Stałe Feigenbauma - Feigenbaum constants

Stała Feigenbauma δ wyraża granicę stosunku odległości między kolejnymi wykresami bifurkacji on L _i/L _{i  + 1}

W matematyce , a konkretnie w teorii bifurkacji , stałe Feigenbauma to dwie stałe matematyczne, które wyrażają stosunki na diagramie bifurkacji dla nieliniowej mapy. Ich nazwa pochodzi od fizyka Mitchella J. Feigenbauma .

Historia

Feigenbaum pierwotnie powiązał pierwszą stałą z bifurkacjami podwajającymi okres na mapie logistycznej , ale wykazał również, że jest ona odpowiednia dla wszystkich map jednowymiarowych z jednym maksimum kwadratowym . W konsekwencji tej ogólności każdy układ chaotyczny, który odpowiada temu opisowi, rozwidla się w tym samym tempie. Feigenbaum dokonał tego odkrycia w 1975 roku i oficjalnie opublikował je w 1978 roku.

Pierwsza stała

Pierwszy stała feigenbauma δ jest ograniczenie stosunku każdego przedziału do następnego rozgałęzienia od każdego okresu podwojenia , o jedno- parametru mapie

${\ Displaystyle x_ {i + 1} = f (x_ {i})}$

gdzie f ( x ) jest funkcją sparametryzowaną przez parametr bifurkacji a .

Daje to limit

${\ Displaystyle \ delta = \ lim _ {n \ do \ infty} {\ Frac {a_ {n-1}-a_ {n-2}} {a_ {n}-a_ {n-1}}} = 4,669 \,201\,609\,\ldots ,}$

gdzie _n są dyskretne wartości w n -tego okresu podwojenia.

Nazwy

• Prędkość bifurkacji Feigenbauma
• delta

Wartość

• 30 miejsc po przecinku : δ = 4,669 201 609 102 990 671 853 203 820 466 …
• (sekwencja A006890 w OEIS )
• Proste racjonalne przybliżenie to: 621/133, który jest poprawny do 5 znaczących wartości (przy zaokrąglaniu). Dla większej precyzji użytkowania1228/263, który jest poprawny do 7 znaczących wartości.
• Jest w przybliżeniu równa 10(1/π − 1) , z błędem 0,0015%

Ilustracja

Mapy nieliniowe

Aby zobaczyć, jak ta liczba rośnie, rozważ prawdziwą mapę jednoparametrową

${\ Displaystyle f (x) = ax ^ {2}.}$

Tutaj a jest parametrem bifurkacji, x jest zmienną. Wartości a, dla których okres się podwaja (np. największa wartość dla a bez orbity o okresie 2 lub największe a bez orbity z okresem 4), to a ₁ , a ₂ itd. Są one zestawione poniżej:

nie	Kropka	Parametr bifurkacji ( a n )	Stosunek za n −1 − za n −2/za n − za n −1
1	2	0,75	—
2	4	1,25	—
3	8	1.368 0989	4.2337
4	16	1.394 0462	4.5515
5	32	1.399 6312	4.6458
6	64	1.400 8286	4.6639
7	128	1.401 0853	4.6682
8	256	1.401 1402	4.6689

Stosunek w ostatniej kolumnie jest zbieżny do pierwszej stałej Feigenbauma. Ta sama liczba pojawia się dla mapy logistycznej

${\ Displaystyle f (x) = ax (1-x)}$

z rzeczywistym parametrem a i zmienną x . Ponowne zestawienie wartości bifurkacji:

nie	Kropka	Parametr bifurkacji ( a n )	Stosunek za n −1 − za n −2/za n − za n −1
1	2	3	—
2	4	3.449 4897	—
3	8	3,544 0903	4,7514
4	16	3,564 4073	4.6562
5	32	3.568 7594	4.6683
6	64	3,569 6916	4.6686
7	128	3,569 8913	4.6692
8	256	3,569 9340	4.6694

Fraktale

Self-podobieństwo do zbioru Mandelbrota pokazany przez powiększenie okrągłym funkcji podczas płukanie w Negatywne x kierunku. Środek wyświetlacza przesuwa się od (-1, 0) do (-1,31, 0), podczas gdy widok powiększa się od 0,5 × 0,5 do 0,12 × 0,12 w celu przybliżenia współczynnika Feigenbauma.

W przypadku zbioru Mandelbrota dla złożonego wielomianu kwadratowego

${\ Displaystyle f (z) = z ^ {2} + c}$

stała Feigenbauma jest stosunkiem średnic kolejnych okręgów na osi rzeczywistej w płaszczyźnie zespolonej (patrz animacja po prawej).

nie	Okres = 2 n	Parametr bifurkacji ( c n )	Stosunek ${\ Displaystyle = {\ dfrac {c_ {n-1}-c_ {n-2}} {c_ {n}-c_ {n-1}}}}$
1	2	-0,75	—
2	4	-1,25	—
3	8	−1.368 0989 09	4.2337
4	16	-1,394 0462	4.5515
5	32	-1,399 6312	4.6458
6	64	-1400 8287	4.6639
7	128	-1,401 0853	4.6682
8	256	-1,401 1402	4.6689
9	512	−1,401 151 982 029
10	1024	−1,401 154 502 237
∞		-1,401 155 1890 …

Parametr ten jest punktem rozwidlenia pierwiastek będzie regularne 2 ⁿ składnika. Ta seria zbiega się do punktu Feigenbauma c = −1.401155...... Stosunek w ostatniej kolumnie jest zbieżny do pierwszej stałej Feigenbauma.

Inne mapy również odtwarzają ten stosunek, w tym sensie stała Feigenbauma w teorii bifurkacji jest analogiczna do π w geometrii i e w rachunku różniczkowym .

Druga stała

Druga stała Feigenbauma lub stała alfa Feigenbauma (sekwencja A006891 w OEIS ),

${\ Displaystyle \ alfa = 2,502 \ 907 \ 875 \ 095 \ 892 \ 822 \ 283 \ 902 \ 873 \ 218 ...,}$

jest to stosunek szerokości zęba i szerokości jednej z dwóch subtines (z wyjątkiem zęba najbliżej krotnie). Znak ujemny jest przypisywany do α, gdy mierzony jest stosunek między dolnym podzębiem a szerokością zęba.

Liczby te odnoszą się do dużej klasy systemów dynamicznych (na przykład cieknące krany do wzrostu populacji).

Proste racjonalne przybliżenie to 13/11 × 17/11 × 37/27 = 8177/3267.

Nieruchomości

Uważa się , że obie liczby są transcendentalne , chociaż nie udowodniono, że tak jest. Nie ma również znanego dowodu, że którakolwiek stała jest nieracjonalna.

Pierwszy dowód uniwersalności stałych Feigenbauma przeprowadzony przez Oscara Lanforda — przy pomocy komputera — w 1982 r. (z niewielką poprawką Jean-Pierre'a Eckmanna i Petera Wittwera z Uniwersytetu Genewskiego w 1987 r.). Z biegiem lat odkryto metody nienumeryczne dla różnych części dowodu, pomagając Michaiłowi Lubiczowi w stworzeniu pierwszego kompletnego nienumerycznego dowodu.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

• Alligood, Kathleen T., Tim D. Sauer, James A. Yorke, Chaos: Wprowadzenie do układów dynamicznych , Podręczniki nauk matematycznych Springer, 1996, ISBN  978-0-38794-677-1
• Briggs, Keith (lipiec 1991). „Dokładne obliczenie stałych Feigenbauma” (PDF) . Matematyka Obliczeń . 57 (195): 435-439. Kod bib : 1991MaCom..57..435B . doi : 10.1090/S0025-5718-1991-1079009-6 .
• Briggs, Keith (1997). Skalowanie Feigenbauma w dyskretnych układach dynamicznych (PDF) (praca doktorska). Uniwersytet w Melbourne.
• Broadhurst, David (22 marca 1999). „Stałe Feigenbauma do 1018 miejsc po przecinku” .

• Weisstein, Eric W. „Stała Feigenbauma” . MatematykaŚwiat .

Linki zewnętrzne

• Stała Feigenbauma – od Wolframa MathWorld
• Sekwencja OEIS A006890 (dziesiętne rozszerzenie prędkości bifurkacji Feigenbauma)

Sekwencja OEIS A006891 (dziesiętne rozszerzenie parametru redukcji Feigenbauma)

Sekwencja OEIS A094078 (Rozszerzenie dziesiętne Pi + arctan(e^Pi))

• Stała Feigenbauma – PlanetMath
• Moriarty, Filipie; Bowley, Roger (2009). „ δ – Stała Feigenbauma” . Sześćdziesiąt symboli . Brady Haran dla Uniwersytetu w Nottingham .