Grupa Picarda - Picard group

W matematyce The grupa Picard z otoczonej pierścieniami przestrzeni X , oznaczoną PIC ( X ), to grupa Izomorfizm klas odwracalnych krążków (lub wiązek linii ) na X , przy czym operacja grupa jest napinacz produkt . Ta konstrukcja jest globalną wersją konstrukcji grupy klas dzielników lub idealnej grupy klas i jest często stosowana w geometrii algebraicznej i teorii rozmaitości zespolonych .

Alternatywnie grupę Picarda można zdefiniować jako grupę kohomologii snopków

${\ Displaystyle H ^ {1} (X {\ Mathcal {O}} _ {X} ^ {*}). \,}$

W przypadku schematów całkowych grupa Picarda jest izomorficzna z grupą klasową dzielników Cartiera . W przypadku rozmaitości złożonych wykładniczy ciąg snopów daje podstawowe informacje o grupie Picarda.

Nazwa jest na cześć teorii Émile'a Picarda , w szczególności dzielników na powierzchniach algebraicznych .

Przykłady

• Grupa Picard w widmie o DEDEKIND domeny jest jego grupa klasy idealny .
• W odwracalna krążki na przestrzeni rzutowej P ⁿ ( k ) dla k pola , to skręcanie koła pasowe tak, grupa Picard P ⁿ ( k ) jest izomorficzny Z .${\displaystyle {\mathcal {O}}(m),\,}$
• Grupa Picarda linii afinicznej o dwóch początkach nad k jest izomorficzna z Z .
• Grupa Picarda w -wymiarowej złożonej przestrzeni afinicznej : , rzeczywiście ciąg wykładniczy daje następującą długą dokładną sekwencję w kohomologii${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Pic} (\ mathbb {C} ^ {n}) = 0}$

${\ Displaystyle \ kropki \ do H ^ {1} (\ mathbb {C} ^ {n}, {\ podkreślenie {\ mathbb {Z}}}) \ do H ^ {1} (\ mathbb {C} ^ { n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{ \mathbb {C} ^{n}}^{\star })\to H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to \cdots }$

a ponieważ mamy ponieważ jest kurczliwe, to możemy zastosować izomorfizm Dolbeaulta do obliczenia według lematu Dolbeaulta-Grothendiecka . ${\ Displaystyle H ^ {k} (\ mathbb {C} ^ {n} {\ podkreślenie {\ mathbb {Z}}}) \ simeq H_ {\ scriptscriptstyle {\ rm {śpiewać}}} ^ {k} ( \mathbb {C} ^{n};\mathbb {Z} )}$${\ Displaystyle H ^ {1} (\ mathbb {C} ^ {n} {\ podkreślenie {\ mathbb {Z}}}) \ simeq H ^ {2} (\ mathbb {C} ^ {n} { \underline {\mathbb {Z} }})\simeq 0}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ Displaystyle H ^ {1} (\ mathbb {C} ^ {n} {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {C} ^ {n}}) \ simeq H ^ {1} (\ mathbb { C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })}$${\ Displaystyle H ^ {1} (\ mathbb {C} ^ {n} {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {C} ^ {n}}) \ simeq H ^ {1} (\ mathbb { C} ^{n},\Omega _{\mathbb {C} ^{n}}^{0})\simeq H_{\bar {\partial }}^{0,1}(\mathbb {C} ^ {n})=0}$

Schemat pikarda

Konstrukcja struktury schematu na ( reprezentowalnej wersji funktora ) grupy Picarda, schematu Picarda , jest ważnym krokiem w geometrii algebraicznej, w szczególności w teorii dualności rozmaitości abelowych . Został skonstruowany przez Grothendiecka i 1961/62 , a także opisany przez Mumforda (1966) i Kleimana (2005) . Odmiana Picard jest podwójny do Albanese odmiany klasycznej geometrii algebraicznej. błąd harvtxt: brak celu: CITEREFGrothendieck1961/62 ( pomoc )

W przypadkach, o dużym znaczeniu dla klasycznego algebraicznej geometrii dla nieosobliwej całkowitego odmiany V nad zakresie od charakterystycznego zero, podłączone urządzenie tożsamości w systemie Picard jest abelowa różne napisane Pic ⁰ ( V ). W szczególnym przypadku, w którym V jest krzywa ta Składnik obojętny jest jakobian różne od V . Natomiast dla pól o dodatniej charakterystyce Igusa skonstruowała przykład gładkiej powierzchni rzutowej S z Pic ⁰ ( S ) niezredukowanym, a więc nie będącym odmianą abelową .

Iloraz PIC ( V ) / Pic ⁰ ( V ) jest skończoną generowane grupa abelowa oznaczona NS ( V ), przy czym grupy Nerón-Severiego o V . Innymi słowy grupa Picard pasuje do dokładnej sekwencji

${\ Displaystyle 1 \ do \ operatorname {rys} ^ {0} (V) \ do \ operatorname {rys} (V) \ do \ operatorname {NS} (V) \ do 1. \,}$

Fakt, że pozycja NS ( V ) jest ograniczony jest Francesco Severi jest twierdzenie podstawy ; rangę jest liczba Picard z V , często oznaczone ρ ( V ). Geometrycznie NS( V ) opisuje algebraiczne klasy równoważności dzielników na V ; to znaczy, używając silniejszej, nieliniowej relacji równoważności zamiast liniowej równoważności dzielników , klasyfikacja staje się podatna na dyskretne niezmienniki. Równoważność algebraiczna jest ściśle powiązana z równoważnością numeryczną , czyli w zasadzie topologiczną klasyfikacją według liczb przecięcia .

Względny schemat Picarda

Niech f : X → S będzie morfizmem schematów. Względem funktor Picard (lub względem schemat Picard , jeśli jest to schemat) jest dane przez: dla każdego S -schemat T ,

${\ Displaystyle \ Operatorname {Pic} _ {X / S} (T) = \ Operatorname {Pic} (X_ {T}) / F_ ​​{T} ^ {*} (\ Operatorname {Pic} (T))}$

gdzie jest zmiana podstawy f i f _T ^* jest cofnięciem. ${\ Displaystyle f_ {T}: X_ {T} \ do T}$

Mówimy L w posiada stopień R jeśli do każdego miejsca geometrycznej s → T pullback z L wzdłuż S ma stopień R jako odwracalna wiązce na włókno X _s (w przypadku stopień jest określony dla grupy Picard x _s ). ${\ Displaystyle \ Operatorname {Pic} _ {X/S} (T)}$${\ Displaystyle s ^ {*} L}$

Zobacz też

• Kohomologia snopa
• Odmiana Chow
• Dzielnik Cartiera
• Holomorficzna wiązka linii
• Idealna grupa klasowa
• Grupa klasy Arakelov
• Stos grupowy
• Kategoria pikarda

Uwagi

Bibliografia

• Grothendieck, A. (1962), V. Les schémas de Picard. Théorèmes d'existence , Seminarium Bourbaki, t. 14: année 1961/62, exposés 223-240, no. 7, Dyskusja nr. 232, s. 143–161
• Grothendieck, A. (1962), VI. Les Schémas de Picard. Propriétés générales , Seminarium Bourbaki, t. 14: rok 1961/62, exposés 223-240, no. 7, Dyskusja nr. 236, s. 221–243
• Hartshorne, Robin (1977), Geometria algebraiczna , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157 , OCLC  13348052
• Igusa, Jun-Ichi (1955), „O niektórych problemach w abstrakcyjnej geometrii algebraicznej”, Proc. Natl. Acad. Nauka. USA , 41 (11): 964–967, Bibcode : 1955PNAS...41..964I , doi : 10.1073/pnas.41.11.964 , PMC  534315 , PMID  16589782
• Kleiman, Steven L. (2005), "Schemat Picarda", Podstawowa geometria algebraiczna , Matematyka. Surveys Mongr., 123 , Providence, RI: American Mathematical Society , s. 235-321, arXiv : math/0504020 , Bibcode : 2005math......4020K , MR  2223410
• Mumford, David (1966), Wykłady na krzywych na powierzchni algebraicznej , Annals of Mathematics Studies, 59 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-07993-6, MR  0209285 , OCLC  171541070
• Mumford, David (1970), odmiany abelowe , Oxford: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-560528-0, OCLC  138290