Asocjatywność mocy - Power associativity

W matematyce , a konkretnie w algebry abstrakcyjnej , asocjatywność moc jest właściwością binarnej operacji , która jest słaba forma skojarzeń .

Definicja

Algebra (lub bardziej ogólnie magmy ) jest uważany zasilania asocjacyjny jeśli podalgebrą generowane przez każdy element jest łączne. Konkretnie oznacza to, że jeśli element jest wykonywany samoczynnie kilka razy, nie ma znaczenia, w jakiej kolejności operacje są wykonywane, a więc na przykład . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle *}$${\ Displaystyle x * (x * (x * x)) = (x * (x * x)) * x = (x * x) * (x * x)}$

Przykłady i właściwości

Każda algebra asocjacyjna jest skojarzona z potęgą, podobnie jak wszystkie inne algebry alternatywne (takie jak oktoniony , które nie są asocjacyjne), a nawet niektóre algebry nie-alternatywne, takie jak sedenions i algebry Okubo . Każda algebra, której elementy są idempotentne, jest również skojarzona z potęgą.

Potęgowanie do potęgi dowolnej dodatniej liczby całkowitej można zdefiniować konsekwentnie, ilekroć mnożenie jest skojarzone z potęgą. Na przykład nie ma potrzeby rozróżniania, czy x ³ powinno być zdefiniowane jako ( xx ) x czy jako x ( xx ), ponieważ są one równe. Potęgowanie do potęgi zera można również zdefiniować, jeśli operacja ma element tożsamości , więc istnienie elementów tożsamości jest przydatne w kontekstach potęgowo-asocjacyjnych.

W polu o charakterystyce 0 algebra jest skojarzona z potęgą wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia i , gdzie jest asocjatorem (Albert 1948). ${\ Displaystyle [x, x, x] = 0}$${\ Displaystyle [x ^ {2}, x, x] = 0}$${\ Displaystyle [x, y, z]: = (xy) zx (yz)}$

W nieskończonym polu o pierwszorzędnej charakterystyce nie ma skończonego zbioru tożsamości, który charakteryzuje asocjatywność władzy, ale istnieją nieskończone zbiory niezależne, jak opisał Gainov (1970): ${\ displaystyle p> 0}$

• Dla : i dla ( ${\ displaystyle p = 2}$${\ Displaystyle [x, x ^ {2}, x] = 0}$${\ Displaystyle [x ^ {n-2}, x, x] = 0}$${\ Displaystyle n = 3,2 ^ {k}}$${\ Displaystyle k = 2,3 ...)}$
• Dla : for ( ${\ displaystyle p = 3}$${\ Displaystyle [x ^ {n-2}, x, x] = 0}$${\ Displaystyle n = 4,5,3 ^ {k}}$${\ Displaystyle k = 1,2 ...)}$
• Dla : for ( ${\ displaystyle p = 5}$${\ Displaystyle [x ^ {n-2}, x, x] = 0}$${\ Displaystyle n = 3,4,6,5 ^ {k}}$${\ Displaystyle k = 1,2 ...)}$
• Dla : for ( ${\ displaystyle p> 5}$${\ Displaystyle [x ^ {n-2}, x, x] = 0}$${\ Displaystyle n = 3,4, p ^ {k}}$${\ Displaystyle k = 1,2 ...)}$

Prawo substytucji obowiązuje dla rzeczywistych algebr potęgowo-asocjacyjnych z jednostką, które zasadniczo stwierdza, że ​​mnożenie wielomianów działa zgodnie z oczekiwaniami. Dla f rzeczywistego wielomianu w x i dla dowolnego a w takiej algebrze zdefiniuj f ( a ) jako element algebry wynikający z oczywistego podstawienia a do f . Następnie dla dowolnych dwóch takich wielomianów f i g mamy to ( fg ) ( a ) = f ( a ) g ( a ) .

Zobacz też

• Alternatywność

Bibliografia

• Albert, A. Adrian (1948). „Pierścienie asocjacyjne mocy” . Transakcje Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 64 : 552–593. doi : 10.2307 / 1990399 . ISSN   0002-9947 . JSTOR   1990399 . MR   0027750 . Zbl   0033.15402 .
• Gainov, AT (1970). „Algebry potęgowo-asocjacyjne nad ciałem o charakterystyce skończonej”. Algebra i logika . 9 (1): 5–19. doi : 10.1007 / BF02219846 . ISSN   0002-9947 . MR   0281764 . Zbl   0208.04001 .
• Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander ; Rost, Markus ; Tignol, Jean-Pierre (1998). Księga inwolucji . Publikacje kolokwium. 44 . Z przedmową Jacquesa Titsa . Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN   0-8218-0904-0 . Zbl   0955.16001 .
• Okubo, Susumu (1995). Wprowadzenie do oktonionu i innych algebr niezespolonych w fizyce . Seria wykładów Montroll Memorial z fizyki matematycznej. 2 . Cambridge University Press . p. 17. ISBN   0-521-01792-0 . MR   1356224 . Zbl   0841.17001 .
• Schafer, RD (1995) [1966]. Wprowadzenie do algebr nieasocjacyjnych . Dover. s.  128–148 . ISBN   0-486-68813-5 .