Mixed tensor - Mixed tensor

W analizie tensora , o mieszanym tensor jest tensor który nie jest ani ściśle kowariantna ani ściśle kontrawariantny ; co najmniej jeden ze wskaźników mieszanego tensora będzie dolny (kowariantna) i co najmniej jeden ze wskaźników będzie górnego (kontrawariantny).

Mieszany tensor typu lub wartościowości także napisany „typu ( M , N )” zarówno M > 0 N > 0, jest napinacz, który ma M indeksy kontrawariantny i N wskaźniki covariant. Taki napinacz może być określony jako funkcja liniowa , która odwzorowuje ( M + N ) -tuple z fuzji jednej form i N wektorów do skalarnej . ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ Binom {M} {N}}}$

Zmiana typu tensorowy

Rozważmy następujący oktet powiązanych tensorów:

${\ Displaystyle T _ {\ a \ p \ y}, \ t _ {\ a \ p} {} ^ {\ y}, \ t _ {\ a} {} ^ {\ p} {} _ {\ y} \ t _ {\ a} {} ^ {\ P y \} \ T ^ {\ a} {} _ {\ p \ y}, \ t ^ {\ a} {} _ {\ p} {} ^ {\ y}, \ t ^ {\ a \ p} {} _ {\ y}, \ t ^ {\ a \ p \ y}}$,

Pierwszym z nich jest kowariantna, ostatni kontrawariantny, a pozostałe mieszane. Notationally te tensory różnią się od siebie kowariancji / kontrawariancji ich wskaźniki. Dany kontrawariantny wskaźnik tensora można obniżyć stosując metrykę tensora g _μν i dany wskaźnik kowariantna może być podniesiona przy użyciu odwrotnej metryki tensora g ^μν . Tak więc, g _μν można nazwać indeks obniżające operatora i g ^μν przez operatora podnoszenia indeksu .

Ogólnie, kowariantna napinacz metryki umowę z tensora typu ( M , N ), uzyskuje się tensor typu ( M - 1, N + 1), natomiast jego kontrawariantny odwrotną zawieranego tensora typu ( M , N ) , daje tensora typu ( M + 1, N - 1).

Przykłady

Na przykład, mieszany tensor typu (1, 2) mogą być uzyskane przez zwiększenie indeksem covariant tensora typu (0, 3),

${\ Displaystyle T _ {\ a \ p} {} ^ {\ N} = {T _ \ a \ p \ y} \, G ^ {\ y \ N}}$,

gdzie jest taka sama jak tensor , ponieważ ${\ Displaystyle T _ {\ a \ p} {} ^ {\ N}}$${\ Displaystyle T _ {\ a \ p} {} ^ {\ y}}$

${\ Displaystyle T _ {\ a \ p} {} ^ {\ N} \ \ delta _ {\ N} {} ^ {\ y} = T _ {\ a \ p} {} ^ {\ y}}$,

z Kronecker δ działając jak tutaj macierzą jednostkową.

Również,

${\ Displaystyle T _ {\ {alfa}} ^ {\ N} {} _ {\ y _ T} = {\ a \ p \ y} \, G ^ {\ P \ N}}$

${\ Displaystyle T _ {\ a} {} ^ {\ N \ epsilon} = T _ {\ a \ p \ y} \, G ^ {\ P \ N} \, G ^ {\ y \ epsilon}}$

${\ Displaystyle T ^ {\ a \ p} {} _ {\ y} = g _ {\ y \ N} \ T ^ {\ a \ P \ N}}$

${\ Displaystyle T ^ {\ a} {} _ {\ N \ epsilon} = g _ {\ N \ p} \, G _ {\ epsilon \ y} \ T ^ {\ a \ p \ y}.}$

Podnoszenie indeks tensora metrycznego jest równoważne zamawiających je z odwrotną otrzymując delta Kronecker ,

${\ Displaystyle g ^ {\ mu \ N} \, G _ {\ N \ v} = g ^ {\ il} {} _ {\ v} = \ § ^ {\ il} {} _ {\ v}}$,

więc każda mieszana wersja tensora metrycznej będzie równa Kroneckera delta, który również jest znany jako mixed.It mieszany tensora

Zobacz też

• Kowariancji i kontrawariancja wektorów
• notacja Einstein
• Ricci rachunek
• Tensor (rzeczywista definicja)
• Dwupunktowa tensor

Referencje

• DC Kay (1988). Tensor nazębny . Schaum kontur, McGraw Hill (USA). ISBN  0-07-033484-6 .
• Wheeler, JA; Misner, C .; Thorne, KS (1973). „Praca z §3.5 tensorów”. Grawitacja . WH Freeman & Co. str. 85-86. ISBN  0-7167-0344-0 .
• R. Penrose (2007). Droga do rzeczywistości . Vintage Books. ISBN  0-679-77631-1 .

Linki zewnętrzne

• Indeks gimnastyka , Wolfram Alpha