Powierzchnia hipereliptyczna - Hyperelliptic surface

W matematyce , a hiperbolicznych powierzchni lub dwa eliptycznej powierzchni , to powierzchnia którego Albanese morfizmem jest eliptyczny fibration . Każda taka powierzchnia może być zapisana jako iloraz z produktu dwóch krzywych eliptycznych przez skończonej grupy Abelowych . Powierzchnie hipereliptyczne stanowią jedną z klas powierzchni o wymiarze Kodaira 0 w klasyfikacji Enriques – Kodaira .

Niezmienniki

Wymiar Kodaira to 0.

Diament Hodge:

1
1 1
0 2 0
1 1
1

Klasyfikacja

Każda hipereliptyczna powierzchnia jest ilorazem ( E × F ) / G , gdzie E = C / Λ i F są krzywymi eliptycznymi, a G jest podgrupą F ( działającą na F przez translacje). Istnieje siedem rodzin powierzchni hipereliptycznych, jak w poniższej tabeli.

rząd K. Λ sol Działanie G na E.
2 Każdy Z / 2 Z e → - e
2 Każdy Z / 2 Z ⊕ Z / 2 Z e → - e , e → e + c , - c = c
3 Z ⊕ Z ω Z / 3 Z e → ω e
3 Z ⊕ Z ω Z / 3 Z ⊕ Z / 3 Z e → ω e , e → e + c , ω c = c
4 Z ⊕ Z i; Z / 4 Z e → ja e
4 Z ⊕ Z i Z / 4 Z ⊕ Z / 2 Z e → i e , e → e + c , i c = c
6 Z ⊕ Z ω Z / 6 Z e → −ω e

Tutaj ω jest prymitywnym pierwiastkiem sześciennym z 1, a i jest prymitywnym czwartym pierwiastkiem z 1.

Powierzchnie quasi hipereliptyczne

Quasi hiperbolicznych powierzchnia jest powierzchnią którego kanoniczne dzielnik jest równe liczbowo zero, Albanese odwzorowania odwzorowuje krzywej eliptycznej, a wszystkie jej włókna są racjonalne z progu . Występują tylko w cechach 2 lub 3. Ich druga liczba Bettiego to 2, druga liczba Cherna znika, a holomorficzna charakterystyka Eulera znika. Zostały one sklasyfikowane przez ( Bombieri & Mumford 1976 ), którzy znaleźli sześć przypadków w charakterystyce 3 (w tym przypadku 6 K = 0) i osiem przypadków w charakterystyce 2 (w którym to przypadku 6 K lub 4 K znika). Każda powierzchnia quasi hiperbolicznych ilorazem ( E x F ) / G , gdzie E jest racjonalne krzywej z jednym wierzchołku, M jest na krzywej eliptycznej, a G jest skończoną schemat podgrupy z F (działający na F w tłumaczeniu).

Bibliografia

  • Barth, Wolf P .; Hulek, Klaus; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004), Compact Complex Surfaces , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4 , Springer-Verlag, Berlin, ISBN   978-3-540-00832-3 , MR   2030225 - standardowy podręcznik dotyczący zwartych, złożonych powierzchni
  • Beauville, Arnaud (1996), Złożone powierzchnie algebraiczne , London Mathematical Society Student Texts, 34 (2nd ed.), Cambridge University Press , ISBN   978-0-521-49510-3 , MR   1406314 , ISBN   978-0-521-49842-5
  • Bombieri, Enrico ; Mumford, David (1976), „Klasyfikacja powierzchni wg Enriquesa w char. P. III”. (PDF) , Inventiones Mathematicae , 35 : 197–232, doi : 10.1007 / BF01390138 , ISSN   0020-9910 , MR   0491720
  • Bombieri, Enrico ; Mumford, David (1977), "Enriques 'klasyfikacja powierzchni w char. P. II", Analiza zespolona i geometria algebraiczna , Tokio: Iwanami Shoten, str. 23–42, MR   0491719