
• Tannacki formalizm

Bibliografia

• Kontsevich Maxim ; Zagier, Don (2001). „Okresy” (PDF) . w Engquist, Björn; Schmid, Wilfried (wyd.). Matematyka nieograniczona — 2001 i dalej . Berlin, Nowy Jork: Springer . s. 771-808. Numer ISBN 9783540669135. MR  1852188 .

Przypisy

Dalsza lektura

• Belkale, Prakasz; Brosnan, Patrick (2003), "Okresy i lokalne funkcje zeta Igusa", International Mathematics Research Notices , 2003 (49): 2655-2670, doi : 10.1155/S107379280313142X , ISSN  1073-7928 , MR  2012522
• Waldschmidt, Michel (2006), „Transcendencja okresów: stan wiedzy” (PDF) , Kwartalnik Matematyki Czystej i Stosowanej , 2 (2): 435–463, doi : 10.4310/PAMQ.2006.v2.n2.a3 , ISSN  1558-8599 , MR  2251476

Linki zewnętrzne

• PlanetMath: okres